4.4 对数函数（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共65张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三、题型五
题型一 对数函数的图象及其应用
1.已知函数的图象过点,则 的值为( )
B
A. B.1 C. D.
【解析】 因为函数的图象过点,所以,即 ,则
,解得,所以,则 .
2.（2025广东汕头期末）已知,函数与函数 的图象
可能是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断.
,,则,从而, .
当时,函数与函数 在定义域内都单调递增,
当时,函数与函数 在定义域内都单调递减,
函数与函数 在定义域内单调性相同.
3. （2025江苏南通检测）图中曲线是对数函数 的
图象,已知取,,,四个值,则相应于,,,的 值依次为
( )
B
A.,,, B.,,, C.,,, D.,,,
利用,作直线 ,其与各对数函数图象交点的横坐标即为各对数函
数的底数.
【解析】 由已知图中曲线是对数函数的图象,画出直线 ,如图,
直线与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数函数的底数,
可得曲线,,,的值从小到大依次为,,,,（在轴上方,直线 右侧,底数
越大,函数图象越靠近轴;在轴下方,直线右侧,底数越小,函数图象越靠近 轴）
由取,,, 四个值,
得,,,的值依次为,,, .
. .
4.（2025安徽亳州期末）已知函数恒过定点 ,则
的最小值为( )
A
A. B. C.3 D.
【解析】 由对数函数的图象特点可知,函数,且 的图象过定点
,则由题意可知 ,则
,
（基本不等式“1”的妙用求最值）
当且仅当,即, 时等号成立,
的最小值为 .
. .
5.（2025江西省全南中学月考）大招62已知函数 ,若
,则( )
C
A. B.
C. D.以上选项均有可能
【解析】 作出函数的图象,函数 的图象可以看作是
函数的图象先向左平移一个单位长度,再将轴下方的图象翻折到轴上方
. .
如图,
由题意可知, ,且由图象可知,
, ,
所以 ,
所以,即, ,
即 .
由,令,可知,为直线 与函数
图象交点的横坐标,则可直接由【大招62】等高线问题得,
,即, ,即
.
题型二 对数型函数的定义域、值域及其应用
6.（2025安徽六安独山中学月考）函数 的定义域为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 根据题意得 （被开方数大于零,分母不为零,真数大于零）
解得即 .
. .
7.（2024浙江余姚中学期中）已知函数的值域为,则函数
的定义域为( )
C
A. B. C. D.
本题为型函数值域的逆向考查.由 ,可知外函数
单调递增,从而由得 .
【解析】 由的值域为,得,故,即 的
定义域为,令得,故的定义域为 .
8.（2025天津南开大学附属中学期中）函数 的定义域为
________________.
【解析】 由被开方数非负,分母不为0及真数大于0得解得
且,故所求定义域为 .
9.（2025福建厦门双十中学期中）“函数的定义域为 ”是
”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 对数函数的真数部分为 ,二次项系数含参,分参数是否为零进行讨论.
若函数的定义域为 ,
则当, ,符合要求；
当时,有解得 ；
综上所述, ,（小范围可以推出大范围,大范围推不出小范围）
故“函数的定义域为”是“ ”的必要不充分条件.
. .
10. （2025湖南岳阳期末）已知函数, ,则函数
的值域为_______.
【解析】 因为,, ,
则由解得, 先确定的定义域
即函数 的定义
域为 ,
设,则,且在 上单调递增,
故当,即时,；当,即时, ,
因为,所以函数的值域为 .
. .
11.（2024山东新泰一中期中）已知函数.若,且 的值
域为,则实数 的值为___.
0
【解析】 令,的值域为,则的值域包含 .
①当时,,其值域为 ,满足题意；
②当时,令,,函数转化为函数 ,
其图象开口向下,则的值域为,不满足题意.所以 .
坑神有话说
此类问题对对数函数的底数没有要求,注意对比理解定义域为和值域为 两类问题中真
数分别满足的不同条件.
题型三 对数型函数的单调性及其应用
12. （2025山西忻州一中月考）函数 的单调递减区间为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 外函数为增函数,根据复合函数同增异减的法则可知,只需求函数
的单调递减区间,注意优先考虑定义域.
令,解得或,则的定义域为 .
令,在 上单调递增,
又在上单调递减,所以在 上单调递减,
在上单调递增,所以在 上单调递增.
13. 已知函数 的图象如图所示,则函数
的单调递增区间为
( )
C
A., B.,
C., D.,
【解析】 根据复合函数的单调性法则,结合图象找出使得函数 单调递减以及满
足对应的 的取值范围即可.
因为在上为减函数,所以只要求得 的单调递减区
间,且 （注意真数恒大于零）即可.由图可知,使得函数
单调递减且满足的的取值范围是和 .因此,函数
的单调递增区间为, .
. .
14. （2025安徽合肥一中月考）若函数在区间 上单调递
增,则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可.
因为在区间上单调递增,底数,函数 在定
义域上单调递减,又在区间 上单调递增,则由复合函数单调性
“同增异减”可得在区间 上单调递减且恒为正（ 不要遗漏真
数大于零）,所以且,所以 .
15.（2025河南开学考试）已知函数 若对任意的
,都有,则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 若对任意的,都有,所以在 上单调递增,
所以解得,即的取值范围是 .
题型四 反函数及其应用
16.（2025江西上饶广丰新实中学月考）函数 的反函数是
( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 把看作常数,解方程求出,,互换,得到 即可得解.
因为,所以,所以,即 ，
,互换,得, .
17.（2025湖北重点高中联考）函数与指数函数,且 互为反函
数,且的图象过点,则 ( )
A
A. B.0 C.1 D.
【解析】 因为指数函数，且的反函数为 ,所以
，且.因为的图象过点,故函数 的
图象过,指数函数的图象与对数函数 的图象关于直线
对称
所以 （求底数,可利用指对互化将二者化为真数相同的对数形式）,故
,所以,所以 .
. .
. .
. .
坑神小课堂
指数函数与对数函数互为反函数,反函数的值域为原函数的定义域,且指数函数的图象与
对数函数的图象关于直线 对称.需要注意的是,并非所有函数都有反函数,只有满足
“一一对应”条件的函数才存在反函数.
题型五 比较对数值的大小
18.设,, ,则( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ,, .
又,,,即 .
坑神有话说
求解本题采用了同步升降次法.根据 可知,
,一般出现在以2或者3为底数的对数比大小当中,底数真
数次方同升同降.
19.（2020全国Ⅲ卷）设,, ,则( )
A
A. B. C. D.
【解析】 作差法, .又
, .
特殊值法.要比较,,的大小,而,,,我们常用的特殊值0,1, 似乎不太好
用,又为,,这便让我们想到各数均乘 再作比较.
, .同理,
,, .
20.（2025安徽部分学校开学考试）已知函数,设 ,
,,则,, 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
判断函数 的单调性,利用函数单调性比较大小.
【解析】 由于函数，均为 上的减函数,
故（减减减）在区间 上单调递减,
又 ,
故,所以 .
. .
21.（2025安徽安庆期中）设,, ,则( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ,, ,
（【另解】或直接根据【大招57】中“底数不同,真数相同”类型,利用对数函数图象的变
化规律,可得,则 ）
利用换底公式可知,,所以 ,
故,所以 .
. .
题型六 与对数有关的不等式
22. （2024浙江温州市五十一中阶段练习）不等式 的解集
为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为,所以不等式化为 ,
（把不等式两边化为同底数的形式）
又在 上是增函数,
所以解得 ,即不等式的解集为
.
特殊值法.当时,无意义,排除C,D;当时,
无意义,排除B.
. .
23.（2025湖南长沙一中检测）已知函数,且 ,则实数
的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为,所以函数的定义域为 ,
则定义域关于原点对称,且,所以 为偶函数,
又时, 是单调递增函数（内层函数）,
而 是单调递减函数（外层函数）,
所以是单调递减函数（同增异减）,根据对称性知 时,
是单调递增函数,函数中,,由 得
,解得或 .
. .
. .
. .
24.（2024湖北咸宁阶段练习）大招52，56已知函数
,则关于 的不等式
的解集为_ _________.
【解析】 设,函数定义域为 ,
由【大招52】和【大招56】可知,函数在 上单调递增,为
奇函数,函数在 上也单调递增,也为奇函数,则函数
在 上也单调递增且为奇函数,则原不
等式转化为,即,解得 .
则,故函数为奇函数. ,
在上单调递增,故在上单调递增, ,
,即 ,即
,即,解得.故不等式的解集为 .
坑神有话说
本题中的函数正是【大招52】和【大招56】中所讲的指数型函数模型和对数型函数模型,
若能熟悉结论,则可快速打开解题思路.
题型七 几类函数增长的比较
25.下列函数中随 的增大而增大且速度最快的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为,又 ,所以函数
中函数值随的增大而减小,故排除D.当函数值随
的增大而增大时,在对数函数、一次函数和指数函数中,指
数函数的增长速度最快,如图所示,即四个函数中,函数值随
的增大而增大且速度最快的是 .
坑神小课堂
随着自变量的增大,的函数值增长远远大于 的函数值增长;
而的函数值增长又远远大于 的函数值增长．
26.（2025广东华南师范大学附属中学月考）某学校开展研究学习活动,一组同学获得了
下面的一组试验数据：
1.99 3 4 5.1 8
0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
如下四个模拟函数中,能近似地反映这些数据的规律的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 增长速度不变,不符合题意；
增长速度越来越快,不符合题意；
,当 时,增长速度越来越快,不符合题意；
,当 时,增长速度越来越慢,符合题意.
坑神有话说
（1）当描述函数增长速度越来越快时,常常选用指数函数模型.
（2）当描述函数值不断增长,但不会增长到很大,增长速度越来越慢时,常常选用对数函
数模型.
（3）幂函数模型可以描述不同的增长幅度.当 时,增长速度越来
越慢;当时,增长速度不变;当 时,增长速度越来越快.
27.（多选）函数,,,在区间 上( )
ABC
A.递减速度越来越慢 B. 递减速度越来越慢
C.递减速度越来越慢 D.的递减速度慢于 的递减速度
【解析】 根据指数函数,对数函数及幂函数的性质并结合
图象可知,在区间 上,如图所示，
递减速度越来越慢；
递减速度越来越慢；
递减速度越来越慢；
的递减速度慢于 的递减速度.
28.函数和 的图象如图所示.设两函数的图象分
别交于点,,且 .
（1） 请指出图中曲线, 分别对应的函数；
【答案】 对应的函数为,对应的函数为 .
（2） 结合函数图象,判断,,, 的大小.
【答案】 因为, ,
, ,所以
,,所以, .
从图象上可以看出,当时, ,所以
;当时,,所以 .
又由函数在上单调递增知, ,所以
.
能力觉醒
1.（2025湖南衡阳二中开学考试）设全集,集合 ,
,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由,即,解得或 ,
所以，或 ,
所以,又 ,（ 对数的真数大
于0）
所以 .
. .
2.（2025天津期中）函数 的图象大致为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 此类题一般都是通过分析函数的奇偶性、单调性及特殊点的位置等求解.
函数的定义域为,由 ,知函数
为奇函数,图象关于原点对称,排除A,B.又 ,故排除D,故选C.
3.（2024河南驻马店联考）大招56已知函数,实数, 满足
,则 ( )
B
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】 ,所以的定义域为 ,
,
所以是奇函数,（【大招56】中 的情况,若能熟悉结论,则可快速求解由）
可得,故 .
. .
4.（2024重庆八中阶段练习）大招56若函数在 上有意义且
不单调,则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 根据对数底数的取值范围得且 .
设,在区间上不单调,由知 的图象开口向下,只需要对称轴
,且, 对数的真数在上大于0 即可,
所以解得 .
. .
. .
5.大招55设,,,则,, 的大小关系是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由对数的运算性质,可得, ,
又由,（【大招 55】底数大于1,底数越大,对数函数的图象越靠近 轴）所
以, ,根据指数函数的性质,可得
,（以“2”为中间值,比较,的大小关系）所以 .
. .
. .
坑神有话说
本题所采用的方法为“去常数再比”,即当底数和真数出现了倍数关系时,需要将对数进行
分离常数再比较.例如:
; .
6.（2025湖北武汉二中月考）大招56，58已知函数 ,
则关于的不等式 的解集为( )
C
A. B. C. D.
求出函数的定义域,分析函数 的奇偶性与单调性,根据
可得出关于实数 的不等式组,由此可解得原不等式的解集.
【解析】 因为
,
由可得或 ,
即函数的定义域为 .
因为 ,
所以函数 为偶函数,
任取,,且 ,
则,,,令 ,
则 ,
即,所以函数在 上为单调递增,
大招解:函数为偶函数,且函数在上单调递增
又因为函数在 上单调递增,
所以函数在 上为单调递增,
. .
又因为函数在上为增函数,故函数在 上为增函数,
由可得,可得 ,
解得或,因此,原不等式的解集为 .
7.（多选/2025江苏连云港期末）若 ,则( )
ACD
A. B. C. D.
【解析】 ,由对数函数的定义域可得, ,
,, ；
,
即 ,（不等式两边是相同结构,考虑构造函数）构造函数
,
,在上都是增函数, 函数在 上是增函数,
由可得 ,
, ；
,, ,
.
. .
8.（多选/2025湖北荆州沙市中学月考）若物体原来的温度为单位:,环境温度为
单位:,物体的温度冷却到,单位:与需用时间 （单位:分钟）满足
,为正常数.现有一杯开水放在室温为 的房间里,根据函
数关系研究这杯开水冷却的情况 ,则( )
BCD
A.当时,经过10分钟,这杯水的温度大约为
B.当时,这杯开水冷却到 大约需要14分钟
C.若,则
D.这杯水从冷却到所需时间比从冷却到 所需时间短
【解析】 , 为正常数.
,,, ,
由,得 ,
所以,解得 ；
,,, ,
；
由,得,即 ,
则 ；
设这杯水从冷却到所需时间为 分钟,
则 ,
设这杯水从冷却到所需时间为 分钟,
则 ,
因为 ,
所以 .
9. （2024广东东莞期中）已知函数同时满足条件：①定义域为 ；
,,；,, ,
.请写出这样的一个函数 ____________________.
（答案不唯一）
【解析】 因为,,,,定义域为 ,所以
函数是定义在上的增函数.又 ,所以对数函数满足条
件,, .
综上,函数 可以是底数大于1的对数函数.
10.（2024湖南长沙十五校联考）若函数,函数与函数 的图象关于直线
对称,则 的单调递减区间是______________.
或
【解析】 因为函数,且函数与函数的图象关于直线对称,
函数与互为反函数
所以,所以,令,解得 ,所以
的定义域为,又在上单调递增,在 上单调递减,而
在定义域上单调递增,所以的单调递减区间为
或 .
. .
11.（2025四川绵阳期末）已知函数,当时, ,且函数
在上的最大值与最小值之差为2,则 的值为___.
8
【解析】 函数 的图象如下图所示.
当时,,因此有 ,
, ,
因为 ,
所以,所以 ,
因为函数在 上的最大值与最小值之差为2,
由 ,（或直接由【大招62】等高线问题得
）
于是当,即当时,因为 ,
所以,由函数图象可知 ,
. .
. .
所以 ,
因此 .
12.（2024长沙市雅礼中学阶段练习）大招58若函数 则
的解集为_________________________________.
,或,或}
【解析】 令,当时,由解得或,可得 ,所以
当时,,解得,无解;当时, ,解得
,可得 .
当时,,可得,所以当时, ,解得
或,可得；当时,,解得 ,可得
.
综上所述,的解集为,或,或 }.
13.（2024浙江绍兴一中期中）已知实数, 满足
,则 的最小值是____________.
【解析】 已知等式变形为 ,通过构造函数
,利用函数在上单调递增,得 ,代入
中利用基本不等式求最小值.
由,得 ,
即 ,
函数在 上单调递增,
则,所以 ,
则 ,
当且仅当,即 时等号成立,
所以的最小值是 .
14.（2025浙江杭州期末）大招56已知函数,,其中 ,且
, .
（1） 证明： .
【答案】 对于函数,由,解得或.由于 ,
故,所以 .
（2） 若,,求实数 的值.
【答案】 若,则,又,即,则 ,解
得 ．
（3） 是否存在实数,使得函数的定义域为 时,其值域恰好为
？若存在,求出 的取值范围；若不存在,请说明理由.
【答案】 存在,的取值范围为 .
若存在符合题意的实数,则由,,知 .
因为函数的值域恰好为 ,所以
,所以．又在区间 上单
调递增,所以函数在区间 上单调递减,
. .
由【大招56】结论,,又,则在上单调递减
从而有
即
所以这表明 , 是关于的方程 的两个相异实根,所以问
题转化为关于的方程在区间 上有两个相异实根.
令 ,
则
即又,故 .
综上,存在符合题意的实数,其取值范围是, ．
素养觉醒
1. （2025江苏省梅村高级中学月考）若定义运算 则函数
的值域是________.
【解析】 依题意,由,得,即,解得 ,
由,解得,因此
显然,函数在上单调递减,取值集合为;在 上单调递增,取值集合为
,所以函数的值域为 .