4.5.3 函数模型的应用（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共36张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5.3 函数模型的应用
题型觉醒
高频题型：题型一、题型二
题型一 指数型函数模型的实际应用
1.（2024山东联考）某厂1995年的产值为万元,预计产值每年以 递增,则该厂到2007
年的产值（万元）是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 考查指数函数的实际应用,求解时只需从1995年向后写几年就可以得到规律.
某厂1995年的产值为万元,预计产值每年以递增, 该厂到1996年的产值（万元）
为 ,该厂到1997年的产值（万元）为
,该厂到1998年的产值（万元）为 ,
该厂到2007年的产值（万元）为 .
2.（2025安徽亳州期中）把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 ,空气的
温度是,那么后物体的温度 单位:可由公式 求得,其
中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体,放在 的空气
中冷却.后物体的温度是,那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为
参考数据:, ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 依题意,由的物体,放在的空气中冷却,后物体的温度是 ,
得,解得 ,
设该物体从的温度降至需要冷却的时间为 ,则
,
于是,两边取对数得 ,
所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为 .
3.（2025浙江杭州四中月考）复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在
一起算作本金,再计算下一期的利息,我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利
计算的储蓄.某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务,已知每期利率为 ,若存
期,本利和为11万元,若存期,本利和为12万元,若存 期,求总利息为多少.
【答案】 由题意,可得 则
,
即存期,本利和为,则存期,总利息为 （万元）.
4.（2025河南商丘期末）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经
网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为 ,其中
表示每一轮优化时使用的学习率,表示初始学习率,表示衰减系数, 表示训练迭代轮
数,表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型, ,且当训练迭代轮
数为18时,学习率衰减为 .
（1） 求该学习率模型的表达式；
【答案】 由题意可知,该学习率模型为 ,
当时,,代入可得,解得 ,所以该学习率模型的表达式为
.
（2） 要使学习率衰减到以下不含,至少需训练迭代多少轮？ 参考数据：
【答案】 由学习率衰减到以下不含,可得 ,
即,所以,即 ,
,所以
,又,则 的最小值为74,即至少需训练迭代74轮.（将结论还原到实际问题中
时,不要忽略实际背景下的函数的定义域）
题型二 对数型函数模型的实际应用
5.（2025四川成都期中）据统计,第年某湿地公园越冬的白鹭数量 （只）近似满足
,观测发现第2年有越冬白鹭1 000只,估计第5年有越冬白鹭
( )
B
A.1 530只 B.1 636只 C.1 830只 D.1 930只
【解析】 由题意，当时, ,
即,解得 ,
所以时, .
6.（2025安徽省A10联盟开学考试）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现:两
岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒）,若某只两岁的燕子耗氧量为 时的
飞行速度为（米/秒）,另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为 （米/秒）,两只
燕子同时起飞,当 时,一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为_____米.
600
【解析】 由条件列出,及,的关系式,结合,求出 ,由此可得结论.
因为,所以 ,
所以,,又 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为 （米）.
7.（多选/2025山东临沂开学考试）根据《中华人民共和国噪声污染防治法》,城市噪声
分为工业生产噪声、建筑施工噪声、交通运输噪声和社会生活噪声四大类.根据不同类
型的噪声,又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝 为单位来表示声音大小的等级,
分贝为安静环境,超过50分贝将对人体有影响,90分贝以上的环境会严重影响听力
且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为的声音对应的分贝数为 ,那么满足
.对几项生活环境的分贝数要求如下,城市道路交通主干道为
,商业、工业混合区为,安静住宅区、疗养院为 .已知在某
城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为,, ,
则( )
A.
B.
C.若声音强度由降到,则需降为原来的
D.若要使分贝数由40提高到60,则声音强度需变为原来的100倍
√
√
【解析】 由题意可知,,即 ,得
;
,即,得 ;
,即,得 .
,所以,与 大小关系不确定；
因为,,所以 ；
当声音强度的等级为时,有,即 ,得
,此时对应的强度 ,
当声音强度的等级为时,有,即,得 ,
此时对应的强度 ,
所以的声音与的声音强度之比为 .
8.［分段函数模型］（2025四川宜宾期末）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：
当销售利润不超过20万元时,按销售利润的 进行奖励；当销售利润超过20万元时,若
超出万元,则超出部分按进行奖励.记奖金为 （单位：万元）,销售利润为
（单位：万元）.
（1） 写出奖金关于销售利润 的关系式；
【答案】 根据题意可知,当销售利润时, ；
当销售利润 时（ 各段自变量的取值范围）,
.
所以可得奖金关于销售利润的关系式为
. .
. .
（2） 如果业务员老江获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元？
【答案】 易知当时,奖金不可能为10万元,所以令 ,即
,则,解得 ,
即业务员老江的销售利润是31万元.
题型三 函数模型的探究应用
9.（多选/2025广东普宁期末）某数学小组在
进行“数学建模活动——探究茶水温度与时
间的关系”时,根据所收集的数据,得到时间
（分钟）与水温 的散点图（如图）,则
下列不可能作为该散点图对应的函数模型的
是( )
AC
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题图可知,图象中的点成递减趋
势.又因为函数 ,
都是单调递增函数,故A,C
满足题意；而函数
,
都是单调递减函数,故B,
D不满足题意.
10.（2025江西上饶期中）某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:
1.99 2.8 4 5.1 8
0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数:
；；； .
请从中选择一个模拟函数,使它比较近似地反应这些数据的规律,应选( )
C
A.① B.② C.③ D.④
已知不同的函数模型,根据题中已知数据,拟合函数模型来解决实际问题.根据表
中提供的数据,可通过描点,连线,画出图象,看哪个函数的图象能接近所画图象,这个函数
便可反映这些数据的规律.
【解析】 根据表中数据,画出图象,如图,
通过图象可看出,题中这些数据所反映出的数据的规律,比较接近对数函数 的图象.
11.（2025辽宁抚顺六校协作体期末）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能
用于锻炼的课余时间有90分钟,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得
分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系,要求及图示如下：①函数是区间 上
的增函数；②每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分；③每天运动时间为30分钟时,当
天得分为3分；④每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型 ,
, 可供选择.
（1） 请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式；
【答案】 第一步：分析题中每个模型的特点.
对于模型,当 时,匀速增长；
对于模型,当 时,先慢后快增长；
对于模型,当 时,先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型.
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型,故选 .
第三步：把要求②③中的两点的坐标代入选好的模型中,利用待定系数法求得函数解析式.
将,分别代入解析式得到 即
解得即 .
第四步：验证模型是否合适.
当时, ,满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为 .
（2） 求每天得分不少于4.5分,至少需要锻炼多少分钟.（注： ,结果保留整数）
【答案】 由,得 ,
又在上是增函数,所以,得 ,
所以每天得分不少于4.5分,至少需要运动55分钟.
能力觉醒
1.［物理情境］（2024重庆一中期中）宇宙之大,粒子之微,无处不用到数学.2023年诺贝
尔物理学奖颁给了在“阿秒光脉冲”实验方法作出贡献的3位科学家,光速约为 米/
秒,1阿秒等于 秒.现有一条50厘米的线段,第一次截去总长的一半,以后每次截去剩余
长度的一半,需要再截____次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离. 参考数据：
, ( )
B
A.30 B.31 C.32 D.33
【解析】 根据已知,可得光在1阿秒内走的距离为 （米）,
再截次后,剩余的长度 .
由,可得,结合函数 的单调性,两边同时取对
数,得
,所以
,所以应当再截31次.
2.［物理情境］（2024黑龙江齐齐哈尔期末）2024年4月25日下午,神舟十八号航天员乘
组出征仪式在酒泉卫星发射中心问天阁圆梦园广场举行.叶光富、李聪、李广苏3名航天
员领命出征. 北京时间2024年4月25日20时59分,搭载神舟十八号载人飞船的长征二号 遥
十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射,约10分钟后,神舟十八号载人飞船与火箭成
功分离,进入预定轨道.航天员乘组状态良好,发射取得圆满成功.设火箭质量是箭体质量与
燃料质量的和,在不考虑空气阻力的条件下,燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭
质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为,当燃料质量为 时,该火箭
的最大速度为；当燃料质量为时,该火箭的最大速度为 ；当
燃料质量为 时,火箭的最大速度为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 设当燃料质量分别为和时,火箭的最大速度分别为和 ,
则 ,
又当燃料质量为时,该火箭的最大速度为,当燃料质量为 时,该
火箭的最大速度为 ,所以
,
解得,所以 .
令,则 ,所以
.
3.（多选/2025江西南昌二中月考）南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻
（时）的函数关系为,,其中 为污水治理调
节参数,且,规定每天中 的最大值作为当天的污水污染指数,则使该厂每天的
污水污染指数不超过3的 的取值可以为( )
AB
A. B. C. D.
【解析】 换元法.设,则当时, （ 换元后定
义域的变化）.
可得,,且 ,
则
显然在上单调递减,在 上单调递增,
则,,且, ,
则有解得 ,
又,故调节参数应控制在 内,
结合选项可知,正确, 错误.
. .
坑神有话说
在解题时遇到较为复杂的函数模型时,可以考虑能否将函数结构进行转化,利用整体思想,
将部分复杂的结构进行换元,从而将原复杂的函数结构进行简化,从而快速解题.
4.（2025江苏南京期末）根据国际标准,室内二氧化碳浓度应不超过 ,在这个范
围内,室内空气质量良好,人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度 与开窗
通风的时长（分钟）之间的关系式为 .经测定,该室内初始时
刻的二氧化碳浓度为 ,要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准,则需要开窗通
风的时长至少约为( )
参考数据:,
C
A.6分钟 B.8分钟 C.10分钟 D.12分钟
【解析】 依题意,时,,则 ,解得 ,
因此,由,得,解得 ,
则, ,所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟.
5.［生物情境］（2025四川泸州期末）在密闭培养环境中,某类细菌的繁殖在初期会较快,
随着单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度又会减慢.在一次实验中,检测到这类细菌在培
养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间 （单位：小时）的关系如表：
2 3 4 5 6 8
3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系,现有
以下三种模型供选择：
,, .
（1） 选出你认为最符合实际的函数模型,并说明理由.
【答案】 由散点图知,随着自变量的增加,函数值的增长速度变小,
而 在对称轴右方,随着自变量的增加,函数值的增长速度变大,
随着自变量的增加,函数值的增长速度变大,故选择函数
（分析函数增长特点,选择恰当的函数模型）.
. .
（2） 利用和 这两组数据求出你选择的函数模
型的解析式；并预测从第2小时开始,至少再经过多少个小
时,细菌数量达到6百万个.
【答案】 由题意,可得
解得
所以 .
令,即,解得 .
故至少再经过64小时,细菌数量达到6百万个.