第四章 指数函数与对数函数（考向解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

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第四章 指数函数与对数函数
真题觉醒
考向一 指、对数值的计算
1.（2024全国甲卷）已知且,则 ____.
64
【解析】 根据题意有,即 ,（对数的运算性质与
换底公式的应用）设,则,故,得舍去 ,所
以,即,解得 .
. .
2.（2022浙江）已知,,则 ( )
C
A.25 B.5 C. D.
【解析】 两边同时取以2为底的对数,得 ．又
,（统一底数是进行对数运算的根本出发点）所以
,（换底为使用 做准备）
,所以 ．
,则,又,所以 .
. .
. .
. .
考向二 利用指、对数函数的单调性比较大小
3.（2024天津）若,,,则,, 的大小关系为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由函数单调递增可知,,又,故 .
4.（2023天津）若,,,则,, 的大小关系为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为函数 是增函数（【大招50】同底，构造指数函数）,且
,所以,即；因为函数 是
减函数,且,所以,即.综上所述, .
因为函数是增函数,且,所以,即 ；
因为函数在 上单调递增,（【大招50】同指,构造幂函数,利用幂函数的
单调性比较大小）且,所以,即.综上所述, .
. .
. .
5.（2023全国甲卷）已知函数．记,, ,则
( )
A
A. B. C. D.
,的单调性与 的单调性相同.
【解析】 函数是由函数和复合而成的,为
上的增函数,在上单调递增,在 上单调递减,所以由复合函数
的单调性可知,在上单调递增,在上单调递减.易知 的图象关于直
线对称,所以 ,（利用对称性,将自变量的值转化到同一单调区
间，从而利用函数的单调性比较函数值的大小）又 ,所以
,所以 .
. .
6.（2024北京）已知,是函数 的图象上两个不同的点,则( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 因为,为函数的图象上两个不同的点,所以 ,
,且,则 ,（这是一个极易忽略的点）所以
（题眼）,所以 ,所以
.
. .
. .
考向三 指、对数函数的性质及其应用
7.（2023新课标Ⅰ卷）设函数在区间单调递减,则 的取值范围是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由题意得在区间单调递减,所以,解得 .
特值法 取,则在 上单调递减,所以
在上单调递减,所以 符合题意,排除A,B,C.
8.（2023全国乙卷）已知是偶函数,则 ( )
D
A. B. C.1 D.2
【解析】 的定义域为 ,（有关函数的奇偶性问题,注意优先求解定义域）因
为是偶函数,所以,即,即 ,即
,所以,解得（舍去）或 .
,是偶函数,又 是奇函数,所以
是奇函数,（在公共定义域内:奇函数奇函数奇函数,偶函数 偶函
数偶函数,奇函数×奇函数偶函数,偶函数×偶函数偶函数,奇函数×偶函数 奇函数）
故,即 .
. .
. .
. .
9.（2023新课标Ⅱ卷）若为偶函数,则 ( )
B
A. B.0 C. D.1
【解析】 设,易知的定义域为 ,且
,所以 为奇函数.若
为偶函数,则也应为奇函数,所以 .
特殊值法.因为为偶函数, ,
,所以,解得 .经检验,
为偶函数,所以 .
（用特殊值法求得的参数值,需检验其是否符合题意,不符合的需舍去）
. .
. .
10.（2021天津）函数 的图象大致为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 设,则的定义域为 .因为
,所以函数是偶函数,其图象关于 轴对称,故排除选项
A,C.当时,,,所以 ,故排除选项D,故选B.
11.（2024新课标Ⅰ卷）已知函数在上单调递增,则 的取
值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为函数在上单调递增,且当时, ,所以
在上单调递增,所以,即；当 时,
,所以函数在上单调递增.若函数在 上单调递增,
则（题眼）,即.综上,实数的取值范围是 .
. .
12.（2024新课标Ⅱ卷）设函数.若,则 的最小值为
( )
C
A. B. C. D.1
【解析】 由及,单调递增,可得与 同正、
同负或同为零,所以当时,,即所以 ,则
.
由题意可知，的定义域为 ,
令解得；令解得 ；
则当时,,故,所以 ；
时,,故,所以 ；
故,则 ,
当且仅当, 时,等号成立,
所以的最小值为 .
考向四 函数的零点问题
13.（2023上海）已知函数,且则方程
的解为______.
【解析】 当时,由,得,解得；当 时,由
,解得 （舍去）（注意对求出的结果进行检验）.综上所
述,方程的解为 ．
. .
14.（2021北京）已知 ,给出下列四个结论：
①若,则 有两个零点；
②,使得 有一个零点；
③,使得 有三个零点；
④,使得 有三个零点.
以上正确结论的序号是________．
①②④
几何法：函数的零点个数 方程的根的个数
函数与 的图象的交点个数.
【解析】 作出函数和 的大致图象如
图所示,
可以先作出函数的图象,保持 轴上方的图象不变,
将位于轴下方的图象沿轴翻折到 轴上方,即可得到函数
的图象;函数的图象为过定点 的
直线
当时,显然直线与 的图象有两个
交点,即函数 有两个零点；
②由图可知,,使得直线与 的图象只有一个交点,即当
时,函数 有一个零点；
. .
. .
由图可知,当时,直线与 的
图象不可能有三个交点,即函数 不可
能有三个零点；
④由图可知,,使得直线与
的图象恰好有两个交点,所以当 时,直线
与 的图象有三个交点,即函数
有三个零点.
15.（2023天津）若函数有且仅有两个零点,则 的取值
范围为________________________.
【解析】 当时,函数只有一个零点,不符合题意;当时,函数 只有一
个零点,不符合题意;当时,函数有两个零点,分别为和 ,符合题意.
若且 ,分以下两种情况：
①当 时,
,
令,由且,得,,且.又 时,
,所以 ,则
时,且,; 时,
,所以 ,
则时,且, .
②当 时,
,令,由且,得,,且.同理, 时,
,则;时,,则 .
综上,的取值范围为 .
第1步：讨论当 时的情况.
当时,,令,解得 ,
所以此时有且只有一个零点,所以 不符合题意.
第2步：讨论 时的情况.
令,当,即时,在 上恒成立,此
时.当 时,
,此时函数有且仅有一个零点,不符合题意,当且 时,令
,解得或,此时方程有两个不相等实根,即函数 有且仅
有两个零点,所以且, 符合题意.
第3步：讨论当 时的情况.
当时,在同一平面直角坐标系中作出函数和 的图象,
如图1所示.令 ,得
,解得或,所以函数 和函数
的图象有两个交点,当或时,,即 ；当
时,,即.函数的图象与 轴的交点分别为点
, ,因为,所以函数的图象与 轴有两个交点,设两个交点
坐标分别为,,则,是方程的两根,不妨设 ,则
, ,所以,.当 时,
,即
；当时,,且 ,所以
.据此作出函数 的图象（如图2）,所以函数
在内的图象与函数的图象有一个交点,当 时
两函数图象还有一个交点,所以此时函数和函数 的图象有
且仅有两个交点,即此时有且仅有两个零点,所以 符
合题意.
图1
图2
第4步：讨论 时的情况.
当时,在同一平面直角坐标系中作出函数和 的图象,
如图3所示.同理可知,据此作出函数 的图象,如
图4所示,所以函数在上的图象与函数 的图象有一
个交点,当时两函数图象还有一个交点,所以此时函数 和函数
的图象有且仅有两个交点,即此时 有且仅
有两个零点,所以 符合题意.
图3
图4
综上,的取值范围为 .
坑神有话说
本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围,这类问题经常会用到数形结合、分类讨
论、转化与化归思想.
考向五 函数模型的实际应用
16.（2024北京）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标,其中, 分别表示
河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数 越大,水质越好.如果某河流治理
前后的生物种类数没有变化,生物个体总数由变为 ,生物丰富度指数由2.1提高到
,则( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由题意,得, .（题眼）
若不变,则,即,所以 .
. .
17.（多选/2023新课标Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,
定义声压级,其中常数是听觉下限阈值, 是实际声压.下表为不
同声源的声压级：
声源 与声源的距离/ 声压级/
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,, ,则
( )
ACD
A. B. C. D.
【解析】 因为随着 的增大而增大（注意各个字母表示的实际意
义），且,,所以,所以 ；
由,得,因为,所以 ；
假设,则,所以,所以 ,不
可能成立；
因为,所以 .
. .
强基自招
1.（2023上海交通大学强基计划）已知,,设, ,
,则( )
A
A. B. C. D.
【解析】 , ,
.
由,得,即 ,
由,得,即 ,
由,得,即 ,
由,得,即 ,
综上, ,
故 .
由得,即.由得,即 ,由此
可得.同理由,得,故 ,
即 .
2.（多选/2024清华大学强基计划） ,则( )
ACD
A. B.
C. D.
【解析】 ,由,,知,,, ,从而
;
由知,,故,而 ,
所以有 ,
由C知,.又因为为函数的图象与直线 交点的横坐标,且
函数在定义域上单调递增,,,则 ,则
.
构造函数,易得在 上单调递增,
而,,所以 有唯
一的正根,且该根位于区间 内,（零点存在定理）
因为,所以 ,
则,故,, .
. .
. .
3.（2024第四届英才杯数学竞赛）已知方程 恰好有3
个不同的实数根,则满足题意的 的最大值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由,可知有两个不同的实数根 ,
所以有且只有一个实数根异于 或者有两个不同的根，其中一根
为或 .
当时, 成立.
当 时,
若只有一个实根,则,即 .
若有两个不同的根,,此时 ,即
,
则, ,
若,则,,解得, ；
若,则,,解得, ；
综上，可得的最大值为.\.
4.（2024全国高中数学联赛四川预赛）已知,若,则 的最大
值为__.
【解析】 因为,所以 ,
所以, ,
解得或 ,
因为,所以 ,
所以,所以 ,
所以 ,
当且仅当,即 时取等号,
所以的最大值为 .
5.（2024全国高中数学联赛重庆预赛）设函数的反函数为 ,则
不等式 的解集为________.
【解析】 由,为 上的奇函数,
又在上单调递增,在上单调递减,所以为 上的单调递增函数,
又的值域为,所以也为 上单调递增的奇函数,
因为,故 .
6.（2023全国高中数学联赛）若正实数,满足,,则 的值
为____.
20
【解析】 由可得,由可得 ,
所以 ,所以
,所以 .
7.（2023全国高中数学联赛山东预赛）已知 ,
,则集合,, 的元素个数是___.
7
【解析】 由,得,则,解得 ,又
,故,,0,1, .
由,得,解得,又,故 .
由,,,得,, ,0,1,2,4,
所以,,,0,1,2,,集合 的元素个数是7.
8.（2024全国高中数学联赛广西预赛）设函数.若且 ,则
的取值范围是____________.
【解析】 由,，知, ,
所以, ,
得且 ,
从而,.令,.则 单调递减,
无最大值且.因此,,即 的取值范围是
.
9.（2024全国高中数学联赛吉林预赛）函数,且 ,若
对成立,则实数 的取值范围是______.
【解析】 对分和 两种情况,利用对数函数的单调性,分参,利用函数
,,, 的单调性求解最值即可.
当时,, ,
设,,则在上是减函数,所以,故 ；
当时, ,
设,,,,则,在 上均为减函数,所以,
,所以 此不等式组无解.综上,实数的取值范围是 .
10.（2024全国高中数学联赛北京预赛）已知函数若关于 的方
程恰有3个不相等的实数根,,且满足,则 的取值范
围是______________.
由“关于的方程 有三个不相等的实根”可识别出该问题为复合函
数的零点问题,采用“复合方程由内向外”处理.
【解析】 对于复合函数 ,先确定内层函数的正负,从而确定外层函数的解析
式.当时,则,则 ,
当时,,则 ,
当时, ,
即
方程 恰有三个不相等的实数根等价
于直线与函数 的图象有三个不
同交点,如图所示，因此 .
此时且 ,则
, ,
从而 ,
设,则其在 上单调递
增,
因此的取值范围是 .
11.（2024北京大学强基计划改编）定义在 上的方程
的解的个数为___.
3
【解析】 先用反证法证明原方程的解都满足,即,0, ,然后逐一代
入验证.
一方面,假设原方程有一个满足的根,则 .
令,则 .
对,有,故 ；
对,有,故 .
所以对,都有,从而由知 ,矛
盾.
所以 无解,
故原方程的解只满足,即,0,,直接验证即知 ,0,1都是原方程的解.
所以原方程一共有3个解.