5.5 三角恒等变换-5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-3.二倍角的正弦、余弦、正切公式（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共40张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
题型觉醒
高频题型：题型一、题型二、题型三
题型一 与二倍角有关的给角求值问题
1.已知函数,则 的值为( )
B
A. B. C. D.1
【解析】 .
2.（2025天津市西青区期末）求值 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为,所以 .
3. 的值为__.
【解析】 将原式看成“”的形式,再分子、分母同乘 ,利用二倍角的正弦公式,结合
诱导公式化简即可.
.
4.（2025陕西榆林期末） ____.
【解析】 .
5.（多选/2025山东省淄博临淄区月考）计算下列各式的值,其结果为1的有( )
AD
A. B.
C. D.
【解析】 ；（通过诱导公式将
转化为 ,再用二倍角公式求值）
；（通分后,分子用辅助角公式,分母
用二倍角公式）
（两角和的正切公式的变形）；
.
, 变形即可得上式)
. .
. .
. .
题型二 与二倍角有关的条件求值
题组一
6.（2025重庆万州阶段练习）若钝角 满足 ,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 弦化切并结合计算可得 的值,然后应用二倍角的正切公式计算
即可.
因为 ,所以 ,解得 ,
又 为钝角,所以,则,所以 .
7.（2025四川射洪中学月考）若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ,
所以，所以 ,
所以 .
坑神有话说
,即正、余弦和、差的形式可以与二倍角建立联系,解题时
注意灵活应用.
8.（2025江苏镇江开学考试）已知,,则
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 利用两角差的余弦公式先求出 的值,从而可以得到 的值,
再结合二倍角的余弦公式即可得出结果.
因为, ,
所以 ,
所以,所以 ,
所以 .
9.（2025浙江湖州期末）已知,则 的值为( )
A
A.1 B.0 C. D.
【解析】 先由,得到 ,（利用二倍角公式升幂）
即,所以 ,
即,所以,所以 ,,所以 ,
,得 .
. .
题组二 巧用拆分角
10.（2025湖南省大联考）已知,则 ( )
D
A. B. C. D.
易知,利用二倍角余弦公式可求 ,再利用诱导
公式求解.
【解析】 由知, .
所以 .
11.（2024天津耀华中学期末）已知,,则
( )
B
A. B. C. D.
将所求角向已知角转化,即 .
【解析】 由得, ,
而 ,
故 .
12.（1） （2024湖南株洲二中开学考试）已知,则 __.
【解析】 .
（2） 若,则 __.
【解析】 因为,所以 .
坑神有话说
（1）（2）两小题角的转化是一个相反的过程,分别为（1） ,（2）
,因此我们发现 与 可以通过二倍角公式和诱导公式建立联系.
13.（2025江苏连云港学情检测）已知,且 ,则
的值为_______.
【解析】 因为,所以 ,
所以,所以,因为,所以 ,
又,则,所以 ,
所以 ,
,
所以
（【大招识别】将拆成已知角和易求角,即 .）
. .
题型三 降幂公式的应用——二倍角公式的变形应用
14.（2025湖北省荆州中学期末）已知函数,则函数 的
值域为_______.
【解析】 利用平方关系降幂,再利用二倍角公式化简后,结合正弦函数值域与二次函数性
质得值域.
,
又,所以.故函数的值域为 .
15.（2025四川宜宾诊断）已知,,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由,得,又 ,则
, ,
（根据二倍角公式降幂）.
. .
16.（多选）已知函数, ,则下列结论中正确的是( )
ABC
A.的最小正周期为 B.函数的图象关于直线 对称
C.函数在区间上有最大值 D.函数在区间 上单调递增
【解析】 利用二倍角公式的变形——降幂公式、两角差的余弦、正弦公式化简函数解
析式,然后结合正弦函数的性质判断各选项.
.
的最小正周期 ；
当时,,所以直线是 的图象的一条对称轴；
当时,,令,解得 ,
所以在上单调递减且,在 上单调递增,
所以当时,取得最大值,为 .
能力觉醒
1.（2025湖北武汉洪山高级中学月考）设 , ,
,则有( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ,
（先分子分母同时乘
,然后用二倍角公式化简）,
.
又 ,且在 上单调递增，
,
即有 .
. .
2. （2025湖南省湘楚名校联考）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”
在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距 的对应数表,这是世界数学
史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长等于表高与太阳天顶距 正切值
的乘积,即 .对同一“表高”测量两次,第一次和第二次太阳天顶距分别为 , ,
第二次的“晷影长”是“表高”的2倍,且,则 的值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 待求式含正切 ,则将已知式利用同角三角函数的基本关系转化至只含正切,注
意化弦为切时通常分子、分母同时除以 ,若分母为1,则可用 代替.
由题意可知,则, ,可
得,解得或 （舍去）,所以
.
3.大招77,79已知函数的图象关于直线 对称,且
,则 的值是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为,其中, ,且
函数的图象关于直线对称,所以 ,（由辅助角公式得最值）即
,化简得 ,
所以,即 ,
所以 .
. .
4.（2025湖北黄冈检测）若函数, 的两个零点分别为
和,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 根据给定条件,利用辅助角公式化简 ,再利用函数零点的意义及正弦函数的
性质求得,进而求出 ,最后利用二倍角的余弦公式求值.
函数,其中, .
由,得,而 , ,
因此 ,即,则,即 ,
所以 .
5.（2024广东广州统考）若,则
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为 ,（已知条件
等式中的右边是齐次式,所以弦化切,注意“1”的代换）
所以 ,,即 , ,
所以, .（逆用二倍角公式,从而得到特殊角,并求值）
. .
. .
. .
. .
6.（2025安徽合肥第六中学期末）大招77,79若时, 取得最
大值,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 先将 化至 的形式求最大值，再利用拆角求
出 , ,进而利用两角和的正弦公式求出 的值.
因为（其中,）,所以 .
当且仅当 时，等号成立.
此时 ；
,
所以 .
7.（多选/2025山东菏泽期末）已知函数 ,则下列结论正确
的有( )
AB
A.点为函数 图象的一个对称中心
B.的取值范围为
C.的一个单调递增区间为
D.的图象关于直线 对称
,
所以点为函数 图象的一个对称中心.
考虑先化简为正弦或余弦型函数,然后利用三角函数的有界性求解.
,
因为 ,
所以,即的取值范围为 .
【解析】 考虑利用对称性的定义及诱导公式求解.因为
6次方不好化简,所以考虑特殊值法.因为 ,
,且 ,
所以的单调递增区间不可能为 .
利用对称性的定义及特殊值举反例.当时, ,
因为,,所以函数的图象不关于直线 对称.
8.已知 , 均为锐角,且满足,,则 值为
__.
【解析】 所求的角是 与 的和,已知条件转化时,可利用二倍角公式把 项变成 ,
把 项变成 .
,
,①
,
,②
①②两式相除得 ,
,即 ,
又 , 均为锐角, ,
.
9. 表示一个整数,该整数使得等式成立,则这个整数 为___.
1
【解析】 令整数 为,则,显然 ,所以
,（左边两项,右边一项,
接下来需要把右边拆成两项,以便应用项相等求参数）
所以
（左边含角，所以右边拆成 ） ,
所以,整理得 ,故 ,即
整数 为1.
. .
. .
素养觉醒
1. （多选）由倍角公式可知,可以表示为 的二
次多项式.一般地,存在一个 次多项式
,使得 ,这些多项
式 称为切比雪夫多项式.运用切比雪夫多项式可得,下列等式成立的有( )
BC
A. B.
C. D.
【解析】 结合两角和的余弦以及二倍角的余弦公式,化简可求出, ,换
元即可得出,.根据可知, .
.
由切比雪夫多项式可知,,即 .
令,,可知 .
.
由切比雪夫多项式可知,,即 .
令,可知 .
, ,
根据,（三倍角公式）可得 ,
.（找到 角是解题的关键, ,它们又都是
的倍数,利于之后建立等式使用）
又 ,所以 ,（利用诱导公式
和同角三角函数的基本关系建立等式）
所以 .
令 ,,可知,展开可得 ,
所以,解得 .
因为,所以 ,
所以 ,
. .
. .
所以 .
假设,因为 ,则
,显然不正确,故假设不成立.
坑神小课堂
三倍角公式在一些竞赛题中可能会用到,学有余力的同学可以了解一下.
,
,
.