5.1 任意角和弧度制-5.1.2 弧度制（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共37张PPT)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
题型觉醒
高频题型：题型四、题型五
题型一 弧度制的概念
1. （多选）关于弧度制说法正确的是( )
AC
A.角的度数和弧度数是一一对应的
B.用角度制度量角,与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角,与其所在的圆的半径有关
C.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
D.用弧度制度量角,该角必为正角
【解析】 角的度数和弧度数是一一对应的；
无论是用角度制还是弧度制度量角,角的大小均与其所在的圆的半径无关；
弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角；
用弧度制度量角,该角可为正角,可为负角,也可为零角.
2. （2025江苏省如皋中学期中）若,则角 的终边在( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 注意6是弧度而不是角度,切勿认为是 ,而选择A.因为
,所以角 的终边在第四象限.
3.（2025广东清远期末）二十四节气是中国古代确
立的一种用来指导农事的补充历法,是中华民族劳
动人民智慧的结晶.从立春起的二十四节气依次是
立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、
小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、
白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、
冬至、小寒、大寒.二十四节气的对应图如图所示,
从2024年4月19日谷雨节气到2024年12月6日大雪
节气,圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 依题意,二十四节气将一个圆24等分,所
以每一份的弧度数为 ,
从谷雨到大雪,需要顺时针旋转15格,
所以转过的弧所对圆心角的弧度数为
.
题型二 弧度与角度的互相转化
4.（2025江西多校联考）把 化成角度的结果为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 弧度化为角度时,弧度数乘 即可 .
5.（1） （2025陕西多校联合月考）将 化为弧度制是_ __.
【解析】 .
角度化为弧度时,角度数乘以即可.注意有分的要先按 换算为度.
（2） （2025浙江宁波开学考试）将 化为弧度是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .
.
6.已知角 ,角,角,则角 ,角 ,角 间的大小关系为__________.
【解析】 将弧度转化为角度,进而确定大小关系.
因为 , ,所以 .
将角度转化为弧度,进而确定大小关系., ,
,所以 .
题型三 弧度制下终边相同的角
7. 与 终边相同的角的表达式中,正确的是( )
D
A. , B.,
C. , D.,
【解析】 在同一个表达式中,角度制与弧度制不能混用,所以A,B错误;
与终边相同的角可以写成 的形式,
当时,, 换算成弧度制为 ,所以C错误,D正确.
8.（2025北京市第一七一中学月考）下列各组角中,终边相同的角是( )
D
A. 与 B.与
C.与 D. 与
【解析】 对于A,当时,表示终边在轴上的角, 表示终边在坐标轴上的角,故
A中角的终边不同；
对于B,当时,因为表示终边在所在直线上的角，表示终边在 所在直
线上的角以及终边在 轴上的角,故B中角的终边不同；
对于C,当时,表示终边在这条直线上的角,表示终边在 所在直线上
的角,故C中角的终边不同；
对于D,当时, 表示终边在轴负半轴上的角, 表示终边在 轴负
半轴上的角,故D中角的终边相同.
对于D,还可以有如下解法.当时,,,当 时,
,.故与相同,即 与 的终边
相同.
9.大招63用弧度制表示顶点在原点,始边重合于 轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角
的集合（包括边界,如图所示）.
【答案】 （1）由图（1）可知 为区域
的起始边界, 为终止边界.（先按逆时针的方
向找到区域的起始和终止边界）
因为, 角的终边与 即 的
角的终边相同, 所求阴影区域跨x轴正半轴,所
以要将起始边界和终止边界对应的角转化到
内所以终边落在阴影部分内的角的集合为, .
（注意：此处易写成, ,此为空集, 肯定不成立,始边对
应的角要小于终边对应的角）
. .
. .
（2）因为, ,由图（2）知,以
射线 为终边的角的集合为
,,以射线 为终边
的角的集合为, ,
所以终边在直线 上的角的集合为
,
,
, .
同理终边在 轴上的角的集合为
, ,
所以终边落在阴影部分内的角的集合为
, .
题型四 弧长与面积公式
10.（2025四川资阳期末）圆心角为2的扇形的周长为4,则此扇形的面积为___.
1
【解析】 设扇形的半径为,弧长为,面积为,则,又,所以, ,则
扇形的面积 .
11.（2025江苏无锡天一中学期末）已知某扇形的周长为,面积为 ,则该扇形圆
心角的弧度数是( )
C
A. B.3 C.或3 D.
【解析】 根据扇形的弧长和面积公式列方程组求解.设该扇形的半径为,所对弧长为 ,
则由题意可得解得或
所以该扇形圆心角的弧度数或 .
12. （2025山东德州期末）我国古代数学经典著作
《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材,埋在壁
中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何 ”现有一类似
问题:不确定大小的圆柱形木材,部分埋在墙壁中,其截面如图所示.
用锯子去锯这根木材,若,,则劣弧与弦 围成
的弓形的面积为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 所求弓形的面积为扇形的面积减去等边三角形的面积.
因为,,所以为等边三角形,又,所以 ,
所以劣弧与弦围成的弓形的面积为 .
题型五 面积与周长的最值问题
13.（2025湖南衡阳期末）已知扇形的面积为3,则该扇形的周长的最小值为( )
D
A.2 B.4 C. D.
已知扇形的面积求周长的最小值,根据【大招65】可知最值在扇形圆心角
处取得.
【解析】 设扇形的半径、圆心角、弧长、面积、周长分别为, ,,, ,当
时周长取得最小值,则面积,（求时 的值）所以
,所以扇形的周长 .
设扇形的半径、圆心角、弧长、面积、周长分别为, ,,,,则 ,
,即,所以扇形的周长,当且仅当 ,即
时等号成立,所以扇形的周长的最小值为 .
. .
14.（2025河北张家口期末考试）周长为 的扇形,当面积取得最大值时,其半径为___
.
1
【解析】 已知扇形的周长求面积最大值,根据【大招65】知圆心角的弧度数是
2.由弧长公式设扇形的半径为,圆心角为 ,则 ,可知面积最大时半径
.
利用扇形周长公式和面积公式,由二次函数性质可得当 时,面积最大.
设扇形的半径为,圆心角为 ,则,即 .
方法一 扇形的面积 .所以当
时，取得最大值 .
方法二 扇形的面积 ,
当且仅当,即时等号成立.所以当时,面积最大为 .
能力觉醒
1.（多选/2025江西赣州开学考试）把 表示成 ,的形式,则 的值可
以是( )
ACD
A. B. C. D.
【解析】 ,（角度换成弧度时,将角度数乘 ）再由终边相同角的表示,可
得 ,,所以与,和
的终边相同,与 的终边不相同.
. .
2.（2025江苏淮安期末）已知扇形的周长为,圆心角 ,则该扇形中
弦长 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 根据已知条件建立方程组求出 的值,再利用弦长与半径之间的关系求解.设扇
形的弧长为,半径为,圆心角为 ,
由已知得解得,则弦长 .
3.（2025陕西师范大学附属中学月考）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心
角的弧度数为( )
D
A. B. C.3 D.
【解析】 如图,等边三角形是半径为的圆的内接三角形,连接, ,
则线段所对的圆心角,过点作,垂足为,在中, ,
,所以,,所以圆弧长度 ,所以长度等于圆内接正三角
形的边长的圆弧所对圆心角的弧度数为 .
4.（2025河南新乡期中）已知某扇形材料的面积为,圆心角为 ,则用此材料切割出的面
积最大的圆的周长为____.
【解析】 设扇形的半径为,, .
如图,设割出的圆的半径为,圆心为 ,
,
,解得 ,
此材料割出的面积最大的圆的周长为 .
5.（2025四川南充高级中学月考）已知是边长为2的等边三角形.如图,将 的
顶点与原点重合,边在轴上,然后将三角形沿着轴正方向滚动,每当顶点 再次回
落到轴上时,将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”,则完成“一个周期”时,顶点 的
运动路径长度为___.
【解析】 如图,
顶点先以2为半径绕点顺时针旋转弧度（路径为弧）,再以2为半径绕点 顺时
针旋转弧度（路径为弧）,其路径长度为 .
6.集合,,, ,
,,,分别求,, .
【答案】 , .
如图,由图可知, .
,分别令,0,1,可得 .
7.（2025江西师大附中月考）如图所示,某城市中心有一圆形广场,政府计划在广场上用
栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）来种植花卉,已知
米,米,扇形环面区域面积为100平方米,圆心角为 弧度.
（1） 当时,求 的长；
【答案】 利用扇形的面积公式可得
,
所以,则当 时,
,
故弧的长为 （米）.
米,米,所以 米,
又,所以 ,
（米）,又,所以 ,解得
（米）.
（2） 记花卉周围栅栏的长度为米,求出的最小值与此时 的
取值.
【答案】 由题意可得弧长为,弧长为 ,
所以栅栏的长度 （求栅栏的长度
时,切勿忘记加上与的长）,将 代入上式,整理可
得,
,
当且仅当 时等号成立,所以栅栏长度的最小值为40米.
. .
素养觉醒
1. （2025江苏无锡锡山高级中学
期末）如图所示的是某中学数学社团用数学
软件制作的“蚊香”图.画法如下:在水平直线
上取长度为1的线段 ,作一个边长为1的等
边,然后以为圆心, 为半径逆时针
B
A. B. C. D.
画圆弧交线段的延长线于点,为第一段圆弧,再以点为圆心, 为半径逆时针画圆
弧交线段的延长线于点,再以点为圆心, 为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得
到的“蚊香”恰好有5段圆弧时,“蚊香”的长度为( )
【解析】 由题意知,每段圆弧的圆心角均为,第一段圆弧长度为 ,
第二段圆弧长度为,第三段圆弧长度为 ,
第四段圆弧长度为,第五段圆弧长度为 ,
所以恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为 .
2. 数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形
就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形 ,再
分别以点,,为圆心,线段 长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形
（如图）.若线段 长为2,则莱洛三角形的面积是___________.
【解析】 设扇形的半径为,圆心角为 ,由已知得扇形 的
半径,圆心角,所以 ,
故扇形的面积为 ,
由已知可得,莱洛三角形的面积 扇形面积的3倍-三角形面积的2倍,
所以莱洛三角形的面积为 .