5.4 三角函数的图象与性质-5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共33张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
题型觉醒
高频题型：题型二
题型一 五点法作图
1.（2025湖南长沙雅礼中学月考）用“五点法”作 的图象,首先描出的五个点的
横坐标是( )
A
A.0,, ,, B.0,,,, C.0, , , , D.0,,,,
【解析】 函数的最小正周期为 ,
用“五点法”作的图象,即作函数在 上的图象,
所以五个关键点的横坐标为0,, ,, .
2.作出下列函数在区间 上的图象：
（1） ；
【答案】 按五个关键点列表：
0
0 1 0 0
2 3 2 1 2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图1所示.
图1
（2） ；
【答案】 按五个关键点列表：
0
0 1 0 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图2所示.
图2
（3） .
【答案】 按五个关键点列表：
0
0 1 0 0
0 3 0 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图3所示.
图3
题型二 正弦型、余弦型函数图象的识别
3.（2025江西上饶一中月考）函数, 的图象是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 当时,, 时,
,（的图象与的图象关于 轴对称）由正弦函
数的图象可知,A选项符合题意.
. .
4.（2025华中师范大学第一附属中学期末）函数 的图象大致为( )
B
A. B. C. D.
对于复杂函数的图象识别问题,一般解决思路是先根据奇偶性（奇函数图象关
于原点对称,偶函数图象关于 轴对称）排除选项,再根据特殊值代入判断.
【解析】 函数的定义域为 ,关于原点对称,
且,所以函数 为奇函数,排除A，C选项；
又因为当时,,,所以 ,
此时的符号与 的符号一致,排除D选项.
5.函数 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是
( )
A
A.
B.
C.
D.
【解析】 在各选项的函数中取特殊值计算,并与已知图象比
较,采用排除法判定即可.
由图可知,图象过点,取 ,
对于A, ；
对于B, ；
对于C, ；
对于D, .
故可排除B,D,又由图象知,当时,,取 ,
对于A, ；
对于C, .
可排除C.
题型三 解三角不等式
6.（2025安徽亳州检测）不等式在 上的解集为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 因为,所以 ,
当时,函数 的图象如图所示,
结合图象可知,不等式的解集为 .
,即,,设点
为角 的终边与单位圆的交点,由三角函数的定义可知
,若,则,如图所示,当
时,.即所求解集为 .
7.（2025江西百师联盟联考）在中,“”是“ ”的( )
B
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 在中, .
作出与 的图象如图所示.
充分性:若,结合图象解不等式可得 ,所以
,故充分性成立；
必要性:若,取,则 ,故必要性不成立.
所以“”是“ ”的充分不必要条件.
8.（2025山东省实验中学月考）已知,则函数 的定义域为
_______.
【解析】 要使函数有意义，则必有,即 ,结合正弦函数的图象及
可知, （ 等号是否能取到）,
所以函数的定义域为 .
. .
题型四 交点、零点（实数解）的个数问题
9.方程 的实数解的个数为( )
A
A.1 B.3 C.5 D.7
【解析】 方程 的实数解的个数即
为函数与 图象的交点个数.
作出函数与 的图象如图所示,
由图可知,函数与 的图象只有
一个交点,且此时,即方程 的实
数解为,故方程 的实数解的个数为1.
10.（2025陕西汉中联考）若函数在 上有两个不同的零点,则实数
的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 函数在上有两个不同的零点，即函数 与函数
的图象在 上有两个交点.
由,得,画出函数 在区间
上的图象如图所示.
要使函数在 上有两个不同的零点,
由图可知,实数的取值范围是 .
11.函数 的零点个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 函数 的零点个数即函数
和 图象的交点个数.作出函数
和 的图象(图象上最关键的点是点
),其中 ,如图所示.
由图可知,当时,, ,两函数图象没有交点；
当 时,两函数图象有3个交点；
当时, ,两函数图象没有交点.
综上,函数和的图象有3个交点,所以函数 的零点个数
为3.
. .
12.（2025山东省实验中学月考）若函数, 的图象与直线
有且只有两个不同的交点,则实数 的取值范围为______________.
【解析】 根据题意,先去掉绝对值,分段画出图象,再结合图象求解即可.
去函数绝对值,得作出函数， 的图
象如图所示.由于,的图象与直线 有且只有两个不同的
交点,所以由图象可得， .
能力觉醒
1.利用五点法作函数, 的简图时,第三个点的坐标是
( )
C
A. B. C. D.
先将化为分段函数 按五点法
作图列出五点即可.
【解析】
按五个关键点列表:
0
0 1 0 0
0 3 0 1 0
故第三个点的坐标是 .
2.（2024四川绵阳南山中学月考）函数 的大致图象为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 利用诱导公式对函数化简后,用排除法,先判断函数的奇偶性,再取特殊值判断
即可.因为的定义域为,且 ,则
,所以 为偶函数,所以函数
的图象关于轴对称,所以排除A,C选项；又 ,所以排除B选项.
3.（2025安徽淮南第二中学月考）方程 的实数根的个数为( )
C
A.4 B.5 C.6 D.7
将方程的实数根的个数转化为函数与 的图象交点的个
数即可.
【解析】 令, ,作出
,（由 的图
象向左平移 个单位长度即得）的图象如图
所示.
,由得 ,
方程的实数根的个数就是函数与 的图象交点
的个数.
由图可知，当时,函数与 的图象有3个公共点,
当时,函数与 的图象有3个公共点,
故两函数图象共有6个公共点,从而方程有6个实数根.
. .
4.（多选/2025浙江杭州期末）若函数在区间 上有两个零点,
则 的取值可能为( )
ABD
A. B.0 C.3 D.4
【解析】 令,可得,令, ,由题意可知两个函数在区间
上的图象有两个交点.
作出函数在区间 上的图象,如图所示,
则或,解得 或
,
故的可能取值为 ,0,4.
5.（多选）若函数,的图象和直线 围成一个封闭的平面图形,
则( )
AC
A.当时, B.
C. D.所围图形的面积为
【解析】 如图,作出函数, 的图象,
函数,的图象与直线 围成的
封闭平面图形为图中的阴影部分.
由图可知,当时, ；
；
；
由余弦函数的对称性可知,该阴影部分的面积等于矩形的面积,因为 ,
,所以 .
6.（2025广东佛山期末）在,,, 这四个
函数中,当时,使得不等式 成立的函数的个数是
( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 由图1可知,满足 的函数为上凸函数.
图1
分别考虑四个函数在 上的图象,
如图2,因为在 上是上凸函数,所以不等式成立；
图2
如图3,在 上不是上凸函数,所以不等式不成立；
图3
如图4,在 上是上凸函数,所以不等式成立；
图4
图5
如图5,在 上是上凸函数,所以不等式成立.
综上,满足题意的一共有3个函数.
素养觉醒
1. 若函数图象上存在关于原点对称的两点,,则称点对 是函数
的一对“和谐点对”（点对与 可看作同一对“和谐点对”）,已知函数
则此函数的“和谐点对”有( )
D
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
【解析】 因为
所以当时,,其关于原点对称的函数为 ,
所以函数的“和谐点对”的对数可转化为函数与
的图象的交点个数,作出函数与 的图象如图所示.
由图可得,两个函数图象的交点有3个,即此函数的“和谐点对”有3对.