5.5 三角恒等变换-5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-1.两角差的余弦公式 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共48张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角差的余弦公式 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
题型觉醒
高频题型：题型一、题型二、题型三、题型六
题型一 给角求值
1.（2025湖南长沙一中期末）计算: ( )
A
A. B.2 C.1 D.
【解析】 先将换成 ,再切化弦,利用差角公式及诱导公式化简即可.
原式 .
2.（多选/2025江苏南通月考）下列四个选项中,结果正确的是( )
BC
A.
B.
C.
D.
【解析】
另解: ；
因为 ,所以 ；
因为 , ,
所以 ；
.
坑神有话说
给角求值问题,所给角往往不是特殊角,解决此类问题的关键是寻找角与角的关系,比如和、
差是特殊角,或者角的二倍为特殊角,找到关系后,一般是逆用和、差角公式将非特殊角化
为特殊角求值.
3.计算： __.
【解析】 看到分式形式且为正切式的给角求值问题,首先想到的就是两角和、差的正切
公式的逆用.
（ 特殊值“1”的替换）
.
坑神有话说
如果所给式子是分式,且当分子、分母中出现1,3, 时,常转换为角,然后考虑逆用两角和、
差的正切公式.
. .
题型二 给值求值（条件求值）
题组一
4.（2025安徽阜阳期末）已知,,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 根据与,可计算出 与
的值,从而求出 .
因为,所以 ,又
,
所以,解得 ,所以
,
故 .
5.（2025甘肃临夏州月考）已知,,则
( )
D
A. B. C. D.
根据 ,将已知条件向 ,
转化,可联想到将已知等式平方.
【解析】 因为 ,所以
.
因为,所以 ,
所以 ,
所以,所以 ,故
.
6.（2025浙江杭州期末）已知 , 为锐角,, .
（1） 求证: ；
【答案】 因为,所以,又 ,
所以,所以 ,又 , 为锐角，所以
,所以 ,
所以 .
（2） 求 的值.
【答案】 因为 ,
所以 .
因为 , 为锐角,所以,,所以 ,
所以 （ 若忽略范围,则可能产生多解）,所以
.
. .
. .
题组二 巧用拆分角
7.（2025河北沧州期末）已知 ,,且,,
则 ( )
A
A. B. C. D.
将所求角拆成已知角,即 , 已知, 由同角三角函
数基本关系易求,则 易得.
【解析】 因为 ,,所以 .
因为,所以 .
因为,所以 ，所以 ,
所以,则 .
8.（2025湖北武汉重点中学联考期末）已知,且,则 的
值是( )
A
A. B. C. D.
将所求角拆成已知角,即 ,结合同角三角函数基本关系及两
角和的正弦公式即可求解.
【解析】 因为,所以 ,
又,所以 ,
所以 .
9.（2025江苏常州期中）已知 ,,且,,则
( )
B
A. B. C. D.
,利用角的范围求出 , ,再利用两角差的
余弦公式求解.
【解析】 由,,可得 ,则
.
因为,所以或 ,
又,,所以 , ,
所以 .
10.（2025江苏丹阳质检）已知,且 是第一象限角,那么 _____.
,利用角的范围求出 ,再利用两角差的正弦公式
求解.
【解析】 因为 为第一象限角,则 , ,
所以 ,,又,所以 ,
则
.
11. 已知,,,,则 的值
为( )
A
A. B. C. D.
所求角看似与已知角无关,但利用诱导公式 ,就可以
发现其关系,即 ,展开即可求解.
【解析】 .
因为,所以,又,所以 在第二象限或第三象限,
由于 ,
又在上单调递增,且,所以当在第三象限时, ,
与矛盾,所以 在第二象限(此处为本题难点,一般都会直接由
,判断出在第二象限或第三象限就结束),所以 .
因为,所以,则 .
因为,所以 .
所以 ,即
.
题型三 给值求角
12.（2025河南郑州期末）已知 , 满足,则 ______
_________.
【解析】 要求角 的大小,题中条件与正切有关,所以考虑由条件求 的正切值，
从而得解.由 ,即
,整理得,即 ,所以
.
13.（2025江苏如皋中学月考）已知 , 为锐角,,,则
的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由同角三角函数的基本关系可得 ， 和 的值,易知
,利用两角和的余弦公式求出,即可求出 的值.
, 为锐角,, ,
,, ,
.
又, .
14.（1） （2025江苏南通月考）已知,,且及 ,
求 的值;
【答案】 由同角三角函数的基本关系可得 , 的值,结合两角和的正弦公式
即得 的值.
由,可得 ,
由,，得 ,
则 ,
由于,故 .
（2） （2025安徽联考）已知,且,,求角 的值.
【答案】 由同角三角函数的基本关系求得 的值,易知
,结合两角差的正切公式即得角 的值.
因为,所以 .
因为,所以 ,
所以 .
因为,故 .
因为,所以 .
题型四 和为特殊角的正切公式的变形应用
15.已知,则 ( )
C
A. B. C.0 D.
含有, ,考虑利用两角和的正切公式的变形求解.
【解析】 ,
.
16.（2025浙江杭州期末） ( )
D
A. B. C. D.
观察式子,分子上是和,可联想到用两角和的正切公式,将“1”用 替换.
【解析】 .
17.计算： ____.
直接利用 求解.
【解析】 因为 ,所以 ,同理得
,, ,所以
.
题型五 两角和与差的正、余弦公式的逆用
18.（2025甘肃酒泉期末）求值： ( )
B
A.0 B. C.2 D.
【解析】 .
19.（2025福建福州期末）已知,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为 ,逆用两角和的正弦公式得
，所以 .
20.若,则 的取值范围是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 ,
,
,即 .
能力觉醒
1.大招77,79 已知 ,,且满足, ,则
( )
C
A.1 B.或1 C.或1 D.1或
【解析】 由已知求得和,再利用平方关系求得 和
,而 ,展开后计算即可,注意分类讨论.
,, .
,, .
又 ,,,,或 ,
或 ,
又 ,
当时, ,
当时, .
综上,或 .
由,,得 ,
则或 .
①若,则,所以 ;
②若,则 ,
,
所以 （实质上是后面要学的二倍角
公式） .
综上,或 .
. .
2.（2025江苏镇江质检）大招77已知,其中 且
,,则 的值为( )
B
A. B. C.2 D.3
【解析】 将角度拆分为 , ,利用两角和与差的正
弦公式展开整理后,结合商数关系即可得.
, ,
,
整理得,
由于 , ,,所以, ,
式左右同时乘 ,
得,即 .
3.（2025广东深圳外国语高级中学期末）已知, ,
,,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由 ,
得,所以 ,又 ,所以
,即 ,
整理得 ,
即,所以 和 一个是钝角一个是锐角,所以 ,所以
,所以 .
4.（2025河南郑州检测）大招76,79若定义在上的函数
的图象在区间上恰有5条对称轴,则 的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 由已知得 （利用辅助角公式化简解析式）,
令,,得, （利用整体思想求出对称轴方程）
,依题意知,有5个整数满足 （由对称轴的限制条件求参数）,即
,
所以,1,2,3,4,则,故 .
. .
. .
. .
5.（多选/2025山东枣庄月考）已知函数 ,则下列说法中正确的是
( )
ACD
A. 为 的周期
B.的最小值为
C.函数在 上单调递减
D.对于任意,函数都满足
【解析】 函数不能化为 的形式,所以选择用定义法判断,即判断是
否满足, ,即
,所以 为 的周期；
由A可知函数的周期是 ,故只需确定一个周期内函数的值域,所以不妨设
,
(函数含有绝对值,需要分和 两种情况讨论)
当时,,且 ,
所以,即 ,
当时,,且 ,
所以,即,所以当时,的最小值为 ；
. .
当时,可去绝对值符号, ,此时
,而,所以在 上单调递减；
根据诱导公式化简判断即可,
,
,所以 .
坑神有话说
辅助角公式常和三角函数的图象与性质综合考查,解题时首先利用辅助角公式将函数解
析式变形为或 的形式,然后
将 看成一个整体,借助正弦函数或余弦函数 的图象与性质
（如定义域、值域、最值）求解.
6. （2025广东汕头期末）公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正
五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为 ,这一数值也可表示为
,若,则 ___.
2
【解析】 利用同角三角函数的基本关系,将用三角函数的形式表示,然后将, 的三角
函数式代入所给式子中,利用辅助角公式化简求值.
因为 ,,所以 ,
,所以 .
7.（2025天津南开区月考）设,是非零实数,且满足,则 _____.
【解析】 由题意，可得 ,（左边与两角差的正切公式类似,考虑向其方
向构造）令 ,则,即 ,
所以,,即, ,
故, .
. .
8.（2025江苏南京、盐城联考）大招79若函数 的图象关于直线
对称,则实数 ____.
【解析】 因为函数图象的对称轴为直线 ,又
,其中,所以 , ,
解得 ,,所以 .
因为函数的图象关于直线 对称,
所以 ,
所以 ,
所以 ,利用和角公式、差角公式展开
得,因为 不恒为0,
所以,所以 .
9.（2025上海市南洋模范中学期中）在锐角三角形中,已知 ,则
的最小值为____.
本题隐含条件为,将其代入已知式,可得出,, 的正切值关系,进
而将待求式中的异角化为同角,结合基本不等式即可求解.
【解析】 根据三角形内角和可知,即 ,
又,即 ,所以
,
,即 .
因为
,
所以 .
又,所以 ,
所以 .
当且仅当,即 时,等号成立.
所以的最小值为 .
素养觉醒
1. 求 的值.
【答案】 因为
故原式 .
坑神有话说
求解此题的关键是裂项:, ,
.
,, ,