5.1 任意角和弧度制-5.1.1 任意角（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共36张PPT)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三
题型一 任意角相关概念的理解
1. （多选）下列说法正确的是( )
AD
A.所有的正角都比负角大
B.始边与终边重合的角一定是零角
C.第三象限的角一定大于第二象限的角
D.锐角一定是第一象限角,钝角一定是第二象限角
【解析】 所有的正角都比负角大；
只有始边与终边没有做任何旋转,始边与终边重合的角才是零角；
第三象限的角可能小于第二象限的角,如 ,其中 是第三象限的角,
是第二象限的角；
锐角一定是第一象限角（但不能说终边落在第一象限的角是锐角,第一象限角可以
是锐角,也可以是大于 的角,还可以是负角,如 的角终边落在第一象限,但不是锐
角）,钝角一定是第二象限角.
坑神敲黑板
1.第一象限角用集合表示为 , ,所以它可以是锐角,
也可以是大于 的角,还可以是负角.
2.象限角只能反映角的终边所在象限,不能反映角的大小,不能说第三象限的角比第一象
限的角大.
3.相等的角终边一定相同,而终边相同的角不一定相等,也可能相差 的整数倍.
2.（2025江苏南京期中）射线绕端点逆时针旋转 到达位置,由 位置绕端
点旋转到达位置,得 ,则射线 旋转的方向与角度分别为( )
B
A.逆时针, B.顺时针, C.逆时针, D.顺时针,
【解析】 由题意可得 ,设 ,
,解得,所以射线绕端点 顺时
针旋转 到达 位置.
3.（2025安徽合肥期中）把分针拨快15分钟,则分针转过的角度为______.
【解析】 将分针拨快（顺时针旋转,角为负）15分钟,则分针转过的角度为
.
题型二 终边相同的角的公式的应用
题组一
4.（2025湖南长沙雅礼中学月考）与 角终边相同的角可表示为( )
C
A. , B. ,
C. , D. ,
【解析】 因为 ,（先找到 范围内与已知角终边相同的
角）所以 角与 角终边相同,则与 角终边相同的角的集合为
,.（再加上 的整数倍）
. .
. .
5.（2025安徽蚌埠期末）将角 的终边绕坐标原点逆时针旋转 后与 角的终边
重合,则与角 终边相同的角的集合为( )
D
A. , B. ,
C. , D. ,
【解析】 依题意得, , ,（逆时针旋转,角度逐渐增大；顺
时针旋转,角度逐渐减小）解得 , ,
所以与角 终边相同的角的集合为 , }.
. .
6.下列角中与 角的终边相同的是________（填序号）.
； ； ； .
②③④
【解析】 与 角的终边相同的角的集合为 , }.
当 时, ,解得 ,
角与 角的终边不相同；
当 时, ,解得 ,
角与 角的终边相同;
当 时, ,解得 ,
角与 角的终边相同;
当 时, ,解得 ,
角与 角的终边相同.
7. 如图,
（1） 终边落在直线 上的角的集合为____________________；
【解析】 角的终边是射线,则角的终边落在直线上时有两种情况：当终边在第一象限时,
,；当终边在第三象限时, ,.所以角
的集合为 , .
（2） 角 的终边与终边落在射线上的角的终边关于轴对称,则 ______________
___________.
【解析】 因为终边落在射线上的角的集合为,而大小为 的
角的终边与大小为 的角的终边关于轴对称,所以 .
坑神小课堂
终边在某条直（射）线上的角的表示形式
1.若所求角 的终边在某条射线上,则集合的形式为 , .
2.若所求角 的终边在某条直线上,则集合的形式为 , .
题组二 轴线角
8.（2025河北辛集中学期末）终边与坐标轴重合的所有角的集合是( )
B
A. , B. ,
C. , D. ,
【解析】 终边与轴重合的角为 ,,即 ,,终边与 轴重合的角为
,,即 , ,所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是
, .
坑神小课堂
轴线角（角的终边在坐标轴上的角）的集合表示
角的终边的位置 角的集合表示
轴的非负半轴上 ,
轴的非正半轴上 ,
轴上 ,
轴的非负半轴上 ,
轴的非正半轴上 ,
轴上 ,
坐标轴上 ,
9.（2024四川巴中期中）若角 , 的终边相同,则 的终边在( ).
A
A.轴的非负半轴上 B.轴的非正半轴上 C.轴的非负半轴上 D. 轴的非正半轴上
【解析】 因为角 , 的终边相同,由终边相同的角的概念可得 , ,
所以 的终边在 轴的非负半轴上.
10.（2025湖北武汉期中）设集合 , ,集合
,,集合 ,,则集合,, 之间的
关系为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 集合表示终边在轴非负半轴上角的集合；集合表示终边在 轴上的角的集
合；集合表示终边在坐标轴上的角的集合.故 .
因为集合 , , ,集合
, , ,集合
,,所以 .
题组三 区域角
11.（2024江苏苏州中学期末）集合 , 中,角
所表示的范围（阴影部分）正确的是____（填序号）.
③
【解析】
,
,当 为奇数时区域角表示的是一个单
独的区域,当 为偶数时区域角表示的是另一
实际可以直接令取特殊值求解.当时,集合为,当 时,
集合为 ,则可得出角所表示的范围为③.
个单独的区域,所以 要分奇偶讨论.
当,时, , ,
当,时, , ,
则可得出角 所表示的范围为③.
由第8题坑神小课堂知,角的终边在 轴
上的角的集合为 , ,
则集合 ,
所表示的范围为将轴所在的直线绕点
顺时针旋转 后,所得直线与 轴所夹区域,故
角 表示的范围为③.
12.写出终边落在图中阴影区域内的角的集合.
（1）
【答案】 阴影区域不过轴的正半轴,在 范围内,图中终边在第二象限的区
域边界线所对应的角为 ,（起始位置）终边在第四象限的区域边界线所对应的角为
,（终止位置）因此,阴影区域所表示的角的集合为
, .
. .
. .
（1）阴影区域不过轴的正半轴,则在 范围内,逆时针方向找到阴影区域的起始位置和终止位置.
（2）
（2）阴影区域过 轴的正半轴,则逆时针方向找到阴影区域的起始位置和终止
位置,起始边界对应的角用负角表示,终止边界对应的角用正角表示.
【答案】 图中从第四象限到第一象限阴影区域（过 轴正半轴）表示的角的集合为
, （边界线为虚线,取不到等号）
, ,图中从第二象限到第三象限阴影区
域所表示的角的集合为 ,
, .
因此,阴影区域所表示的角的集合为 ,
,
, .
也可利用边界线在一条直线上求解.逆时针方向找起始位置和终止位置,二、四象
限的边界线（起始位置）对应的角为 , （阴影区域过x轴正半轴,所
以要用负角表示）；一、三象限的边界线（终止位置）对应的角为 ,
.因此,阴影区域所表示的角的集合为 , .
. .
. .
题型三 角所在象限的判定
题组一 已知角的大小
13.（多选/2025安徽铜陵期末）下列各角中是第二象限角的是( )
AC
A. B. C. D.
【解析】 求出给定的各个角在 到 范围内终边相同的角,即可作答.
,而 是第二象限角；
, 角的终边在 轴的非正半轴；
,, 是第二象限角；
, 是第三象限角.
坑神小课堂
象限角 角的集合表示
第一象限角 ,
第二象限角 ,
第三象限角 ,
第四象限角 ,
题组二 已知角的范围
14.（2025广东广州期末）若 是第二象限角,则 是( )
D
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】 因为 是第二象限角,所以 ,所以
,
由象限角的定义可知 是第四象限角.
15.大招64若 是第二象限角,试确定 , 是第几象限角.
【答案】 因为 是第二象限角,所以 , ,
可得 , ,
则 , ,
所以 可能是第一象限角、第二象限角或终边在 轴非负半轴上的角.（切记不能遗
漏）
针对 有两种解法.
. .
几何法.要判断 终边所在的象限,可以把各象限三等分,
从 轴非负半轴起,按逆时针方向,依次将各区域标号一、二、三、
四,一、二、…,如图所示.
由于 是第二象限角,由图可知, 可能是第一象限角、第二象限
角或第四象限角.
根据 是第二象限角,求得的范围,分别令,, ,
,可判断 终边所在象限,即可得答案.
易知 , ,
当,时, ,,此时 是第一象限角；
当,时, ,
,此时 是第二象限角；
当,时, ,
,此时 是第四象限角.
综上所述, 可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角.
能力觉醒
1. 如果今天是星期三,那么 天后的那一天是( )
B
A.星期三 B.星期四 C.星期五 D.星期六
【解析】 由,,所以 天后的那一天是星期四.
2.（2025江苏南通期末）若与 角的终边相同,则 是( )
C
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】 因为与 角的终边相同,所以 ,则
,所以 是第三象限角.
3.（多选/2024吉林四平第一高级中学月考）下列四个结论中,正确的是( )
ACD
A. 和 的终边重合,则 ,
B. 和 的终边关于原点对称,则 ,
C. 和 的终边关于轴对称,则 ,
D. 和 的终边关于轴对称,则 ,
【解析】 因为 , 的终边重合,所以 ,,即 ,
；
由 和 的终边关于原点对称,必有 , ,即
, ；
和 的终边关于轴对称,必有 ,,即 ,
；
由 与 是终边关于轴对称的两个角,知 与 的终边相同,即
,，所以 , .
坑神小课堂
与 是终边关于原点对称的两个角； 与 是终边关于 轴对称的两个角；
与 是终边关于 轴对称的两个角.
4.（2025河北保定期中）时钟走了3时20分,则时针所转过的角的度数为_______,分针所
转过的角的度数为_________.
【解析】 因为时针每小时转,（时针转一圈为12小时，所以每小时转 ）分针每小
时转 , 又时针、分针都按顺时针方向旋转, （形成的角为负角）
所以时针转过的角的度数为,（分化时是易错点,20分是 时）分针
转过的角的度数为 .
. .
. .
5.（2025山东青岛期中）已知 .
（1） 在 （不含 与）范围内找出所有与 终边相同的 ；
【答案】 先将 表示成与 终边相同的所有角的集合的形式,再解不等式组确定
的取值范围,即可求出满足条件的角.
所有与 终边相同的角可表示为 ,令
,
得 ,
解得 ,
所以或,代入得 或
.
（2） 设集合 ,, , ,判断
两集合的关系.
【答案】 , }表示的是终边落在四个象限的平分线上的
角的集合;
集合 , }表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角
的集合,所以 .