第三章 函数的概念与性质-觉醒小卷-数学人教A版必修第一册

(共41张PPT)
第三章 函数的概念与性质
觉醒小卷
限时：120分钟 满分：150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.（2025湖北新高考联考协作体月考）若的定义域是,则函数 的定
义域是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 已知函数的定义域是 ,
对于函数,有 （同一对应关系下变量的范围相同,偶次根式且
为分母,根式内代数式为正）
得,所以函数的定义域为 .
. .
2.（2024安庆一中期中）已知函数是幂函数,则 ( )
C
A. B.2 C. D.1
【解析】 由题知,解得,, .
3.（2024湖北荆州中学月考）函数在 上的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 令，的定义域为 （判断奇偶性时要先确定
定义域是否关于原点对称）,
,则 是偶函数,其图象关
于轴对称,排除选项C,D；又 ,则排除选项A.
. .
4.（2024陕西长安一中期中）设若,则
( )
C
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】 且.当时（先确定 的范围,
进而确定的范围）,,由可得,得 ,满足题
意；当时,,由可得,无解.所以 ,则
.
. .
5.（2024北京第十二中学月考）函数在区间 上单调递增,
则实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 当时（二次项系数含参,对系数是否为0分情况讨论）, 在区
间 上单调递增,符合题意；
当时,函数图象的对称轴为直线 ,若函数
在区间上单调递增,则或(在
上是增函数,当图象开口向上时，对称轴在区间左侧,当图象开口向下时,对称轴在区间右
侧)解得或 .
综上,,故实数的取值范围是 .
. .
. .
6.（2024河北邢台一中月考）已知,且在 上单调递减,则
,, 的大小顺序是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 因为,所以,,因为在 上单调
递减,所以 (也可根据当 时,函数在对称轴两侧
“左减右增”,即自变量离对称轴越远,函数值越大判断).
. .
7.（2024河南部分重点中学质量检测）设偶函数在上是增函数,且 ,若
对所有的及任意的都满足,则 的取值范围是
( )
C
A. B.
C. D.
根据题意,转化为对任意的 恒成立,通过变换主元法
构造出关于的函数 ,列出不等式组,即可求解.
【解析】 因为偶函数在上是增函数,且,所以在 上的最大
值为2(偶函数的图象关于轴对称,且轴两侧的单调性相反,则偶函数在 上是
减函数),
由对所有的及任意的都满足 ,
得,即对任意的 恒成立.
令,当时,,不满足题意；当
时,为一次函数,对任意恒成立,则 解得
或 .
综上,实数的取值范围是 .
. .
. .
8.（2024天津南开区期末）已知是定义在上的奇函数,且,若 ,
,都有,则不等式 的解集为
( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 因为,,都有,所以, ,
恒成立.设,则, ,所以
,令,则在上单调递减,因为 ,所以
,又因为是定义在上的奇函数,所以 ,故
,所以是定义在上的偶函数,所以在
上单调递增,且,所以不等式可化为 ,所以
,解得或 .
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.（2024四川绵阳期末统考）已知幂函数 的图象经过点 ,则下列结论正
确的是( )
BCD
A.函数的定义域为 B.函数的值域为
C.不等式的解集为 D.函数 是偶函数
【解析】 由题意知,,即,得,所以 .
,所以函数的定义域为 ；
由,知函数的值域为 ；
由,得且,即 ；
易知函数的定义域为 ,其图象关于原点对称,由
,知函数 为偶函数.
10.（2025河南驻马店期中）已知函数满足对任意 ,都有
,则( )
ACD
A. B.可能是增函数 C. D.
【解析】 令,得,解得 ,
代入,得 ;
用替换中的,得 ,
用替换中的,得 ,
所以 ;
在中,令,得,令,得 ,
所以 .
11.（2025浙江期中）波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面
作出过重要贡献,开创了黎曼几何,并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名
的黎曼函数,该函数的定义域为 ,其解析式为:
下列关于黎曼函数的说法正确的是( )
ABD
A. B.,,
C.的值域为 D. 为偶函数
【解析】 通过题目信息可知对于有理数和无理数具有不同的取值,且当 为0或1或
内的无理数时,
代入验证易知其正确；
不妨设,根据的性质可得 的最小值为0,
当时,,当时, ,
当时,若和中有无理数,则 ,
若和均为有理数,不妨设,，其中,,, 均为正整数,
则, ,
若与互质,则 ,
若与有大于1的公约数 ,
则 ,
综上可得 ；
计算可知 的函数值只能是有理数；
令，定义域为,, ,
对于任意的,当为无理数时,和 均为无理数,
,
当为有理数时,可令,其中和是互质的正整数且 ,
则 ,
.
综上可知,对于任意的都有, 是偶函数.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.（2025山东济南期末）已知幂函数.给定条件:,且 ,
； .
写出一个同时满足①②条件的函数解析式 __________________________________
__________________.
（答案不唯一,,其中,,且
是奇数,是偶数）
【解析】 设幂函数,对于条件①，可知在 上单调递减,
对于条件②，可知函数 为偶函数,
根据幂函数性质,当时,幂函数在 上单调递减.
若,互质,当为偶数,为奇数时,函数 是偶函数,
若写出具体函数解析式,可以令（满足,是奇数, 是偶数）,
此时幂函数,经检验， ,满足条件②.
在 上单调递减,满足条件①.
13.（2025浙江嘉兴期末）已知奇函数的定义域为,当时, .
若,的值域是,则 ____.
【解析】 由已知可得当时,,则 ,
所以
令,则,0,1；令,则 .
作出函数 的图象,如图，
若,的值域是,数形结合可得 ,
,所以 .
14.（2024陕西西工大附中月考）设函数,对于任意正数, 都
有,已知函数的图象关于点中心对称,若 ,则
的解集为________________.
【解析】 因为,,,所以,令 ,
则在上单调递增.函数的图象关于点中心对称,则 的图
象关于原点对称(的图象的图象， 的图象关于点
对称,则的图象关于原点对称),即为奇函数,则为偶函数,故
在 上单调递减.
,则,.当时,,即,即 ,
则；当时,,即,即,则 .
综上所述, .
. .
. .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（分）（2025北京期中）已知幂函数 在定义域上不单调.
（1） 求函数 的解析式.
【答案】 由幂函数,得,解得或 ,
若,则在定义域
内单调递增,不合题意；
若,则在区间, 内单调递减,
但在定义域 内不单调,符合题意；
所以函数的解析式为 .（4分）
（2） 函数 是否具有奇偶性？请说明理由.
【答案】 函数 为奇函数.（5分）
理由如下:
函数的定义域 关于原点对称,
且,所以函数 为奇函数.（8分）
（3） 若,求实数 的取值范围.
【答案】 由及 为奇函数,
得 ,
即 ,
而在上递减且恒负,在 上递减且恒正,
所以或或解得或 ,
所以实数的取值范围是 .（13分）
16.（ 分）（2024四川眉山期末）汉服文化是反映儒家礼典服制的文化总和,通过祭服、
朝服、公服、常服以及配饰体现出来.汉服文化从三皇五帝延续至今（清代被迫中断）,
通过连绵不断的继承完善着自己,是一种非常成熟并自成体系的千年文化.在当代,汉服文
化正在通过汉服运动这一民间文化运动形式逐渐复兴,近年来,汉服沉浸式体验盛行,人们
喜欢身着汉服在充满传统文化特色的古镇游览拍照.近30天,某文化古镇的一汉服体验店,
汉服的日租赁量（单位：件）与日租赁价格（单位：元/件）都是关于时间
（单位：天）的函数,其中, 每
件汉服的综合成本为10元.
（1） 写出该店日租赁利润（单位：元）与时间 之间的函数关系；
【答案】
即 （5分）
（2） 求该店日租赁利润的最大值.（注：租赁利润 租赁收入-租赁成本）
【答案】 当时,,当时, 取
得最大值,最大值为256；（7分）
当时, ,
令,得 ,（10分）
由对勾函数性质可知在上单调递减,在 上单调递增,
且当时, ,
当时, ,
由于,故当时, 的最大值为315.（14分）
因为,所以该店日租赁利润 的最大值为315元.（15分）
17.（分）（2024山东潍坊期中）已知函数对于任意实数, ,都有
,且 .
（1） 求 的值；
【答案】 令,则,又因为,所以 .
（4分）
（2） 令,求证：函数 为奇函数；
【答案】 令,则,则 .（6分）
设(赋值法构造出),则,则 ,
（7分）
则,即,则函数 为奇函数.（9分）
. .
（3） 求
的值.
【答案】 由（2）知,为奇函数,即 ,则
.（15分）
18.（分）（2025江苏徐州期中）已知二次函数 ,满足
, .
（1） 求 的解析式.
【答案】 因为 ,
所以的对称轴为直线,即 .（3分）
又因为 ,
所以,,故的解析式为 .（6分）
（2） 设函数在区间上的最大值为 ,
（ⅰ） 求 ；
【答案】 由（1）知, .
所以 ,
则的图象关于直线 对称.（9分）
①当（对称轴在区间两端点中点的左侧）时,即 ,
因为 ,
所以 .（10分）
②当（对称轴在区间两端点中点的右侧）时,即 ,
因为 ,
. .
. .
所以 .（12分）
综上所述, （13分）
（ⅱ） 若对于任意,总存在,使得成立,求实数
的取值范围.
【答案】 由（ⅰ）知则在上单调递减,在 上单
调递增,
又因为 ,
所以函数的值域为 ,
因为在上单调递增,所以的值域为 ,
因为对于任意,总存在使得 成立,
则有 ,
所以,即的取值范围是 .（17分）
19.（分）（2025浙江宁波期末）已知函数的定义域为,给定集合,若 满足
对任意,,存在实数 ,当时,都有,则称是 上
的“ 级优函数”.
（1） 请写出一个 上的“1级优函数”,并说明理由.
【答案】 函数是 上的“1级优函数”.理由如下:
因为当时,有,所以是 上的“1级优函
数”.（4分）
（2） 已知是 上的“2级优函数”,
（ⅰ） 证明: ；
证明：因为是上的“2级优函数”,由定义可得对任意, ,
当时,有 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 .（7分）
（ⅱ） 当时,,其中,,求, 的值.
【答案】 因为
且,, 均大于等于1,所以
,
又,且 ,
均小于等于 ，
所以 ,
所以 .
在上式中,以代可得 ,
再令,可得 .（10分）
又对任意,,当时,有 ,
因为是上的“2级优函数”,所以 ,
又,所以,所以 ,
即对任意,,当时,都有 ,
故是 上的“2级优函数”,
由上述分析可得,且在 上单调递增.（14分）
当时,,其中,,有 ,
当时,,此时在 上单调递增,满足题意；
当时,则或解得
当时,则 此时无解.
综上所述,或 （17分）