第四章 指数函数与对数函数（专项解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共69张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
专项觉醒1 比较大小
题型一 利用单调性
1.（2025贵州毕节期末）已知 ,则( )
B
A. B. C. D.
【解析】 根据对数函数的单调性得到,再根据指数函数 的
单调性判断即可.
因为在定义域上单调递减,又,所以 ,
又在定义域上单调递增,所以 .
2.（2025山东威海期末）已知,, ,则( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ,, 对应函数都不相同,考虑确定各自范围,进而比
较大小.在上单调递减,则 ；
单调递增,所以 ；
又单调递减,所以 ,
所以 .
3.（2025江苏常州期末）已知,,, ,则( )
B
A. B. C. D.
【解析】 先根据求出,作差比较出 .
因为,所以 ,
故,, ,
,故 ,
,故 ,
所以 .
4.已知,, ,则( )
C
A. B. C. D.
【解析】 首先根据指对互化求,, ,再根据对数函数的性质,和临界值比较大小.
由题意可知,, ,
,则,,即 ,
,即,所以 .
5.（2025江苏苏州期末）已知,,,则,, 的大小关系为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ,的范围都在 内,不好比较大小,可考虑扩大相同的倍数
后再比较大小,的范围可通过指数函数 的单调性确定其范围.
易知,, ,
又因为, ,即
,所以【另解】也可由函数为增函数直接得
,所以 .
. .
6.（2025广东深圳期中）已知,,,则,, 的大小关系为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 不能直接比大小,则可把临界值2和1写成对应的指数式或对数式,再利用函数单
调性比较大小.
,, ,故
.
7.（2025山东威海期末）已知,, ,则( )
B
A. B. C. D.
【解析】 根据题意利用换底公式结合对数、指数函数的单调性即可得解.
因为, ,
且,所以,（【大招55】在直线的右侧, 轴的
上方,对数函数的图象“底大图低”）又,所以 .
. .
8.（2025福建福州期中）设函数 ,则下列不等式中正确的是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 因为的定义域为 ,
所以 ,
所以为偶函数,所以 .
当时,,因为,在 上单调递增,
所以在 上单调递增,
因为,所以 ,故选D.
9.（2025湖北孝感一中月考）下列不等关系正确的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ,,故,即 ;
,（逆用对数运算的性质） ;
,所以 ；
, ,（转化为指同底不同的函数
值,利用幂函数的单调性比较大小） ;
. .
. .
利用指数函数的图象., 指不同,底不
同,考虑用指数函数在第一象限“指大图高”的性质比大小.
如图,画出函数, 的图象,由图象可知
.
找中间值.易知,（利用指数函数y=0.3x的单调性）
，（利用幂函数 的单调性）
所以 .
, ,
则 ,
.
而, ,
,
故,即 .
10.（2024山东临沂期末）已知,设,, ,则( )
A
A. B. C. D.
【解析】 同时取对数可判断, 的大小关系,利用换底公式结合糖水不等式可判
断, 的大小关系.
由,可知,即,所以 .
易知, ,
由糖水不等式“若,,则”,得,即 ,所
以 .
题型二 不定方程
11.（多选/2025陕西西安期末）已知实数,满足,且 ,则( )
AD
A. B. C. D.
【解析】 根据可得,构造函数,利用函数的单调性可得 ,从而判
断；再根据作差法结合换底公式以及对数函数的单调判断 .
实数,满足,因为 ,
所以 ,
设函数,因为, 都单调递减,
所以单调递减,且 ,
等价于,所以 ,B不正确；
又因为,所以 ,A正确；
由上可知,,因为单调递增,所以 ,
所以 ,
所以 ,D正确,C不正确.
12.已知,,是正实数,且,则,, 的大小关系不可能为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为,,, 是正实数,所以
,
因为,,,所以,, ,
对于A,若,则 ,满足题意；
对于B,若,则, ,满足题意；
对于C,若,则, ,满足题意；
对于D,若,则,,故 ,不满足
题意.
13.设实数,满足,,则, 的大小关
系为( )
C
A. B. C. D.无法比较
【解析】 先假设 ,再推导出与假设矛盾的结果或成立的结果即可得解.
假设,则, ,
由,得,即 ,
因为函数在上单调递减,又 ,所
以,所以 .
由,得,即 ,
因为函数在上单调递减,又 ,所
以,所以 .
即有与假设矛盾,所以 .
题型三 同构法
14.若 ,则( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ,则 ,
设,为上的增函数,且,则,即 .
15.（2025江苏检测）已知正实数,满足 ,则( )
B
A. B. C. D.
由已知等式分离两变量得 ,构造函数
,利用函数单调性比较大小可得.
【解析】 由已知，得 ,
即,出现同构,考虑构造函数,
构造函数, ,
则,且 ,
所以 ,
又在上单调递增,所以 .
. .
16.（浙江卷）设, ,( )
A
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【解析】 ,
方法一 ,,则 ,
设,在上单调递增,且,则 .
方法二 ,,则 ,
设,在上单调递增,且,则 .
故A正确,B错误；
,
因为,,所以 .
令,则 .
又,,,所以在上不单调，故, 的关系不确定，故C，
D错误.
17.已知,,且满足 ,则下列关系正确的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ,
即 .
令,则 ,
函数和在上都是增函数,则在 上为增函数,
所以,即 .
题型四 数形结合
18.（2025江苏宜兴期中）若实数,,满足 ,则下列不等关系中不可能
成立的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由已知得,易知 ,
设直线,作出,,直线 的图象,
如图，当时,, ,
当时,, ,
所以 不可能成立.
19.（2025天津期中）已知,,,则,, 的大小关系为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 利用指数函数的图象比大小., 底同
指不同,与 指同底不同,考虑利用指数函数
,的图象比较大小.如图,画出函数,
的图象.根据指数函数在第一象限“指大图高”的性质可得 .
利用幂函数的性质比大小.经过变形可将,, 转化为指同底
不同的函数值,利用幂函数 的单调性比较大小即可.
,幂函数在 上单调递增,
因为,所以,即 ,
所以 .
20.（2025河北省联测）已知是定义域为的单调函数,且 ,若
,则( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 已知,则可令 ,又
是定义域为的单调函数,所以存在唯一 ,使得
,即,所以,解得 ,
所以.如图所示,作出与 的图
象及直线 ,
因为与互为反函数,所以它们的图象关于直线 对称,
,在图中作出直线 ,
则直线与,,图象的交点的横坐标依次为,,,可得 ,
又在上是单调递增的,所以 .
21.（2024天津市和平区检测）已知,,满足, ,
,则,, 的大小关系为( )
B
A. B. C. D.
图1
【解析】 根据方程的根与函数图象的交点的横坐标之间
的等价关系,作出相应函数图象即可求解.由题意知,把 的值
看成函数与 图象的交点的横坐标,如图1,
因为,,所以 ；
图2
把的值看成函数与 图象的交点的
横坐标,如图2,
因为,所以 ；
图3
把的值看成函数与 图象的交点的横坐
标,如图3,
因为,,所以 .
所以 .
22.设函数,,且,判断 与2的大小关系.
【答案】 的图象可看成 的图象
向下平移1个单位长度后,再把所得图象位于 轴下方的部分沿
轴向上翻折得到,其图象如图所示,
由图可知,要使,且成立,则
且,所以且 ,又
,即
.
第四章 指数函数与对数函数
专项觉醒2 复合函数的零点问题
1.［二次函数复合型］（2025广东深圳期中）已知函数 则函数
的零点个数是___.
6
复合函数的零点问题,观察到方程 比较好解,则可以采用
“由外向内一层一层去处理”.
【解析】 令,即 ,
整体思想:将看作一个整体,作为方程中的自变量
解得或 ,
. .
则原问题转化为函数的图象与直线,
的交点个数问题,作出函数 的图象如图,
由图可知,方程有3个实数解, 有3个
实数解（内横）,且均互不相同,
所以的实数解有6个,即 的零点的个数是
6.
. .
. .
2.［二次函数复合型］（2025江苏南京金陵中学月考）已知函数
若方程 有5个不同的实数解,则实数
的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 作出函数 的大致图象如图所示.
令,因为方程 有5个不同的实数解,
所以方程在,内各有一个实数解,或
的一个解为,另一个解在内,或的一个解为 ,另一个解在
内.【大招61】横竖皆来:作出内函数 的图象,由方程
. .
. .
. .
的解的个数，得到外函数的零点记为
位置，目的是确保直线与的图象有5个交点
①当在,内各有一个实数解时,设 ,
则解得 ；
②当的一个解为时,,此时方程的另一个解为,不在 内,
不满足题意；
③当的一个解为时,,此时方程的另一个解为,在 内,满
足题意.
综上可知,实数的取值范围为 .
图1
利用参变分离求解.作出函数 的大致图象如图1所示.
令,则 ,因为原方程有5个不同的实数解,则
方程在, 内各有一个实数解,或方
程的一个解为,另一个解在 内,或方程
的一个解为,另一个解在 内.
设方程的两个解为,,且.易知 ,所以
.
图2
①当,时,作出函数 的图象
,如图2所示.
由图象可知由直线与函数 的图象的
一个交点的横坐标在内可知,又由直线 与
函数的图象的另一个交点的横坐标在 内可
知,取二者的公共部分可得的取值范围 ；
②当时,,此时 不满足题意；
③当时,,此时,在 内,满足题意.
综上可知,实数的取值范围为 .
. .
3.型 （2025安徽省皖江名校联盟联考）已知函数
,若方程 有且仅有5个不相等的
整数解,则其中最大整数解和最小整数解的和等于( )
A
A. B.28 C. D.14
已知关于方程 实数根的个数,可知外层方程不易解,则考虑由内到外
处理.
【解析】 先作出 的大致图象,如下,
换元,令,则,又 为二次函数,
则根据的图象可知,要满足题意必须使有两个不等根, ,
且有两个整数根, 有三个整数根,
结合对勾函数和对数函数的图象与性质知,直线与 的图象相切时
符合题意,
因为,当且仅当，即 时取得等号,
又 ,易知其在定义域内单调递减,
即,此时有两个整数根或 ,
而要满足有三个整数根,结合 图象知必有一根小于2,
显然只有符合题意,当时有,则 ,
解方程得的另一个正根为 ,
又 ,
此时五个整数根依次是, ,1,2,4,
显然最大的根和最小的根和为 .
4.型（2024陕西联考）用,表示,中较小的数, ,
,则 的解的个数为( )
D
A.2 B.4 C.6 D.8
复合函数零点问题,采用【大招61】内横外竖法求解.
【解析】 联立得解得,设,画出 的图象如图所示,由
解得,由解得或.令,则 或
或或,外竖：先找外函数的零点
. .
. .
由图象可知,有4个解,, 分别有
2个解, 没有解,（内横）
且上述8个解互不相同,所以 的解的个数为8.
. .
. .
5.型（2025浙江丽水期末）已知函数,函数 为偶函数,
且当时,, .
（1） 若函数在上是增函数,求 的最小值；
【答案】 函数图象开口向上,对称轴方程为 ,
函数在上单调递增, ,
又 为偶函数,
.
的最小值是5.
（2） 若方程有4个不同的实数解,求 的取值范围.
【答案】 为偶函数,由 ,时 ,
方程 有4个不同的实数解, 当时,有两解,
且当时, 有两解,
,
解得 .
方程有4个不同的实数解转化为,当时,
有两解,且当时,有两解,再结合二次函数的性质可求 的取值范围.
第四章 指数函数与对数函数
专项觉醒3 等高线问题
题型一 由方程根的个数求参数范围
1.（2025北京育才学校月考）设函数若 有3个不同的
实数根,则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 作出函数与直线 的图象,如图.
由图象可知,当时,函数的图象与直线 有3个交点,
所以实数的取值范围是 .
2.（2025安徽省芜湖一中月考）已知函数是定义在上的偶函数,当 时,
若方程仅有4个不相等的实数根,则实数 的取值
范围是( )
A
A. B. C. D.
探讨函数的性质并作出函数的图象,然后把方程 仅有4个
不相等的实数根,转化为函数的图象与直线有4个交点,即直线 为函
数 的等高线,数形结合即可求解.
【解析】 当时,在上单调递增,函数值集合为 ,
当时,在上单调递减,函数值集合为 ,
又函数是定义在上的偶函数,其图象关于 轴对称,
作出函数 的图象，如图.
方程 仅有4个不相等的实数根,则函数
的图象与直线 有4个交点,
当时,函数的图象与直线 有4个
交点,
实数的取值范围是 .
3.（2025江苏苏州期中）已知函数其中 ,若
存在实数,使得关于的方程恰有3个互异的实数解,则实数 的取值范围是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为,所以 的大致图象如图所示.
当时,,因为存在实数,使得关于的方程 恰有3个
互异的实数解,所以,又,所以 .
题型二 求与方程根有关的代数式的值或范围
4.（2025山东济南一中月考）已知函数函数与
的图象有4个交点,横坐标依次为,,,且 ,满足
,则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为 的图象如图,
由题意得, (【大招识别】根据二次函数图象的特点可知,点
,关于直线对称,则 ),
则 ,
. .
令,得或4,故 ,
所以 ,
令,则, ,
.
5.（多选/2024上海虹口期末）设若实数 且满足
,则( )
CD
A. B.
C. D.的取值范围是
由实数且满足 可知本题为等高线问题,利用
【大招62】求解即可.
【解析】 作出 的图象,如图所示,
由图可知, ,
且解得
则 ,
因为,则,可得 ,
所以的取值范围是 .
6.（多选/2025江西省丰城中学期末）已知函数,
.若关于的方程有3个不同的实数解,,,且 ,则( )
BCD
A.的最小值为4 B.的取值范围是
C.的取值范围是 D. 的最小值是9
【解析】 作出的大致图象与直线, 如图所示.
由题意可得,可得, ,即
,,其中,,, .
因为,当且仅当,即 时,等号成立,
但,所以 的最小值不为4；
因为,,所以 ,
；
因为 ,
所以,当且仅当,即 时,等号
成立,
所以 的最小值是9.
7.（2025安徽省合肥市第七中学月考）已知函数 若方程
有4个不同的实根,,,,则 的取值范围是
________.
直线为函数的图象的等高线.先画出函数 的图象,把方程
有4个不同的实数根转化为函数的图象与 有4个不同的交点,结合对勾
函数的单调性即可求解.
【解析】 因为
当时,,可知其对称轴为 ,
令,解得或 ；
令,解得或 ；
当时,,令,解得或 ,
作出函数 的图象,如图所示,
若方程有4个不同的实根,, ,
,
即与 有4个不同的交点,
交点横坐标依次为,,, ,
则 ,
对于,,则,可得,所以
(在小题中,可以直接用【大招62】等高线问题中“若函数图象与函数 有
两个交点, ,则 ” )；
对于,,则,,,可得 ；
. .
所以 ,
由对勾函数的图象和性质可知 在
上单调递增,
得 ,
所以的取值范围是 .
8.（2024湖南长沙市长郡中学期中）已知函数若存在实数 使
得方程有4个不同实根,,,,且 .
（1） 求 的取值范围；
【答案】 由 得
作出 的大致图象如图所示,
结合的图象可知的取值范围是 .
（2） 求 的值.
【答案】 ,是方程的两根,所以,故 ,即
,又,是方程的两个根,即方程 的两个根,
所以,所以 .