4.2 指数函数（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共72张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三、题型四
题型一 指数函数的图象及其应用
1.如图是指数函数，， ，
的图象,则,,, 与1的大小关系是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 作直线,则由上到下直线 与各指数函数
图象的交点为,,,,故 .
图象法.如图，作直线 ，因为指数函数在第一象
限的图象指大图高的性质可知， .
2.（2025安徽阜阳一中期中）函数 的图象大致为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 排除法.设,则当时, ,且
单调递增,由,得,,,选项C,D错误.
也可由函数在上单调递增排除D选项
当时,,且单调递增,由,得 ,即
,函数图象在轴下方,排除B选项,则选项A符合要求. 也可由函数在
上单调递增排除B选项
3.（2024北京十二中月考）已知指数函数的图象经过点 ,则
____;将函数 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到函数
的图象,则 的图象过定点______.
【解析】 由指数函数的图象经过点,可得
（指数函数中前的系数为1）解得所以 .
将函数的图象向右平移1个单位长度,得到函数 的图象,再向上平移4个单位
长度,得到的图象.令,得,此时,所以 的图象过
定点 .
. .
4. （2025河南开封期末）已知函数 的图象过原点,且无限接近
直线但又不与该直线相交,则 ___.
1
【解析】 因为函数无限接近直线但又不与该直线相交,
根据指数函数的图象特点可知,函数无限接近于直线 但又不与该直线相
交所以 ,
又函数图象过原点,所以,则 .
所以.所以 .
. .
题型二 指数型复合函数的定义域、值域及其应用
5.（2025甘肃兰州检测）已知函数的定义域为 ,则函数
的定义域为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由题意可得解得,所以函数的定义域为 .
6.（多选/2024重庆南开中学月考）下列描述中正确的是( )
BCD
A.函数的值域为
B.函数的值域为
C.函数的值域为
D.函数的值域为
【解析】 因为,且函数在 上单调递减,所以
,所以函数的值域为 ；
令,解得,则函数的定义域为,因为函数 在
上单调递增,且,所以,则,所以 ,
所以函数的值域为 ；
令,,则,,可得 ,因为函数
的图象开口向上,且对称轴为直线,所以 在
上单调递增,且当时,,所以函数的值域为 ,即
函数的值域为 ；
由题意可得函数的定义域为,因为,即 ,所以
,所以函数的值域为 .
7. （2025湖北黄冈期中）函数,且在区间 上的
最小值是,则 的值是_______.
或
【解析】 分和 两种情况讨论,结合复合函数单调性求解.
令,则,其图象的对称轴为直线 .
当时,因为,所以,所以函数在 上单
调递减,所以当时,取得最小值,,解得 .
当时,因为,所以,所以函数在
上单调递减,所以当时,取得最小值,,解得 .
综上所述,或 .
题型三 指数型函数的单调性及其应用
8.函数 的单调递减区间是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 设,则,则是减函数,在上为增函数,在 上为
减函数,则根据复合函数单调性“同增异减”的原则,可知的单调递减区间是 .
9.若函数的值域是,则 的单调递增区间是__________.
【解析】 令,由于的值域是,所以的值域是 .
因此有解得,这时, ,
由于的单调递减区间是,所以的单调递增区间是 .
10. （2025皖豫名校模拟）已知函数 满足对任意
的,都有成立,则实数 的取值范围为______.
【解析】 运用分段函数单调性知识,结合一次函数和指数型函数单调性知识可解.
由题意,对任意的,都有成立,则为定义在 上的减函数,则各段为
减函数,还要在区间端点附近递减,
所以 （ 不要忽略分割点处函数值的大小关系）
解得则 .
. .
11.
（1） （2024吉林省实验中学期中）函数 的单调递增区间是______.
【解析】求指数型复合函数的单调性主要利用“同增异减”原则.
函数的定义域满足,即 .（研究函数
的单调性时,坚持“定义域优先”原则）设,则函数 的单调递
增区间为,单调递减区间为 .又因为指数函数 在其定义域内为减函数,
所以由复合函数的单调性可知的单调递增区间为 .
. .
（2） （2025山东日照期末）若函数在区间上单调递增,则实数
的取值范围是________.
【解析】 将原函数拆解为外层函数和内层函数 ,其中内层函数图
象的对称轴为, 是增函数,
因为是上的增函数,需要内层函数与外层函数在 上有相同的增
减性
所以,即,所以实数的取值范围为 .
. .
题型四 比较指数式的大小
12.（2025湖南邵阳期末）已知,,“”是“ ”的( )
D
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 利用指数函数的单调性由“”得到“ ”,
当,时,满足,但推不出 ,故不是充分条件；
又当,时,满足,但推不出 ,故不是必要条件.
所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件.
13.（多选/2025湖南长沙期中）下列大小关系正确的是( )
BD
A. B. C. D.
【解析】 A,C项同底,构造指数函数；B项同指,构造幂函数；D项不同底不同指,借助中
间值“1”判断.
函数在上单调递增,故 ；
函数在上单调递增,故；（或由【大招48】知在 轴右侧
时,指数函数的图象“底大图高”）
函数在上单调递减,故 ；
因为,,所以 .
. .
14.（多选/2024广东广雅中学期中）已知函数
,且 的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 根据函数图象可得出, 的取值范围,利用【大招50】可
判断A,C,D选项,利用不等式的基本性质可判断B选项.
由图象可知,函数,且在上单调递增,则,且当 时,
（【大招48】指数型函数图象过定点）,可得 .
；
；
；
由题意可知,,则,所以 .
. .
. .
题型五 解与指数有关的不等式
题组一 解不等式
15.若,则 的取值范围为( )
B
A. B.
C. D.
利用 化同底,利用指数函数单调性脱掉底数,转化为一元二次不等式求解.
【解析】 ,则,即 ,解得
,所以的取值范围为 .
16.（2025湖南省天一大联考）若,则 的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
由为形如“”的形式,知可借助两函数, 的
图象解决.则原问题可转化为函数的图象在上方的部分对应 的取值范围.
【解析】 根据指数函数的图象和性质求解.
由题知,令,解得.作出函数和 的大致图象,如图,
由图可知，若,则 .
17.（2025江西南昌市第十中学月考）已知函数的定义域为, 为偶函数,
对任意的,,当时,,则关于的不等式
的解集为________.（用区间表示）
【解析】 为偶函数,其图象关于轴对称, 的图象关于直线
对称.
又当时, ,
在上单调递增,故不等式 可等价为
,（利用单调性,脱掉“ ”,将函数值的大小关系转化为自变量的
大小关系,是解不等式中的常用方法）
即 ,
当时,不等式可化为,即 ,无解,
当时,不等式可化为,即 ,
即,故,解得 .
综上，不等式的解集为 .
. .
. .
18.（2025安徽九师联盟质检）设是定义在上的单调函数,若 ,都有
,则不等式 的解集为________.
【解析】 由,都有,且在上单调,可知 必为定值.
设,即,由,解得 ,所以
,则不等式,即为,可得,解得 ,所以不等式
的解集为 .
题组二 不等式恒（能）成立问题
19. （2024江苏南京一中检测）已知函数, ,若对任意
,总存在,使得成立,则实数 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 分别计算出与的最大值,满足 即可.
由题意可知,,,则,解得 .
坑神有话说
双变量的恒成立与存在性问题
,,使得成立,则 ；
,,使得成立,则 ；
,,恒成立,则 ；
,,使得成立,则 .
20.（2025江苏常州检测）已知二次函数,且关于的不等式
的解集为 .
（1） 求实数, 的值；
【答案】 由题意,,且和1是关于的方程 的两根,
故解得
（2） 若不等式对恒成立,求实数 的取值范围.
【答案】 由（1）知.由对 恒成立,即
对 恒成立,（参数分离）
只要即可,其中 .
而 ,
当且仅当，即 时取等号.
故当时,的最小值为 .
因此,,即 ,
故实数的取值范围是 .
. .
. .
. .
坑神有话说
遇到类似或 的不等式恒成立问题,可把不等式转
化为或的形式,达到分离参数的目的,再求 的最值,将恒成立问
题最终转化为最值问题.
题型六 与指数函数相关的奇偶性问题
21.（2025江西省沙溪高级中学月考）已知是定义在上的奇函数,且当
时,,则 ( )
C
A. B.3 C. D.2
【解析】 因为是定义在上的奇函数,所以 .
因为当时,,所以.由函数 为奇函数可知
,所以 .
22. （2025江苏苏州期末）若是奇函数,则 ( )
B
A.1 B. C. D.
【解析】 因为函数是奇函数,所以满足 ,
即,化简为 ,
即,解得 .
此时,函数的定义域为 ,满足题意.
由【大招52】中函数模型,且 为奇函数,且
为奇函数,可知,其中 为常数,根据对应系数相等,
解得, .
特殊值法.因为是奇函数,所以 ,即
,解得. 本题定义域不包含端点0,不能直接利用
求参 经检验,符合题意.
. .
23.（2025湖南省部分名校开学考试）若是偶函数,则 ( )
D
A. B. C.1 D.0
【解析】 令,则的定义域为 ,因为
,所以函数 是奇函数.
因为是偶函数,（奇函数×奇函数 偶函数）
所以为奇函数.则 ,
即, .
已知是偶函数,观察解析式的特征,可知 符合
【大招52】中的函数模型,则可知函数 为奇函数.又
为偶函数,则为奇函数,即,即 ,
.
. .
24.（全国Ⅲ卷改编）已知函数的图象与 轴有唯一交
点,则 __.
【解析】 由【大招52】可知在上为偶函数,图象关于 轴对称.
函数的图象关于直线对称, 的图象由
的图象向右平移1个单位长度得到
所以的图象关于直线对称. 事实上,
又的图象与轴有唯一交点,则交点为,即,解得 .
. .
. .
25.（2025江苏扬州期末）已知定义在上的函数 的图象关于坐标原点对称.
（1） 求实数 的值；
【答案】 因为在上的函数的图象关于原点对称,所以 为奇函数,
所以,即 ,检验如下,
此时,所以 ,
故是奇函数,满足要求,所以 .
（2） 判定 的单调性并证明；
【答案】 在上单调递减,证明如下:由知, ,
直接由【大招52】可知函数在上单调递减
任取,且,则 ,
因为,所以,又, ,
所以,所以在 上单调递减.
. .
（3） 若实数满足,求 的取值范围.
【答案】 由（1）知,所以可化为 ,
由知在上单调递减,所以,利用的单调性脱“ ”转化为解不等式问题
即,所以,解得 .
在中,令,则 ,
即,解得,所以 ,
即,所以 ,（利用换元法先求出关于新元的不等式,再解不等式即
可）
解得 .
. .
. .
能力觉醒
1.（2024河北邯郸八校联考）已知关于的不等式的解集为 ,函数
,且为指数函数,则 ( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 因为不等式的解集为,所以 ,（注意不等式
解集端点值的运用）即.又为指数函数,则,所以 ,
,且,所以 .
. .
2.（2025江西景德镇质检）幂函数在 上单调递增,则
,且 的图象过定点( )
B
A. B. C. D.
【解析】 幂函数在 上单调递增,
,（根据幂函数的定义知）且,求得 ,
故,且 ,
令,求得, ,
可得的图象过定点. 函数的图象可以看作是函数 的图
象先向右平移两个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,则由函数 的图象过定
点知函数的图象过定点.
. .
. .
3.（2025陕西渭南期中）若 ,则( )
D
A. B. C. D.
【解析】 方法一：特值法.取,,得 ,满足题意,排除A,B；
取,,得 ,满足题意,排除C,故选D.
方法二：同构法.因为不等式 ,所以
,（变形时注意不等式两边结构的一致性）
令,显然函数,在 上分别单调递增、单调递减,因此函数
在上单调递增,又原不等式为,则,即 .
. .
. .
坑神有话说
做选择题时,取特殊值是一种较快的解题方法,要注意运用.
4.（2025江西省丰城中学期末）已知函数的值域为.若 ,则
实数 的取值范围是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 由,可知（1可以看成是）有解,且 无最
大值,
即有解,且 无最大值,
①当时,有解, 无最大值,符合题意；
②当时,,则有解,当时, 有最大值,
则 有最大值,不符合题意；
③当时,有解需满足,解得,此时
无最大值, 无最大值,满足题意.
综上,实数的取值范围是 .
. .
5.（2025北师大实验中学月考）大招49若函数 的定义域和值
域的交集为空集,则正数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由题意得函数的定义域为, .
当时,,要使定义域和值域的交集为空集,则 .
当时,,若,则 ,此时显然不满足题意；
若,则在上单调递减, .
所以,要使得定义域和值域的交集为空集,则有
解得 .
6.（2025河南期末）已知函数则不等式 的解集
为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 当时,,
,
则在 时无解；
当时, ,
在 上单调递增，
当时,,则的解集为 ；
当时,,
. .
. .
. .
则在 时恒成立,
综上,不等式的解集为 .
7.（多选/2025广东珠海市田家炳中学月考）大招48,50设, ,且
,则下列关系式中一定不成立的是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】 （去绝对值,化
成分段函数）则 的图象如图所示.
因为,所以若 ,则
,这与已知 矛盾.同
理,也不成立,所以只有 或
这两种情况.
所以 ,故B一定不成立,A成立；
又,即,所以 ,故D一定成立,C一定不成立.
. .
8.（多选/2025云南昆明期中）大招48,,为正实数,若 ,则下列说法正
确的是( )
AC
A. B. C. D.
【解析】 由,得 ,由
,得.（【大招48】在 轴右侧,指数函数的图象“底大图高”,由幂值相等
作一条平行于 轴的直线,从而得指数的大小关系）
因为,所以 ,即
,因为 ,所以
.同理,因为,所以 ,即
,因为 ,
所以.即 .
. .
. .
9.（2025湖北武汉二中月考）已知函数,且在区间 上单调
递增,则 的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
令,可知内层函数在上单调递减,且 ,结合
复合函数法可得出关于实数的不等式组,即可求得实数 的取值范围.
【解析】 令,因为且,则内层函数在 上单调递减,
且,可得 ,
因为函数，且在区间 上单调递增,
则外层函数为减函数,所以, ,
综上所述,实数的取值范围是 .
10.（2025广东省大湾区期末联考）函数 的单调递增区间为
___________.
【解析】 设,则 ,
图象的对称轴为直线,当 ,
即时, 为减函数,
函数 为增函数,
则 为减函数,
即函数单调减区间为 ；
当 ,
即时, 为减函数,
函数 为减函数,
则 为增函数,
即函数单调增区间为 .
11. 已知函数满足：,,都有 成立；
.请写出一个符合上述两个条件的函数 __________________.
（答案不唯一）
【解析】 由,,都有 成立,我们发现指数函数满足该条件.
不妨设,且,再由得,解得,故 .
12.（2024广东佛山联考）大招52若函数是定义在 上的偶函数,
,则 ___.
6
【解析】 不具有奇偶性,但为偶函数, 为奇函数（【大招52】）,故
为奇函数.
令,则的定义域为 ,关于原点对称,又
,所以是上的奇函数,所以 .
13.（2024安徽三校联考）大招52已知函数 ,则不等式
的解集为_______.
函数模型,且 ,这样就与本题
建立起了联系,并由此想到构造函数,从而利用 的单调性
和奇偶性解题.
【解析】 令,则在上单调递减,且 是奇函数.由
,可得 ,所以
.又在 上单调递减,所以
,（利用单调性,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系）即
,解得,所以不等式 的解集为
.
. .
. .
14.（2025广东珠海一中月考）大招49,51已知函数的值域为 ,则
实数 的取值范围为_______.
【解析】 ①若,当时,在 上单调递增,则
,
当时,则 .
因为的值域为,所以 ,（注意分割点处函数值的大小关
系,两段函数值的范围的并集应为）得,所以 .
②若,当时,在上单调递增,则 ,
当时,在上单调递增,所以 ,
因为的值域为,所以 ,（同理,两段函数值的范围
的并集应为）得 ,
. .
. .
在同一直角坐标系中作出和 的图象,如图
所示.
由图象可知当时,,所以当
时,不等式 成立.
综上所述,,即实数的取值范围为 .
数形结合.作出函数和 的图
象,如图所示,要使函数的值域为,应有 ,
即的取值范围为 .
15.（2025安徽宿州期末）大招52已知函数 是奇函数,且
.
（1） 求和 的值;
【答案】 由题意知是定义在上的奇函数,所以 ,
解得 ,
当时,,所以 ,
所以 是奇函数,满足题意.
又,即,解得（舍去）或 .
（2） 判断并证明 的单调性；
【答案】 在 上单调递增.
证明如下:设,且 ,则
,
又,所以,,,所以 ,即
,所以在 上单调递增.
（3） 若对任意的恒成立,求 的取值范围.
【答案】 若对任意的 恒成立,即
对任意的 恒成立,令
,
令,由（2）可知为增函数,又 ,
所以,所以 , ,
所以 ,
所以 ,
解得,即 的取值范围是 .
坑神有话说
函数,且 为奇函数,比较常用,要熟记,在大题时需要证明,在小题
时可以直接用.
素养觉醒
1. 对于函数,在使成立的所有常数中,我们把 的最小值称为
函数的“上确界”,则函数 的“上确界”为( )
C
A.1 B. C.2 D.16
【解析】 因为,时取等号,所以 的最大值为2,所
以,故 的最小值为2.
2. （2025辽宁沈阳开学考试）定义双曲余弦函数表达式为
（其中为自然底数,）,定义双曲正弦函数的表达式为 .设
函数,若实数满足不等式,则 的取值范围为( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 ,定义域为 ,
且,故 为奇函数,又
,（分离常数法将函数转化为易判断
单调性的函数）
其中在 上单调递增,
由复合函数可知,在 上单调递增,
,
故,解得或 ,
所以的取值范围为 .
. .