5.4 三角函数的图象与性质-5.4.3 正切函数的性质与图象（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共48张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
题型觉醒
高频题型：题型一、题型三、题型四
题型一 正切型函数的图象及其应用
1.（2025安徽淮南二中月考）与函数 的图象不相交的一条直线是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 解方程,然后对整数 赋值可得结果.
由,得,令,得 ,
令,得,令,得,令,得 ,
令,得,结合选项得函数的图象的一条渐近线为直线 ,
即直线与函数 的图象不相交.
2.（2025陕西西安期末）当时,函数与函数 的图象
的交点个数为( )
C
A.0 B.1 C.2 D.4
【解析】 作出函数与在 上的图象,如图,
观察图象,得函数与函数 的图象的交点个数为2.
3.（2025湖南衡阳期中）大招74不等式 的解集为_________
________.
【解析】 根据题意,作出函数, 的图
象,如图所示,由,可得 ,
所以不等式, 的解集为
.
4.（2025四川泸州期中）如图,函数 的部分
图象与轴交于,两点,与轴交于点,且的面积为,则 的值
为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 根据题意,当时,,又的面积为 ,
,, 函数的最小正周期为,（正切函数的图象与 轴
相邻两交点的距离为最小正周期）可得, .
. .
题型二 求正切型函数的定义域与值域
5.（1） 函数 的定义域为______________________.
,}
【解析】 由 ,
,得 ,,所以函数的定义域为 , }.
（2） （2025天津河西区期末）函数 的定义域为__________________.
【解析】 对数函数的定义域为,故可知.由 ,得
.所以函数的定义域为 .
6.（1） 函数, 的值域是_________.
【解析】 （负化正）.
,令, .
函数在 上单调递增,
,即 ,
,
函数,的值域为 .
. .
（2） （2025安徽合肥六校联盟联考）已知,则函数 的值域是
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 根据正切函数的单调性确定 ,再根据指数函数的单调性即可求出
的值域,即得答案.
令,则,因为在 上单调递增,
所以,又在上单调递减,所以,即 的
值域是 .
7.（2025浙江台州期中）大招75求函数, 的最大值与最小
值之和.
【答案】 属于一元二次型.换元法求函数值域,首先令,根据 得
,进而结合二次函数的图象与性质即可求解.
令,因为,所以 ,
则原函数等价于,因为的图象的对称轴方程为 ,
所以在上单调递减,在 上单调递增,
所以当时,,当时, ,
故函数的最大值与最小值之和为 .
题型三 正切函数的周期性、奇偶性、对称性及应用
8. （2025山东东营期中）已知函数 ,则下列说法错误的是( )
A
A.函数的最小正周期为
B.函数的值域为
C.点是函数 的图象的一个对称中心
D.
【解析】 因为,所以函数的最小正周期 ;
（ 正切函数的最小正周期为 ,而非 ）
由正切函数的图象和性质可知函数的值域为 ;
由,,得,,当时,,所以点是函数
的图象的一个对称中心;
因为的最小正周期,所以 .
. .
9.（2025江苏苏州期末）大招70,71函数 是( )
A
A.周期为的偶函数 B.周期为的奇函数 C.周期为的偶函数 D.周期为 的奇函数
【解析】 由,,得,,则的定义域是,
},所以 的定义域关于原点对称.
又,所以 是偶函数,（定义法）由此排除B,D选
项.
,所以的一个周期为 ,（定义法）A选项
正确.
,所以不是 的周期,所以C选项错误.
由,得,,则的定义域是, },所以
的定义域关于原点对称.
. .
. .
作出 的图象,如图所示,由图象可
知是偶函数,最小正周期 .
10. （2025河南洛阳调研）已知函数 图象上两个相邻对
称中心之间的距离为,则 ( )
B
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】 设的最小正周期为,由函数 的图象上相邻两
个对称中心之间的距离为,知（相邻对称中心之间的距离为半个周期）,则 ,又
,所以,即,则 .
. .
坑神来避坑
正切函数图象的对称中心不只是图象与轴的交点,渐近线与 轴的交点也是对称中心,所
以相邻对称中心之间的距离为半个周期,而非一个周期.
11.（多选/2025云南昭通一中期末）已知函数
的部分图象如图所示,
则( )
ACD
A.
B.
C.的图象与轴的交点坐标为
D.函数的图象关于直线 对称
【解析】 由题图知，的最小正周期 ,则
；
由题图知，当时,函数无意义,故 ,
,由 ,得,即 ；
；
由,则的图象关于点 对称,由图象对称变换,得函
数的图象关于直线 对称.
题型四 正切函数的单调性
12.（2025河南驻马店期中）比较 ,, 的大小关系( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 利用诱导公式将角化到同一个单调区间内,然后借助正切函数的单调性比较大
小,因为函数在 上单
调递增,且 ,所以 ,即
.
13.（多选/2025湖南益阳期中）已知函数,若在区间 内单调
递增,则 的可能取值是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】 令,因为,所以,由于在 上单调递增,
则,解得 .
能力觉醒
1.（2025安徽淮北期末）函数 图象的对称轴方程为( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 由函数图象的对称轴方程为,令 ,
得,所以函数 图象的对称轴方程为
.
坑神有话说
正切函数的图象是没有对称轴的,但是加上绝对值后就有对称轴, 图象的对称
轴方程为 ,可通过观察图象得到.
2.（2025北京顺义区期末）给出下列四个结论,其中正确的是( )
B
A.若 , 为第一象限角,且 ,则
B.函数的定义域为, }
C.函数在上的最大值为
D.函数的最小正周期为
【解析】 ,满足第一象限角,而 ；
由,，可得,，故定义域为, }；
当时,函数值为 ；
由周期公式可知最小正周期为 .
3.（2025湖南长沙明德中学期中改编）已知函数,若函数 在
上的零点为,, ,,则 ( )
B
A. B. C. D.
对于三角函数的零点问题,可通过画图解决问题.要求在 上的零点,
即可转化为求和 图象的交点.
【解析】 易知为奇函数（可得）,故 的图象关
于原点对称,则函数在上的图象关于原点对称,故函数 在
上的零点也关于原点对称,其和为0,
所以在上的零点和即为 上的零点和,
令,得,, ,
在同一坐标系中作出和 的
图象,如图可知在 内的零
点只有 ,
故零点之和为 .
4.（2025陕西西安质检）函数
的图象如图所示,
图中阴影部分的面积为 ,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 如图,由正切函数的周期性可知,①和②面
积相等,故阴影部分的面积即为矩形 的面积
（不规则图形面积问题转化为规则图形面积问题）,
易知 ,
设函数的最小正周期为,则 ,
由题意得 ,解得 ,故 ,得 ,
即 .
的图象过点,即 ,
(将特殊点的坐标代入解析式求 )
. .
. .
,, ,
解得 ,
则 ,
.
5.（2025湖北武汉期末）已知函数的定义域为 ,则函数
的定义域为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 已知函数的定义域为,对于,则有 ，
解得.对于,有 .
正切函数的周期是 ,在上单调递增,且, ，所以
, .
解不等式,可得, ；
解不等式 ,可得 ， .
当时,；当时, .
综合前面两步,取与和 的公共部分.
与的公共部分为；与 的公共部分为 .
所以函数的定义域为 .
6.（2025浙江温州期末）函数在 上的最大值为7,最小值为3,
则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 令,设,, （ 挖掘隐含条件）,
,
由题意知,即, .
正切函数在上单调递增,在 上单调递增,
在 上单调递减（同增异减）,
,则 ,
,则 .
,, ,
.
. .
. .
7.（2025江苏泰州兴化中学期末）已知函数,若 , ,
,则( )
B
A. B.
C. D.
先求出函数的单调区间,然后再把,, 通过诱导公式转化至相同区间上,进
而比较大小.
【解析】 设,则在 上单调递增,
可化为 ,
由对勾函数的性质可知,当时,单调递减,当 时,
单调递增,由得,故在区间 上单调递减,在
上单调递增.
, ,
因为(因为, (是个小结论,注意记忆),
故,故 .
. .
坑神小课堂
如图,设角 的终边与单位圆交于点,.单位圆与轴交于点 .
过点作轴的垂线,交轴于点,过点作轴的垂线交 的终边于点 .
易知, , , .由圆心角为 的扇形的面积小于 的
面积知，，所以，所以 .
8.（多选/2025黑龙江哈六中月考）已知函数,若
图象相邻的两条曲线与轴分别交于点和,且在区间上单调递减,则
( )
AD
A. B. C. D.
【解析】 正切函数图象与轴的相邻两交点之间的距离即为最小正周期 ,则
,由 ,得,即 .
由于存在单调递减区间,则 ,（由复合函数的单调性可知,外层函数
是增函数,则内层函数是减函数,即变量 的系数为负）所以
.
由对称中心,求满足题意的 .由, (正切函数图象的对称中心是
,,而非，)得, ,
又,所以或 ,
当时, ,
. .
. .
由,,得,,则函数 的单调递减
区间为, ,
令,则的一个单调递减区间为,又,则函数 在
上单调递减,
所以 满足题意；（验证单调性）
当时, ,
. .
由,,得,,则函数 的单调递减
区间为, ,
令,则的一个单调递减区间为,又,则函数在 上
单调递减,
所以 满足题意.（验证单调性）
综上可得,或 .
. .
9.（2025福建省部分学校联考）大招72,73已知函数 的图
象关于点对称,则 的单调递增区间为_______________________.
,
【解析】 正切函数的图象的对称中心是, ,单调递增区间
是, .
因为函数的图象关于点对称，所以 ，
，即,又，所以，故 .
令,,可得, ,
所以的单调递增区间为, .
10.（2025广东佛山期中）已知函数在区间 上单调递减,
则 的取值集合为_________（用列举法表示）.
,
【解析】 由在区间上单调递减,得（同增异减）,且
（正切函数单调区间的长度要小于或等于最小正周期）,解得 ,
因为,所以或或或 .
当时,,当时,,当 ,即
时,函数无意义,故 不成立；
当时,,当时, ,
. .
. .
因为在上单调递增,所以在区间上单调递减,故 满足
题意；
当时,,当时, ,因为 在
上单调递增,所以在区间上单调递减,故 满足题意；
当时,,当时, ,
当,即时,函数无意义,故 不成立.
综上所述,的取值集合为, .
由在上单调递减,可得,且,所以 ,所以
, .
又 ,,所以, .
所以,解得 .
要使不等式组有解,且满足,则,解得, ,又
,所以或 .
当时,,又, ,此时无解；
当时,,又,,所以或 .
综上所述,的取值集合为, .
11.已知函数, .
（1） 若,求 的最小正周期与函数图象的对称中心；
【答案】 当时,,所以函数的最小正周期为 .
由,,得,,所以函数 的图象的对称中心为
.
（2） 若在上单调递增,求 的取值范围；
【答案】 当时,,因为在 上单调递增,
所以,解得,又,所以 .
（3） 若方程在上至少存在2 025个根,且的最小值不小于 ,求
的取值范围.
【答案】 因为,即,所以 ,,即 ,
.
因为方程在 上至少存在2 025个根,
所以区间内至少包含2 024个最小正周期,即 ,
所以的最小值为,又的最小值不小于,所以 ,则
,所以 .
素养觉醒
1. 对于函数 的性质,正确的有( )
ABD
A.定义域为, },最小正周期为2
B.单调递增区间为,
C.图象的对称中心为,
D.在定义域内,对任意,,且,,则 的最大值
为1
【解析】 由 ,,得,,则 的定义域为
,},最小正周期 ；
令,,得, ,
所以的单调递增区间为, ;
令,,得,,所以图象的对称中心为, ;
利用转化法,结合正切函数图象的性质求解.令,,则 ,
.
因为,即 ,
如图所示,由梯形的中位线定理可得
,所以上述不等式转化为 恒成立,
显然,结合的图象可知,, 所在最大区间为
, ,
所以,,则 ,即
,所以 的最大值为1.
所以 恒成立.
记,,,作出
函数 的图象,并连接,取线段的中点 ,