4.1 指数（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共28张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
题型觉醒
高频题型：题型一、题型二
题型一 根式的化简
1.（2025江西上饶检测）下列等式中成立的个数是( )
,且 ；
为大于1的奇数 ；
为大于零的偶数 .
C
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 利用次方根的定义逐项判断即可.对于①,当为大于1的偶数时，只有
时, 才有意义,①错误；
对于②,当为大于1的奇数时, ,②正确；
对于③,当为大于零的偶数时, 正确.
坑神敲黑板
对与 的进一步认识
（1）对的理解:当为大于1的奇数时,对任意，都有意义,且 ,
当为大于1的偶数时,只有当时，才有意义,且 .
（2）对的理解:对任意，都有意义,且当为奇数时,；当 为偶数时,
2.（2025河北唐山检测）下列根式计算错误的是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 由 ；
；
；
.（利用配方法将被开方数配成
完全平方式是关键）
. .
坑神小课堂
形如的双重根式,一般是将其转化为 的形式后再化
简.由于,因此转化的方法就是寻找,,使得即,
是方程 的两个根.
3. （多选/2025福建省龙岩市第二中学月考）下列说法中正确的是( )
AD
A.16的4次方根是 B.
C. D.
【解析】 的4次方根有两个,为 ；
因为负数的3次方根是一个负数,所以 ；
；
因为是非负数,所以 .
4. 若,则实数 的取值范围是________.
【解析】 因为,所以,即,解得 ,
所以实数的取值范围是 .
题型二 指数幂的化简与求值
5.（2025江苏常州四校期中） 化简后的结果为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 .
坑神有话说
化简结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分式又含有负指数幂.
6.（2025江西省临川二中月考）已知,且 ,下列三个式子,正确的个数为
( )
；; .
B
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 利用指数幂的运算性质逐项判断即可.因为,且 ,
对于①, ,①错；
对于②,先将根式转化为分数指数幂的形式.,则 ,②对；
对于③, ,③错.
所以,正确的个数为1.
7.计算下列各式：
【答案】 由指数幂的运算性质,化简计算各式的值即可.
（1） ；
【答案】 原式 .
（2） .
【答案】 原式 .
题型三 条件求值问题
8.（2025山东威海检测）若,则 ( )
C
A.1 B. C. D.
【解析】 .（整体代入）
. .
9.（2024天津南开区期中）已知,,则 的值是___.
【解析】 先利用有理数指数幂的运算性质化简,再代值.
, ,则原式
.
10. （2025湖南长沙明德中学期末）若,则 ___.
【解析】 已知,将所求式进行化简,
, 公式的应用
则 .
. .
. .
11.（2025浙江温州期中）已知,,,则 ___.
4
【解析】 因为,,所以两式相乘得,则 .
（两式相乘消去 是解题的关键）
将代入,得 ,所以
.（逆用指数幂的运算性质）
整体思想. .
. .
12.
（1） （2025安徽省合肥六中期中）已知,且,求 的值.
【答案】 由题意可知, ,
,
,, ,
.
观察所求式的结构,则可考虑整体变换求值,将条件的式子进行变换,变换出相同
的整体,然后进行整体代换.
（2） （2025安徽蚌埠毛坦厂实验中学月考）已知,求 的值.
【答案】 , ,
,
.
能力觉醒
1.（2025江苏无锡期中）当有意义时,化简 的结
果是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为有意义,所以,即 ,则
.
（由 的取值范围去根号）
. .
2.（2025浙江温州期中）已知实数,满足,则
( )
D
A. B.1 C. D.0
要想凑出的形式,需将题干中含的项和含的项分开处理.通过观察含 项
的结构,容易联想到分数有理化,将之取倒数并有理化后得到一个新的式子,根据题意,这个
倒数与含项的式子含相等部分,两式相减便得到只含的式子,同理可得只含 的式子,从
而可得题解.
【解析】 设, ,
, ,
,
.
, .
又,, ,
,, .
3.（多选/2025广东广州期中）下列各式不正确的是( )
ABC
A. B.
C. D.
【解析】 利用指数幂的运算性质,以及分数指数幂与根式的互化即可判断.
； ；
, ；
.
故 均错,D正确.
4.（多选/2025黑龙江哈尔滨九中月考）大招46下列计算正确的是( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】 原式 ；
原式 ；
原式 ；
原式 .
5.（2025甘肃酒泉期中）已知正数,满足,则 的最小值为___.
9
【解析】 由,可得,又, ,所以
,（基本不等式求最值）
当且仅当,即 时取得最小值,最小值为9.
. .
6.大招52方程 的解为_________.
【解析】 ,, ,
,, . （方程两边化成同底数的指数式,
利用指数相等进行求解）
. .
. .
7.（2025江西南昌期中） ___.
3
【解析】 原式.
观察到,
. .
8.（2025四川绵阳期中）大招47关于的不等式 的解集为
,求 的值.
【答案】 不等式可化为 ,依题意
可知,,4是方程的两个实根,则可得 解得
,,所以 .
9.对于正整数,,和非零实数,,, ,有, ,
求,, 的值.
【答案】 ,且, 为非零实数,, .
同理可得,,即 .
又,,,为正整数,且由题意可知 ,
. （两个幂相等,指数相等时,底数也相同）
,,, .
. .
素养觉醒
1. （2025北京市朝阳区联考）成书于两千多年前的我国古代数学典籍《九章
算术》中记载了通过加减消元求解 元一次方程组的算法,直到拥有超强算力计算机的今
天,这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法,求解 元一次方程组大约需要对实系数
进行为给定常数 次计算.1949年,经济学家列昂惕夫为研究“投入产出模型”
（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖）,利用当时的计算机求解一个42元一次方程
组,花了约56机时.事实上,他的原始模型包含500个未知数,受限于机器算力而不得不进行
化简以减少未知数.如果不进行化简,根据未知数个数估计所需机时,结果最接近于( )
C
A.机时 B.机时 C.机时 D. 机时
【解析】 设1机时能进行次计算,则由题意得 .原始模型包含500个未知数,
如果不进行化简,设所需机时数为 ,
则,故将两式相比得 ,
故结果最接近于 机时.