4.5 函数的应用（二）-4.5.1 函数的零点与方程的解& 4.5.2用二分法求方程的近似解（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共49张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解& 4.5.2用二分法求方程的近
似解
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三、题型四
题型一 求函数的零点
1. （2025福建省龙岩一中月考）函数 的零点是( )
A
A.1 B. C. D. 或1
【解析】 由,得 ,（定义域先行:分母、根式有意义）
所以函数的定义域为 .
令,解得（舍去）或,所以函数 的零点是1.（
函数的零点是实数,不是坐标）
. .
. .
坑神有话说
函数的零点,即为方程 的解,对方程求解后注意根据函数的定义域或者题中
的限制条件取舍.
2.（2025河南周口期中）下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由函数零点的概念知,函数的零点就是函数图象与 轴交点的横坐标,结合函数
零点的定义可知选项D没有零点.
3.（2025湖南省衡阳县第三中学月考）已知函数则函数 的
零点为 ( )
D
A.,0 B.,0 C. D.0
【解析】 函数
当时,（分段求解函数的零点,注意定义域）令,解得 ;
当时,令,解得（舍去）, 函数的零点为0.
坑神有话说
分段函数的零点分段求解,求解时注意要符合本段自变量的取值范围.
. .
. .
4.（2025辽宁鞍山期中）已知函数, ,
的零点分别是,,,则,, 的大小顺序为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 分别令,,,得, ,
,
则为函数与图象交点的横坐标, 为
函数与图象交点的横坐标, 为函数
与 图象交点的横坐标,（函数的零点
两函数图象交点的横坐标）在同一平面直角坐标系
中,分别作出,,和 的图
象,如图,由图可知, .
. .
. .
. .
题型二 函数零点存在定理的应用
5.（2025广东揭阳一中期末）函数 的零点所在的区间为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 函数在 上单调递增,（单调函数若有零点,则只有
一个）又因为, ,所
以,即函数零点所在的区间为 .
. .
6. 已知定义在上的函数 的图象是连续不断的,且有如下部分对应值表:
1 2 3 4 5 6
136.1 15.6 10.9
判断函数的零点至少有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】 根据给定的数表,利用零点存在定理判断即可.
由题意知定义在上的函数 的图象是连续不断的.（此条件必不可少）
由数表知,,,, ,
因此函数在区间,, 上分别至少有1个零点,（函数零点存在定理）
所以函数 的零点至少有3个.
. .
. .
7.（2025上海交大附中期末）已知函数的图象在区间 上连续不断,则
”是“在 上存在零点”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 当在上存在零点时,不一定能得到 ,例如
,此时的零点为2,但 ,所以必要性不满足；
当时,若,,三个值中存在0,则在 上显然存在
零点；若,,三个值均不为0,不妨假设 ,
因为,所以,,则 ,根据函数零点存在
定理可知在 上存在零点,所以充分性满足.
所以“”是“在 上存在零点”的充分不必要条件.
8. （2024江苏海安检测）试写出一个实数 _________________,使得函数
在 上恰有1个零点.
1（答案不唯一）
【解析】 不妨取 ,根据零点存在定理以及函数的单调性,即可说明所取值符合题意.
不妨取,则,则,,即得 ,
又图象的对称轴为直线,则在 上单调递增,
故在 上恰有1个零点,满足题意.
题型三 判断函数零点个数
9.（2024北京一六一中学期中）函数 的零点个数是( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
将函数零点问题转化为方程的实数根问题,且所得方程有解,故运用代数法直接
解方程即可得函数的零点个数.
【解析】 函数的定义域为,令,即 ,解得
,所以函数 的零点个数是1.
10.（2025江西省宜春市宜丰中学月考）函数 的零点个数为
( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
将函数的零点问题转化为方程的实数根问题,若方程不易求解,则可以考虑使用
性质法,利用零点存在定理判断.
【解析】 当时,令,解得 ,
当时, ,
,,则 ,又
在区间上连续,所以在 上存在零点.（零点存在定理）
又因为在上单调递增,所以函数在 上有唯一
零点.
综上, 的零点个数为2.
. .
. .
. .
坑神有话说
函数在区间上的图象是连续的,且,则函数在区间 上肯
定有零点,但具体有几个不能确定,确定零点个数,还需要根据函数的单调性确定.
11.（2025安徽省淮南第二中学期中）已知函数当 时,
方程 的根的个数为( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
由“”联想到函数具有周期性,且函数 的图象易作出,因此
考虑将问题转化为两函数图象的交点问题.
【解析】 当时,,即,则 为周期函数,且周期为2.
画出函数与的图象, 函数 周期性的体现,已知两函数的
图象在轴上的位置关系
. .
如图.
由图可知方程 的根的个
数即为两个函数图象交点的个数,
令,则,又因为,所以 .
当时, ,
当时, ,
当时, ,
当时, ,
当时, .
综上可知,两个函数的图象一共有3个交点,即方程 的根的个数为3.
题型四 根据零点个数或所在区间求参数取值范围
12.（2025重庆字水中学期末）函数在区间 上存在零点,则实数
的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
由函数的单调性,根据零点存在定理直接构建关于参数的不等式组可得.
【解析】 若函数在区间上存在零点,函数在 上的图象
连续不断,且为增函数,则根据零点存在定理可知,只需满足 ,即
,解得 ,
所以实数的取值范围是 .
13.（2025江西省部分学校质检）若函数有2个不同的零点,则实数
的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
已知函数 有2个不同的零点,则等价于方程
有2个解,式子中含有绝对值,方程不易解,则可考虑使用数形结合
法,将问题转化为与 两函数图象的交点问题.
【解析】 函数有2个不同的零点,即与 的图象有
2个交点,
令,作出函数的图象可以看作是将函数 的图象在
轴下方的部分翻折上去,当时,的图象全都在轴上方,变换前后一致 与
的大致图象如图所示,
. .
由图可知,则, 根据
,的关系,将的取值范围转化为的取值范围 所
以实数的取值范围是 .
. .
14.（2025甘肃兰州一中开学考试）已知定义在上的函数满足 ,当
时,,函数若函数 在区
间上恰有8个零点,则 的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 函数 在区间
上恰有8个零点,等价于函数 与函
数的图象在区间 上有8个交点,由
知,是定义在 上周期为
由图知,当时,两函数图象有五个交点,故在 上两函数图象有三个交点即可,
故且（数形结合）解得 .
2的函数,作出函数与函数在区间 上的图象如图所示,
. .
15.（2025山东德州期末）已知函数 .
（1） 当时,求 的定义域及单调递增区间；
【答案】 当时, ,
令,即,解得或 ,（对数的真数大于0得定义
域）
所以函数的定义域为 .
因为在上单调递减,在 上单调递增,
在定义域上单调递增,
所以在上单调递减,在 上单调递增，
即的单调递增区间为 .
. .
. .
. .
. .
（2） 若关于的方程在上有解,求 的最小值.
【答案】 因为关于的方程在 上有解,
所以关于的方程在上有解,且 恒成立,
问题为方程在有解且此解满足 恒成立,则
可使用分离参数法将参数分离出来,即,从而转化为用基本不等式求 的最小值
即可得.
即问题转化为在 上有解,（参变分离）
因为 ,
当且仅当,即 时等号成立,
（使用基本不等式求最值时,注意检验等式取等时的 的取值是否在定义域内）
又在上恒成立，则在 上恒成立，即
，又当时，，所以， 【另解】检验法,
将代入中,满足在上恒成立 又因为
，
所以的最小值为 .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
题型五 二分法的应用
16.（2025福建漳州期末）用二分法求函数在区间 上的零
点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( )
B
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】 因为开区间的长度等于 ,每经一次操作,区间长度会变为原来的一半,所以
经过次操作后,区间长度变为,若要求精确度为0.01时,则 ,解得
,且 ,故所需二分区间的次数最少为6.
17.（多选/2025广东华南师范大学附属中学期中）下列函数图象与 轴均有公共点,其中
不能用二分法求零点的是( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 能用二分法求零点的函数必须在给定区间 上连续不断,
并且有,A，B中不存在 ,D中函数不连续.
18.（2025黑龙江哈尔滨六中月考）新课程互助学习小组在学习二分法后,利用二分法研
究方程在上的近似解时,经过两次二分后,可确定近似解 所在的区间
为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 令,可知,.又 ,则
,所以 ,根据二分法结合零点存在定理可知,近似解
所在的区间为.又,所以 ,根据二分法结合零点存在定
理可知,近似解所在的区间为 .
19.（多选/2025江西省宜春市上高二中月考）某同学求函数 的零点
时,用计算器算得部分函数值如表所示:
则方程的近似解（精确度 可取为( )
BC
A.2.62 B.2.56 C.2.531 D.2.75
【解析】 因为函数 在其定义域内单调递增,
所以结合表格中数据可知方程的近似解所在区间可以是, ，
,, ,
根据区间的长度计算分别为1,，,, ,（可以将区间的长度理解为近似
解的“精确度”）
根据精确度为,可知方程的近似解在区间 上,
根据精确度为0.1的要求,可在区间 上任选一个值作为该方程的近似解,结合
选项,可选 .
. .
能力觉醒
1.（2025江苏苏州期中）已知是函数的一个零点,若 ,
,则( )
B
A. B.
C., D.,
【解析】 函数在区间上单调递减,函数在区间 上单调
递减,故函数在区间 上单调递减.
又,,,,所以 .
因为,,,由单调性知, ,即
.
2.（2025安徽省宣城市第二中学调研）函数 的零点所在的一个区
间是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由题可知函数的定义域为,函数, 在区间
上单调递减,则在区间 上单调递减.
又 ,（根据选项代入区间的端点值,判断在区间端
点值处函数值与0的大小关系）
,
,
,
,
则,根据零点存在定理可知,函数的零点在区间 上.
. .
3.（2025江苏无锡一中期中）若二次函数在区间 上存在一个
零点,则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.或
【解析】 由题意可得方程在上存在一个根, ,
由函数,则其图象的对称轴为直线 ,
当时,可得解得 ；
当时,可得 显然无解.
综上所述, .
4.（2025重庆外国语学校月考）大招60是定义在上的偶函数, ,都有
,且当时,.若在区间内关于 的方程
至少有2个不同的实数根,至多有3个不同的实数根,则 的
取值范围是( )
C
A. B. C.,2） D.
【解析】 由,可得,因为是定义在 上的偶函
数,则 ,
所以,即 的周期为4.
作出函数在上的图象,根据
的对称性及周期为4,可得出在 上的图象,如图.
令,若在区间内关于 的
方程 至少有2个不同的实
数根,至多有3个不同的实数根,则函数 与函数
在 上至少有2个不同的
交点,至多有3个不同的交点,所以
（数形结合找临界）即 解得
.
. .
5.（2025安徽省部分学校联考）已知函数,函数 满足
,,若函数 恰有2 025个零点,则所有零
点之和为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 由,得函数的定义域为 ,
又,即函数 是奇函数,
函数的图象关于点对称,则函数的图象关于点 对称,
函数的图象可以看作是函数的图象向左平移两个单位长度得到
由,,得函数的图象关于点 对称,
若,则的图象关于点 对
称）
因此函数的图象关于点对称,由函数 恰有2 025个零点,
得函数有一个零点为,其余零点关于点 对称,
所以所有零点之和为 .
. .
. .
6.（多选/2025广东东莞模拟）下列说法正确的是( )
ACD
A.方程的解在 内
B.函数的零点是,
C.函数 有3个不同的零点
D.用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到 ,
,,则零点近似值在区间 上
【解析】 求方程的解所在区间等价于求函数 零点所在
区间,易知,都在上单调递增,所以在 上单调递增,又
, ,
所以存在唯一零点,且,即方程的唯一解在 内；
令,解得或 ,
所以函数的零点是 或3；
. .
（ 函数的零点不是坐标,而是函数图象与 轴交
点的横坐标）
方程的根不易求,但函数, 的
图象易作出,则考虑使用数形结合,如图,
当时,函数和 的图象显然有一个交点,
又,,所以函数和 的图象在
,处相交,则两函数的图象一共有三个交点,所以 有三个不同的零点；
因为,且函数的图象在区间 上连续不
间断,（注意该条件必不可少）
所以由零点存在定理可知,零点近似值在区间 上.
. .
. .
7.（多选/2025广东深圳外国语学校月考）已知, 分别为函数
与 的零点,则下列关系式正确
的是( )
BCD
A. B. C. D.
【解析】 在上单调递减, ,
,故 ；
在上单调递增, ,
,故 ；
,即, ,即
.
因为和的图象关于直线对称,和 互为反
函数的图象也关于直线 对称,
故和关于直线对称,所以,即 ；
因为,且,,故,即 ,
当且仅当时等号成立,又因为,所以 .
. .
8.（2024上海奉贤区致远高级中学教学评估）设函数 ,则
在区间内的零点的近似解为______________.精确度为
（不唯一）
【解析】 由,,而,则 ,
,则,,则 ,
,则,由于 ,
所以区间内的零点的近似解可取为 .
9.（2024湖南省长沙市期中）大招59，61已知函数, .
（1） 若对任意,存在,使得,求实数 的取值范围；
【答案】 由与可知, ,
所以或有解,分离参数得,或
有解,
令,则,由或有解,得或 ,
即或,故实数的取值范围为 .
（2） 若函数,求函数 的零点个数.
【答案】 依题意 ,
令,则函数转化为,此时只需讨论关于 的方程
的解中,大于或等于2的解的个数.（换元,转化为方程的实数解问题,注意
新元的取值范围;同时函数为对勾函数,当时,对应一个,当 时,对应
两个 ）
①当时,,没有大于或等于2的解,此时 没有零点.
②当时, ,
当时,,方程没有大于或等于2的解,此时 没有零点；
当时,,方程有一个等于2的解,函数 有一个零点；
当时,,方程有一个大于2的解,函数 有两个零点.
. .
. .
③当时,, 恒成立,即方程不存在大于或等于2的解,
此时函数 没有零点.
综上所述,当时,有一个零点；当时,有两个零点；当 或
时, 没有零点.
素养觉醒
1. （2025安徽阜阳一中期中）从古至今,中国人一直追求着对称美学.世界上
现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿,朱红的城墙,汉白玉的
阶,琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布,壮美有序,和谐庄严,映照着蓝天白云,宛如
东方仙境.再往远眺,一线贯穿的对称风格,撑起了整座北京城.某建筑物的外形轮廓部分可
用函数的图象来刻画,满足关于的方程 恰有3个不同的
实数根,,,且其中,,则 的值为( )
C
A. B. C. D.
先确定函数图象的对称性,然后根据函数图象的对称性确定根,从而列出关于, 的方
程组,解方程组即可求解.
【解析】 因为
,所以 的
图象关于直线对称,（对称性转化）所以 的根应成对出现,
又因为关于的方程恰有三个不同的实数根,,,且 ,
所以该方程的一个根是,得,, ,（【大招62】等高线的结论）所
以
由得,当,即时, ,
因为,所以 ,
则 ②,
由可求出,所以 .
. .
. .
. .
当,即时,
③,
因为,所以 ,
则 ④,
由得 （不符合题意，舍去），故方程组无实数解.
综上,方程组的解为所以 .