5.3 诱导公式（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共48张PPT)
第五章 三角函数
5.3 诱导公式
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三、题型四
题型一 对诱导公式的识记与理解
1.（多选/2025山西运城期中）设 ,则下列结论中正确的是( )
ABC
A. B.
C. D.
【解析】 ；
；
；
（负化正） .
. .
2. （多选）已知函数 则下列结论正确的是( )
ACD
A.
B.
C.当时,
D.当时,
【解析】 ；
因为,,所以 ；
当时,, ,
（ 要先弄清变量的范围,才能准确代入分段函数）
所以,,所以 ；
当时,, ,所以
, ,所以
.
. .
题型二 利用诱导公式给角求值
3.（2025河南郑州七中月考） 的值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 易知
（角中含有 的整数倍,先去掉,将角转化
为0°~360°内的角） （将角化为锐角） ,所以
.
,（奇变偶不变:26为偶数,
函数名不改变;符号看象限: 锐角为第三象限角,正弦值为负,添负号）所以
.
. .
. .
. .
坑神敲黑板
给角求值问题的求解方法：把任意角的三角函数化成锐角三角函数,根据特殊角的三角
函数值求解.
4.（2025江西师大附中月考）计算： _____.
【解析】 .
5.求值： _ ________.
【解析】 原式 .
题型三 利用诱导公式条件求值
6.（2025山东济南期末）已知,则 ( )
C
A. B. C. D.
条件求值的关键是抓住已知角与所求角之间的关系, 与 是互余的关系.
【解析】 因为,所以 ,所以
.
7.若,,则 _____.
【解析】 要求的是 的三角函数值,所以首先需要把条件中的 转化成 .因为
,所以 ,所以
,
则 .
得到了同角的正、余弦关系式,要求正弦值,还需要正、余弦的另一个关系式,这就想到要
利用同角三角函数的平方关系.
又,所以,化简得 ,所以
.
坑神小课堂
若 ,,,则 或 .
8.（2025贵州黔南州期末）已知,则 的值为__.
与是互余的关系,与 是互余的关系,结合角的关系将所求角
化为已知角,利用诱导公式求解.
【解析】 因为,所以 ,
又 ,
所以 .
9. （2024江苏扬州期末）,则 _ ____.
【解析】 利用诱导公式将 转化为 或 ,再根据函数定义计算化简.
因为 ,或 ,所以
,或
.综上可得， .
10.若 的终边不在轴上,且,则 __.
【解析】 由已知结合诱导公式得， ，则 .
不妨令，，则 .
题型四 利用诱导公式给值求角
11. 已知,且,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为,且,所以 ,解得
或（舍去）(由于,故其余弦值一定为正),故 ,所以
.
. .
12.（2025上海大同中学摸底）已知, ,若等式
和同时成立,则 ___.
利用诱导公式将已知式化简,得到两个式子,再结合同角三角函数的基本关系求
解即可.
【解析】 , .
, .
由,得,化简得 .
,,,又,, ,
,
, .
题型五 利用诱导公式化简、证明三角恒等式
13.（2025安徽芜湖期末）化简: _______.
【解析】 .
14.化简 .
【答案】 与 互余, 与 互余, ,从而联想到切化弦,利用诱导公式进行化简.
当 时, ,
所以 .
因此, .
15.（2025贵州毕节期末）已知函数 .
（1） 化简 ；
【答案】
.
【解析】 利用“奇变偶不变,符号看象限”求解.
.
（2） 若 ,求 的值.
【答案】 由（1）知 ,则 ,
则（“1”的妙用） ,
故 .
. .
16.证明: , .
【答案】 所给式子中含,故需对 进行分类讨论.
当为偶数时,令, ,
左边 .
右边 , 左边 右边.
当为奇数时,令, ,
左边
.
右边 , 左边 右边.
综上所述,, 成立.
17.设.求证： .
【答案】 通过消 发现, , ,
, .
则左边
（将角向已知角进行转化）
（利用诱导公式时将 看作一个锐角）,
把代入,得原式 右边,故原等式成立.
. .
. .
题型六 诱导公式在三角形中的应用
18.（多选/2025安徽亳州期末）在 中,下列关系成立的是( )
AD
A. B.
C. D.
诱导公式与三角形结合的题目,解题关键是三角形内角和为 .
【解析】 由已知,所以 ；
；
因为,所以 ,
.
19. （2025江苏苏州联考期末）已知的三个内角分别是,, .
（1） 求证: .
【答案】 在中, ,
所以 ，原等式成立.
（2） 若 .
① 求 的值；
【答案】 因为,且 ,
( 隐含条件,三角形内角的范围是 )
所以 ,
所以,又,则,从而 .
所以 .
. .
② 求 的值.
【答案】 由 （ 若不注意角的范围,则很容易得出两个值）,可知
,
所以 .
. .
坑神敲黑板
在中,利用诱导公式并结合条件 ,可以得到以下结论：
,
,
,
,
.
能力觉醒
1.（2025安徽芜湖期中）如图,点 为单位圆上一点,
,已知点沿单位圆按逆时针方向旋转 到点
,则 的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 根据题意知,观察发现与
的差为,所以 .
根据三角函数的定义,可知,所以 .
2.（2025广东佛山阶段检测）若的内角,,满足,则与 的
关系为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为,,为的内角,所以,所以 ,所以
.
由诱导公式五、六可知或（ 易漏掉 这种情况）,
若,则,此时不存在,不符合题意，故舍去,所以,即 .
. .
3. （2025河北省唐县一中月考）人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄
金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比
值,其比值 称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的等腰三角形为最美三
角形,它是一个顶角为 的等腰三角形,由此我们可得 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 如图,为最美三角形, ,
,为边的中点，连接，则 ,
易知 ,
在中,易知 （三角函数的定
义）,
所以 .
（根据诱导公式将 向已知的 转化）
. .
. .
4.（多选/2025宁夏银川期末）下列结论正确的有( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】 ;
（ 与 互余）
通过消除 发现, ,所以
,即 ;
因为 ,所以
；
.
. .
坑神有话说
由D选项可以得出一个结论, ,记住这个结论,有时候可以帮助我
们快速解题,如求 ,利用 ,
, 可得最后的结果为 .
5.（多选/2025河北盐山中学月考）在平面直角坐标系中,若角 的顶点为坐标原点,
始边与轴的非负半轴重合,终边经过点 ,则
的值可能为( )
BD
A. B. C. D.2
【解析】 因为角 的终边经过点 ,由三角函数的定义得
, .
（ 不知 与0的大小关系,需要分类讨论）
当时,
所以 ;
. .
当时,
所以 .
6.（2025重庆外国语学校月考）已知函数,设 的始边是 轴的非负半轴,且
,若关于的方程在内有解,则 的终边不可能位于
( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 由,则,即为 ,
或 , .
当 ,时,得, ,
又, 这样的 不存在.
当 ,时,得 ,
,,,又 ,
当时,,此时 为第一象限角；当时,,此时 为第二象限
角；当时,,此时 为第四象限角.
综上， 的终边不可能位于第三象限.
坑神小课堂
若 ,,,则 或 .
7.（2025广东省实验中学期末）已知角的终边上一点的坐标为,则角 的
最小正值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由诱导公式可得,
（纵坐标化为正弦之后变成了负的,所以还是不行,需要继续转化）,
又（角为 ，余弦也需要向这个角转化）,
所以,所以 ,
又,所以点在单位圆上,结合三角函数定义知角 的最
小正值为 .
因为, ,所
以该点的坐标为,即角的终边在第四象限,故排除A,D.又 ,所以
点在单位圆上,又 ,故排除C.
. .
. .
8.（2025山东威海模块检测）已知,.若角 的终边与角
的终边关于轴对称,求 的值.
【答案】 因为,,可得 ,
（ 需根据已知式缩小 的范围）
由 得,
,
所以,可得或 .
因为,所以 舍去,
（ 易因没有准确求出 的范围而产生多解）
所以 ,得 .
若角 的终边与角 的终边关于 轴对称,
. .
. .
则 , ,
.
素养觉醒
1. （2025上海市建平中学摸底）已知一次“45操作”的值为 ,2次“45”
操作的值为 ,3次“45”操作的值为
,则2 025次“45”操作的值为_________.
【解析】 因为 ,
所以 ,
注意到 , ,
所以 ,
同理 ,
所以2 025次“45”操作的值为 .
2. （多选/2025四川泸州高级中学期中考试）定义：角 和 都是任意角,若
,则称 与 “广义互余”.已知,下列角 中,可能与角 广义互余的是
( )
CD
A. B. C. D.
【解析】 若角 和 广义互余,则,即 .
；（奇变偶不变,符号看象限）
,解得,则 ；
;
.
. .