5.2 三角函数的概念-5.2.2 同角三角函数的基本关系（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共40张PPT)
第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
题型觉醒
高频题型：题型一、题型二
题型一 利用同角三角函数的基本关系求值
1.（2025湖北武汉期中）大招67已知,且,则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 在直角三角形中求解.如图,将角 看成锐角,令角 对边为3,斜边为5,
则邻直角边为4,又,所以,所以 .
则 .
因为,且,则 ,所以
,（,注意根据 的终边所
在位置进行取舍）
. .
2.（2025江苏泰州期末）已知,角 的终边不在轴上,则
( )
B
A.0 B. C. D.
【解析】 由且角 的终边不在 轴上,（ 这个条件是为使
有意义）
解得则 .
将平方得， ，又
，所以，即 ，故
.
. .
3.（2025重庆巴蜀中学月考）若,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 由,得 .
（根据同角三角函数的基本关系可知 ）
. .
4.（多选/2025江西南昌质检）下列四个命题中不可能成立的是( )
ACD
A.且 B.且
C.且 D. 为第二象限角
【解析】 对于A,由,,得,与 矛盾,
所以命题不成立；
对于B,当 时,, ,所以该命题可能成立；
对于C,因为,,所以,则 ,与
矛盾,所以命题不成立；
对于D,因为 为第二象限角,所以, ,由同角三角函数的基本关系，
,所以 不可能成立.
题型二 与 关系的应用
题组一 直接应用 求值
5.（多选/2025甘肃平凉期末）已知, ,则下列结论正确的是
( )
AD
A. B.
C. D.
【解析】 因为 ,①
所以,则.因为 ,所以
,,所以 .
,所以.② 【另解】 因为
,,所以,又 ,将
代入得,.
由①②联立可得,, .
.
. .
6.（2025江西萍乡检测）已知,,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为 ,
所以,又,所以 ,
可画出单位圆,利用三角函数定义比较大小
则, .
. .
题组二 与三角形相结合
7.（2025广西贵百河联考）已知 是三角形的一个内角,且 ,那么这个三
角形的形状为( )
B
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
要判断三角形的形状,即判断 所在象限,即可转化为判断三角函数值的符号.
【解析】 由,得,即 ,所以
,因为 是三角形的一个内角,有,,所以 ,
则 ,即这个三角形为钝角三角形.
8. 若角是的一个内角,且,则 ____.
【解析】 因为角是的一个内角,所以,所以 ,又
,所以,所以 （ 若不能挖出这一隐含
条件,本题就易得到两个值,导致错误）,则
.
. .
题组三 与一元二次方程相结合
9. 已知 , 是关于的方程的两个根,则 的
值为( )
D
A.随的变化而变化 B. C. D.
【解析】 因为 , 是关于的方程 的两个根,
所以, ,
所以 ,
又 ,所以 （根据平方关系得到
关于的方程是解题的关键）,即,解得 ,
由题意易知,解得或（ 挖掘题目隐含的 的取值
范围）,所以 .
所以 .
. .
. .
10.（2025湖南长沙期中）已知关于的方程的两根为 , ,
.
（1） 求 的值；
【答案】 关于的方程的两根为 , ,
, ,
.
（2） 求 的值；
【答案】 ,由（1）得
,则 ,得,解得 ,此
时 ,符合题意.
（3） 求 的值.
【答案】 由题意及（1）（2）得,, .
,,,,即 .
又 ,
,
解得 .
由（1）（2）可得 ,①
.②
由①得,则,即 ,
,解得或 ,
由①②及可得,,且, ,故
.
题型三 已知 求值
11. （2025湖南岳阳一中检测）若,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 构造对偶式.因为,设 ,所以
,则 .
因此,从而,所以 .
齐次化应用.由 两边同时平方,得
,（整式型齐次式）
即（分母进行的代换）
（除余化切后化为分式型齐次式）,整理得,解得 .
. .
. .
. .
由,得,代入 ,得
,即,解得 ,所以
,则 .
设,则,代入 ,得
,则 .
代入,整理得,即, .
本题涉及符合勾股定理的数字“1,2,”,由知 ,
,则 .
坑神来避坑
已知这类式子,尽管可以和联立求出 和
,但若数字复杂,则计算量大;先平方,再弦化切也是一个可以考虑的方向.
12.（2025贵州六盘水期末）已知,其中 ,则
_ ____.
待求式和已知式正好互为对偶式,设 ,和已知式平方相加可
求 .
【解析】 因为,所以 ,（先判断符号以便对所求值
进行取舍）
设 ①,
②,
可得,解得.因为,所以 ,即
.
. .
13.（2025上海曹杨二中期末）若 ,且 ,则 __.
【解析】 构造对偶式. 即 ,设
,所以,则.因此 ,将
代入上式得（舍去）.（因为 ,所以
）
则 ,
所以 .
因为 ,所以 ,
. .
即,代入 得
,即,所以（因为 ,
所以）,即 ,
故,所以 .
. .
题型四 求正、余弦齐次式的值（或最值）
14.（2025北京朝阳区月考）已知第二象限角 的终边与单位圆交于点 ,则
( )
B
A. B. C. D.1
待求式是分式型齐次式,联想弦化切求解（分子、分母同除以 ）.
【解析】 因为第二象限角 的终边与单位圆交于点 ,所以
,
解得,所以,所以 .
15.（2025江苏镇江期末）设,则 ( )
A
A. B. C. D.1
待求式不是齐次式,可巧用“1”的代换,化为齐次式,再利用弦化切求解.
【解析】 .
16.已知,则 ( )
A
A. B. C. D.
条件式是分式型齐次式,联想弦化切,可求出正切值,待求式是整式型齐次式,巧
用“1”的代换,化成分式型齐次式,再弦化切代入正切值求解.
【解析】 ,
,
则 .
17.（2025山东临沂期末）已知,则 的最大值为__.
分子分母同时除以 实现弦化切,进而用基本不等式求最值.
【解析】 ,令 ,（换元后要注意新元的取值范
围）
则原式变为,当且仅当,即时等号成立，所以 的最
大值为 .
. .
题型五 三角函数式的化简与证明
18.（2025湖北省荆州中学月考） __.
对于含有高次的三角函数式常借助因式分解,或通过 进行化简.
【解析】 原式
.
19.（2025山东青岛期中）已知 是第四象限角,化简
___.
0
【解析】 所求式含有根号,常把根号下的式子化为完全平方式,然后去根号化简.
原式 .
因为 是第四象限角,所以, ,
所以原式 .
20.求证:
（1） ；
【答案】 作差法证明.
因为,所以 .
（2） .
【答案】 左边 右边,所以原等式
成立.
坑神有话说
证明恒等式常用的方法有：①从左向右或从右向左；②左右归一,即证明左右两边都等
于同一个式子；③变更命题法,如要证,可证,或 等；④比较法,即证“左
右”或“ ”.
能力觉醒
1.（2025四川眉山调研）已知,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 已知条件和所求式同时转化 ,两边同时平方得
,又,故 ,
则 .
由已知条件向所求式转化.由 ,两边同时平方得
,又,故 ,所以
,即 ,
所以 .
2.（多选/2025河南开封联考）已知, ,则下列结论正确的
是( )
BD
A.是第二象限角 B.
C. D. 或3
【解析】 , ,又
, ,
为第三象限角,如图,可知 为第二或第四象限角;
, ,
,, ；
. .
（开方时注意判断符号）
, ,
,
可能为正,也可能为负,
；
,当 时,
,,故 ；
当时,, ,故
.
综上, 或3.
3. （多选/2025河南省豫北名校大联考）在平面直角坐标系中,角 以原点
为顶点,以轴的非负半轴为始边,其终边经过点, ,现定义
, ,则( )
BCD
A. B. 为偶函数
C.若 ,则 D.
【解析】 由已知得,,所以 ,
.
；
根据与 是否相等来判断该函数是否为偶函数.
, ,
,所以 为偶函
数；
因为 （齐次化——除余变切）,解得 ；
.
（同角三角函数的基本关系的应用）
. .
. .
4.（2025山东聊城期末）已知 为第三象限角,且,则 的值为
_____.
【解析】 因为 为第三象限角,所以 ,（ 判断三角函数值的符号,以防
产生多解）
所以 ,即
,又,所以,解得 ,又
,所以 .
. .
5.（2025江苏盐城期中）已知,,且 为第二象限角,则
____.
【解析】 因为 为第二象限角,所以 （取值范围不能忽略）解得
或 .
因为,解得（舍去）或 ,所以
,,所以 .
. .
6.若对任意的,不等式恒成立,则实数 的取值范围为________.
【解析】 由,则,由 ,则
（“1”的妙用）
,（基本不等式
的应用）
当且仅当时等号成立,故 ,
不等式恒成立,即 .
. .
. .