4.3 对数（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共29张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
题型觉醒
高频题型：题型一、题型二
题型一 指对互化及其应用
1.（多选/2025安徽淮南期中）下列四个命题:
；②若,则；； .
其中为真命题的是( )
AB
A.① B.② C.③ D.④
【解析】 ① ,正确；
②根据指数式和对数式的互化可知,则 ,正确；
③ ,错误；
④ ,对数的真数部分是正数（对数的定义）,
因此 无意义,错误.
2. （2024江苏连云港高中期中）已知,则 ( )
C
A. B.0 C.2 D.4
【解析】 由得,即,又且 （ 对
数的底数和真数的范围）,所以 .
. .
3.（2025天津河西区期中）已知,,则 __.
【解析】 由,得,而,所以 .
题型二 利用对数性质及运算法则化简求值
题组一
4.（2025江苏省如皋市期末） ( )
C
A. B.3 C. D.
【解析】 .
5. 已知,试求 的值.
【答案】 由,得,则,解得 ,
所以 .
坑神小课堂
①对于任意的且,都有0,.②对数恒等式：
，且, .
题组二
6.（2025天津市第七中学月考） ( )
B
A.1 B.3 C.4 D.8
【解析】 由题意可得,
.
坑神有话说
对于底数不同的对数的乘法问题,常利用换底公式,将原式换成同底数对数的商的形式,可
快速化简式子.
7.（2025陕西师大附中月考）若,则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由题知,（熟练掌握倒数关系）,
（【大招53】消除幂底数的差异） .
. .
. .
8. （2025安徽省淮南第二中学月考）若,,则用, 表示
____.
根据给定条件,利用换底公式消除各对数间的底数差异,再利用对数的运算法则,
将所求式转化为与已知条件相关的式子即可.
【解析】 因为,,则 （指对互化）,
所以
.
. .
9.计算下列各式的值:
【答案】
（1） （2025安徽蚌埠联考） ;
【答案】 .（【大招53】底数相同,逆
用对数运算性质）
（2） （2024湖北洪湖一中联考） ；
【答案】 原式
.
（【大招53】消除常用对数中真数的差异,利用 求解）
. .
. .
（3） ；
【答案】 原式=（）
（【大招53】底数和真数均不同,利用换底公式消除底数的差异） .
（4） （2025江西宜春开学考试）化简: .
【答案】
.(化简时常用公式:
,且,, )
. .
. .
. .
题型三 解指、对数方程
10.（2025天津市新华中学月考）设,且,若,则 ______.
或3
指、对数方程的求解,观察方程结构,可考虑使用换元法,先利用换底公式将已知
转化为关于 的一元二次方程,再使用换元法求解即可.
【解析】 由 ，
整理得,令,则方程转化为 （转化为一元
二次方程求解）,解得或,即或,解得或 .
. .
11.解下列方程:
（1） （2024吉林长春八中期中） ；
【答案】 由 ,得
（同底法）
解得 .
（2） ；
【答案】 ,等价于 ,即
,即,解得或,所以 或
.
. .
. .
（3） ；
【答案】 由得 ,所以
,令 （换元法）,
则,解得或,所以或 .
（4） .
【答案】 分和两种情况解方程 ,综合可得原方程的解.
当,即时,原方程即为,即 ,可得
,又,所以此时方程 无解；
当,即时,原方程即为,可得,解得 .
综上,原方程的解为 .
. .
能力觉醒
1. 大招53已知,则 ( )
B
A.1 B.4 C.1或4 D.2
【解析】 由已知得,即,得或 .
,,,,,即,
.（【大招53】消除同一对数式中底数和真数的差异）
坑神来避坑
解答这类题目一般是由对数运算法则化等式为的形式,然后得 ,不仅
这里有,而且原等式中每个对数的真数都要大于0,如本题应有, ,
.这是对数问题的易错点之一.
. .
. .
2.已知函数,则 的值为( )
D
A. B.1 C.2 D.
【解析】 先求出,判断出 ,直接代入即可求解.
由题意知,,因为,所以 .
3.（2025江苏南京期中）已知,,,则 的最小值是
( )
B
A.18 B.9 C. D.3
【解析】 ,
所以,且, ,
所以（“1”的代换） ,
当且仅当,即 时等号成立.
. .
4. （2025广东江门期末）中国的技术领先世界, 技术的数学原理之一便
是著名的香农公式: .它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度
取决于信道宽度、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率 的大小,其
中叫作信噪比.当时,公式中真数里的1可以忽略不计.按照香农公式,若将带宽
变为原来的2倍,信噪比从100提升到,传递速度变为原来的倍,则 约为( )
其中
C
A.3.1 B.3.2 C.3.3 D.3.4
【解析】 当时, ,
当时, ,
则 （
”的熟练运用） ,
故传递速度 大约是原来的3.3倍.
. .
5.（2024福建福州一中期中）大招53设,,都是正数,且 ,那么下列关系正确
的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由题意可设,则,, ,
由,,都是正数,可知 .
（【大招53】利用换底公式,消除对数间底数的
差异）, ,
而 ；
易知,, ,则
；
；
由,可知 .
. .
6.（多选/2025江苏南师附中期末）大招53设，为实数，若, ，则
( )
ACD
A. B. C. D.
【解析】 因为,，所以, ，
；
；
；
7.（多选/2024重庆市田家炳中学月考）大招53以下运算中正确的是( )
ACD
A.若,,则
B.
C.
D.
【解析】 由,,得 ；
原式 ;
；
（【大招53】利用换
底公式,消除对数间底数的差异） .
. .
8.（2025广东江门市培英高级中学月考）大招53,54已知, 是方程
的两个实数根,则 __.
【解析】 因为,是方程 的两个实数根,所以由韦达定理得
, ,则
,即
.
令,则原方程可化为.因为的根为 或
,所以不妨设,,则, ,所以
.
9.（1） （2025江苏省扬州中学检测） ；
【答案】 原式
.
（2） （2025河南驻马店期末） ；
【答案】 由于,, ,
,
因此原式 .
（3） （2025河南驻马店期末）已知,求 的值.
【答案】 由条件, （易忽略） .
由,得 ,
所以,化简得 ,
所以 ,
得或（舍去）,从而可得 .
. .
素养觉醒
1. （2025安徽蚌埠期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》
指出:数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.对数运
算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪,瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关
系,并进一步指出:对数源出于指数.然而对数的发明先于指数,这成为数学史上的珍闻.
（1） 试利用对数运算性质计算 的值.
【答案】 根据对数的运算性质可知原式 .
（2） 已知,,为正数,若,求 的值.
【答案】 由题意,令,则 ,
所以,, ,
所以 .
（3） 定义:一个自然数的数位的个数,叫做位数,例如23的位数是2, 的位数是4.试判
断的位数.注：
【答案】 设,则,又 ,
所以 ,
所以,则 ,
所以 的位数为610.