5.4 三角函数的图象与性质-5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共63张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三、题型四、题型五
题型一 正、余弦型函数的周期及应用
1.（2024黑龙江牡丹江二中期末）函数 的最小正周期是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由,的最小正周期为 可直接得结论.
因为,所以函数的最小正周期 .
2.（2025江苏连云港期末）设为正数,若函数的最小正周期为 ,则
( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 由,且为正数,可得最小正周期,解得 .
3.（多选/2025四川成都期末）下列函数中,最小正周期为 的是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】 函数的最小正周期 ；
因为,所以函数的最小正周期为 ；
因为函数的最小正周期 ,所以函数 的最小正周期为
；
因为函数的最小正周期 ,所以函数 的最小正周期为
.
4. （2025甘肃兰州五十一中期末）我们平时听到的乐音不只是一个音在响,
而是许多个音的结合,称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动,产生频率为
的基音的同时,其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动,产生的频率恰
好是全段振动频率的倍数,如,, 等.这些音叫谐音,因为其振幅较小,一般不易单独听
出来,所以我们听到的声音的函数为 .则函数
的周期为( )
C
A. B. C. D.
观察题中式子,变形不易且无法直接用公式 求解,故考虑用定义法求周期.
【解析】 因为 ,
所以 ,
故 是 的一个周期,又的最小正周期为 ,所以函数
的最小正周期为 .
题型二 正、余弦型函数的奇偶性及应用
5.（2025辽宁大连期末）已知函数 是偶函数,则
等于( )
B
A. B. C.1 D.
若是偶函数,则函数需要由正弦变余弦,则 是 的奇数倍.
【解析】 函数是偶函数,, .又
,, .
函数是偶函数, ,即
, , , ,又
,, .
6.（2025湖南长沙一中期末）设函数,则“”是“ 为偶函数”
的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 充分性:由,得 ,,则 为偶函数；
必要性:由为偶函数,得 ,,得 .
所以“”是“ 为偶函数”的充要条件.
7.（2025安徽芜湖联考）已知函数,若,则 __.
【解析】 利用奇偶性求解.的定义域为.令 ,
则,所以 为奇函数,
又,所以,则 ,所以
.
利用整体思想求解.,即 ,
.
8.（2025浙江省宁波市鄞州中学月考）已知为奇函数,则 ( )
A
A. B.0 C.1 D.2
【解析】 由题意得,即,且,且 .
由于为奇函数,则定义域关于原点对称,故,即 .
此时,定义域为,且,且 ,关于原点对称,且
,即为奇函数,符合题意,故 .
由题意得,即,且,且 .
由于为奇函数,则,即 ,即
,解得 .经检验,符合题意.
题型三 正、余弦型函数的对称性及应用
9.（2025湖南长沙雅礼中学月考）已知函数 的图象关于
点对称,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 根据正弦曲线的对称中心为, ,即可求解.
因为函数的图象关于点 对称,
则,即,因为 ,所以 .
10. （多选）已知函数的图象关于点 中
心对称,则( )
ACD
A. B.
C.直线是图象的对称轴 D.直线是 图象的对称轴
【解析】 将代入,得 ,
,即，又 , ；
对称轴过图象的最高点或最低点,代入对称轴处的 值一一验证是否取到最值即
可.由上知,则,则直线是
图象的对称轴；,则直线是 图象的对称轴.
A,B同上述解法.对于C,D,求出对称轴的方程,给赋值判断.由 ,
令 （余弦曲线的对称轴方程为）,,解得 ,,
，令,得；令,得 .
. .
11.（2024上海市虹口高级中学期中）设函数其中, ,若
函数图象的对称轴直线与其对称中心的最小距离为,则 的解析式为
( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知（任意对称轴与对称中心之间的距离为， .最小距
离,即相邻对称轴与对称中心之间的距离,为）,则,所以,解得 .又直线
为图象的对称轴,则 ,,所以, .又
,所以,即 .
. .
题型四 正、余弦型函数的单调性及应用
题组一 求单调区间
12.（2025上海虹口区月考）函数 的单调递减区间是( )
A
A., B.,
C., D.,
【解析】 函数,故求函数 的
单调递增区间即可.
先求最小值处的值,令,,解得, .
再求函数的最小正周期, .函数在最小值右侧的半个周期内单调递增,即单调递
增区间为, .
因为的系数为负,所以求函数 的单调递减区间,即令
,,解得 , ,即函数的单
调递减区间是, .
先利用诱导公式将 的系数化为正的,再求新函数的单调递增区间即可.函数
,故求函数 的单调递增区间即可.
,,解得 ,则函数的单调递减区
间为, .
13.（2025湖南益阳期中）函数和 都单调递增的区间是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 先在一个周期内求出单调区间,再扩展到
整个定义域内.作出函数和 的图象
如图所示.
由图可知,在一个周期内,函数 和
求出两个函数的单调递增区间然后取交集.函数 的单调递增的区间是
,函数的单调递增的区间是 .由
, 可得函数 和
都单调递增的区间是 .
都单调递增的区间为,根据函数的周期性可知函数和
都单调递增的区间是 .
题组二 利用单调性比较大小
14.（2025湖北宜昌期末）下列各式中正确的是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 在上单调递增, ,
（因为在内单调,所以将角化到内）而 ,所以
；
在上单调递减,而 ,所以 ；
在上单调递减, ,
,而 ,所以 ；
在上单调递增,而,所以 .
. .
15.（2024甘肃白银第十中学期末）下列关系式正确的是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 （因为在 内单调递增,所以
利用诱导公式将角化到 内）,
（化为同名三角函数）,
,即 .
. .
. .
坑神有话说
利用三角函数的单调性比较大小时,首先需要利用诱导公式将三角函数化为同名三角函
数,且把角化到同一个单调区间内,然后利用三角函数的单调性比较大小.
16.（多选/2025湖北武汉期末）已知, ,下列说法正确的是( )
BC
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【解析】 因为在上不单调,所以,则 不成立；
因为在上单调递减,所以,则 成立；
因为,所以 ；
因为,,,所以 或
,即或 .
题组三 利用单调性求参数
17.（2025江西省多校联考）已知,若函数 在区间
上单调,则 的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 当时, ,若在上单调,则在
上单调递减,故,得 ；
若函数在上单调递减,则,且 （研究分段函
数的单调性,要注意“临界值”处的大小关系）,得 .
综上,实数的取值范围为 .
. .
18.（2025四川成都期末）已知函数在上单调递增,则实数 的
最大值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 方法一 因为,所以,所以 ,
又函数在 上单调递增,所以
,（在 上的取值集合包含
于 的单调递增区间内）,
. .
则,解得 .又因为函数的单调区间小于或
等于半个最小正周期,所以,则,所以,.又 ,故
,所以实数的最大值为 .
方法二 令 ,,解得 , ,所
以在上单调递增.又函数在 上单调递增,且
,所以（ 是含0的单调递增区间的子集），所以
得，所以实数的最大值为 .
. .
坑神敲黑板
根据单调性求参数取值（或取值范围）的问题,有两种方法:
（1）利用已知的单调区间求出 的范围,然后使 的取值集合包含于基本三
角函数的单调区间中,再根据两区间的边界范围列不等式组求解.
（2）利用基本三角函数的单调区间结合整体思想求出已知函数的单调区间,然后使已知
的单调区间包含于所求出的单调区间内,再根据两区间的边界范围列不等式组求解.
注意：有时需要加上单调区间小于或等于半个最小正周期这一限制条件.
题型五 正、余弦型函数的值域（最值）问题
题组一 求值域（最值）
19.（2025重庆期末）已知函数,,则 的值域是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为,所以令,则, 的图象如图所示.
由图象可知,当时,有最小值,;当时, 有最大值,
.所以 ,所以 ,所以的值域是 .
20.（2025安徽亳州期中）已知函数的最大值为1,最小值为 ,则函数
的最大值为( )
A
A.5 B. C.1 D.
【解析】 根据三角函数的有界性,分,求出,的值,再求函数 的最大值.
若,则解得
所以（当 时等号成立）；
若,则解得
所以（当 时等号成立）.
易知 不可能为0.
综上可知, 的最大值为5.
21.（2025广西柳州联考）函数在 上的值域为______.
一元二次型求值域.
【解析】 ,
令,又 ,
则 （换元后,注意新元的取值范围）,
函数转化为 ,
由二次函数的性质可得,当时,；当时, .
所以函数在上的值域为 .
. .
22.求下列函数的值域.
（1） ；
【答案】 属于分式型,有两种方法.
方法一 分离常数法 ,
, ,
,, ,
,
的值域为 .
方法二 利用三角函数的有界性.由,得（可以用假设法,若 ,则
,肯定不成立）,所以,由 （三角函数的有
界性）,得（无法判断的正负,求解时需要分类讨论）,当 ,即
时,不等式无解；当,即时,解得.故 的值域为
.
. .
. .
. .
（2） .
【答案】 利用分离参数结合换元求解.
.
令，，则 .
当时， .
当时， ，结合基本不等式可得，此函数的值域为
.
故函数的值域为 .
题组二 已知值域（最值）求参
23.（2025安徽马鞍山期中）已知函数的最大值为 ,最小
值为.函数取最大值时对应 的集合为_____________________
_______.
,
}
【解析】 （三角函数的有界性）, ,
,（三角函数的有界性）, ,
的最大值为2,此时,则, ,
,,故取最大值时对应的集合为 , }.
. .
. .
24. （2025南京师范大学附属中学期末）设为实数,若函数 在区间
上既有最大值,又有最小值,则 的最小值为__.
【解析】 由,所以.令,结合 的
图象,先在一个周期内考虑问题 ( 若在内考虑问题,则 只有最小
值,没有最大值).
要使既有最大值,又有最小值,则 ( 注意此处易得 取 时,最大
值为1.事实上,所在的区间是左开右闭,且,当 取到时, 便存在最
大值),解得,所以的最小值为 .
. .
. .
题型六 求
25.（2025江苏南京第二十九中月考）若函数在区间 上
恰有两个最大值,则实数 的取值范围是_ ______.
【解析】 因为,,所以,又
在区间上恰有两个最大值,所以 （ 区间是左闭右开,若右
边是闭区间,则函数在上有三个最大值）,解得 .
. .
26.（2025河北昌黎第一中学调研）已知直线是函数
其中的图象的一条对称轴,且函数在区间上单调,则 的值为( )
A
A. B. C.2 D.
【解析】 由直线是函数的图象的一条对称轴,有 ,可得
,又由函数在区间上单调,则
（一个单调区间的长度必定小于等于半个最小正周期）,可得 ,有
,有,可得, .
. .
27.已知函数对任意都有,则当 取到最大
值时, 图象的一条对称轴为( )
A
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
【解析】 ,, ,
,,（由最值确定 的范围）
, 的最大值为.当时,,令, ,
解得 , ,（利用整体思想求出函数图象的对称轴方程）
当时,对称轴为直线 ,经检验,B,C,D三个选项均不满足题意.
. .
. .
. .
能力觉醒
1.（2025山西运城调研）大招72已知函数 ,若
,,且在区间上单调,则 的值为
( )
B
A. B. C. D.1
【解析】 因为,所以函数图象关于点 中心对称,
又,所以的图象关于直线 对称,
且在区间上单调,所以 （相邻的对称轴和对称中心之间的距离为四分
之一个最小正周期）,即, .
又点为函数图象的一个对称中心,所以 ,,又因为 ,所以
,所以,所以 .
. .
2.（2025浙江金华期末）大招72已知函数满足 ,
若在区间上恰有3个零点,则实数 的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由题意可知,的最小正周期 ,因为 ,所以直线
为 图象的一条对称轴,（一个周期内两个点的函数值相等,则两点连线的
垂直平分线必为对称轴）
所以在之后的零点依次为,, ,
,….（对称轴与零点的距离为, ）
因为在区间上恰有3个零点,所以,即实数的取值范围是 .
. .
. .
. .
. .
3. （2025天津市第一中学高一上学期期末）定义行列式运算
,函数,若对于任意的 ,都有
,则满足条件的 的最小值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 问题可转化为当取得最小值时,求 的最小值.
由题意，得 ,即
,
若对于任意的,都有,则是 的最小值，
所以 ，,即,,则的最小值为 .
4.（2025河南新乡期中）大招76已知函数,若 在区间
内有且仅有3个零点和3条对称轴,则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 函数,当时,令 ,则
.
若在区间 内有且仅有3个零点和3
条对称轴,则在 内
有且仅有3个零点和3条对称轴,画出函数
的图象如图所示.由图象可知,
（找到 的临界位置,
注意端点处是否取等）, 解得,故 的取值范围是 .
. .
5.（2025山东烟台期末）已知函数 ,则( )
A
A.为偶函数,且在上单调递增 B.为偶函数,且在 上单调递减
C.为奇函数,且在上单调递增 D.为奇函数,且在 上单调递减
【解析】 根据与的关系判断函数的奇偶性,根据定义,判断单调性.因为 的
定义域为,且 ,
又,所以 为偶函数.
设,,且,则, ,
所以,, ,
于是,即,所以 在
上单调递增,所以A正确,B，C，D错误.
6.（多选/2025河北沧州质量监测）大招70,72,73对于函数 和
,下列说法正确的是( )
ABD
A.与有相同的最小正周期 B.与 一定不存在相同的零点
C.与的图象有相同的对称轴 D.存在区间,与 均单调递增
【解析】 函数,又函数 ,所以函
数与有相同的最小正周期，为 .
对于函数的零点,可令,解得 ；
对于函数的零点,可令 ,解得
,
由于,所以函数与 一定不存在相同的零点.
对于函数图象的对称轴,可令,解得 ；
对于函数图象的对称轴,可令 ,解得
,
由于,所以函数与 的图象一定不存在相同的对称轴.
对于函数的单调递增区间,可令 ,解得
；
对于函数的单调递增区间,可令 ,解得
,
由于,可令,则区间为函数与 一个共同的单调递增区间.
7.（多选/2025山东临沂期中）已知函数 的图象关于直
线 对称,则( )
ABC
A. 为奇函数
B.的图象关于 轴对称
C.在 上单调递增
D.若,则
【解析】 由题意得,即,又 ,则
,所以,且定义域为 .
由上述分析可知,又 ,则
函数 为奇函数；
由上述分析可知 ,又
,则函数为偶函数,所以其图象关于 轴对称；
由,得,又由正弦函数的图象及性质可知,函数在 上
单调递增；
易知的最小正周期,且,又,则 与
中,一个取得最大值,另一个取得最小值,所以与 相隔最近为半个最小正周期,即
.
8.（2024湖南长沙长郡中学开学考试）已知函数 ,则
_______.
2 022
【解析】 易知函数的最小正周期 ,且
.由函数的周期性知,这样连续六项的和均为6,且
共有2 023项, ,所以
.
9.（2025广东广州期中）已知函数在区间
上单调递增,且,则在区间 上的值域为________.
【解析】 由（三角函数的有界性）,, 在区
间上单调递增可知,在处取得最大值,在 处取得最小值,所以
（见【大招70】相邻最值点之差的绝对值为半个最小正周期）,即
,则.又,所以, ,解得
,,又,可得,,所以 .
因为,所以,所以,所以在区间 上的
值域为 .
. .
. .
10.（13分）（2025河南名校联考）已知函数 .
（1） 求 的单调递减区间；
【答案】 由,得 ,
所以的单调递减区间为 .（3分）
（2） 求在 上的值域；
【答案】 由,得 .（4分）
由正弦函数的图象可得, ,
所以在上的值域为 .（6分）
（3） 若函数在上恰有3个零点,求 的取值范围.
【答案】 由,得 ,（7分）
得或 ,
解得或 ,（9分）
则在上的3个零点为, , ,（11分）
所以 ,得,即的取值范围为 .（13分）
素养觉醒
1. 阻尼器是一种以提供运动的阻力,从而达到减振效果的专业工程装置.我国
第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置,被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程
可近似为单摆运动,阻尼器模型离开平衡位置的位移单位：和时间单位： 的函
数关系式为,其中 .若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移
为的时间分别为,,,且,,则 的单调区间是
( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 由,,可得到最小正周期和 是函数图象的一条对称轴
方程,进而求得函数的解析式,再求得其单调区间判断即可.
因为阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为,, ,且
,,所以的最小正周期 （由正弦函数的图象可
知）, .
由,得 是函数图象的一条对称轴方程.（一个周期之内,两个点的函数值相
等,则两点连线的垂直平分线必为对称轴）
由可知,直线 均是函数图象的对称轴,由三角函数的性质可知,在函数图
象相邻的对称轴之间的区间内,函数具有单调性,故是 的单调区间.
. .
. .
2. （2025湖北武汉期末）已知函数和的定义域分别为和 ,若对任
意,恰好存在个不同的实数,, ,,使得其中 ,2,
, ,,则称为的“重覆盖函数”.若 为
的“2 025重覆盖函数”,则正实数 的取值集合为( )
D
A. B.
C. D. }
【解析】 先计算 的值域,再根据“2 025重覆盖函数”的定义,列等式求解即可.
由,令, .
因为,所以,,所以, ,
所以 .
若为 的“2 025重覆盖函数”,
则恰好存在2 025个不同的实数,, ,,使得,,2, ,
.
因为,所以,所以 在
上有2 025个解. (问题转化为直线与 的图象有2 025个交
点,则每个周期内有两个交点,由正弦函数的性质即可得出 的值)
所以由正弦函数的性质得,所以 .
. .
. .