5.5 三角恒等变换-5.5.2 简单的三角恒等变换（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共51张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
题型觉醒
高频题型：题型一、题型三
题型一 半角公式与万能公式的应用
1.（2025广东佛山期末）已知角 是第二象限角,且终边经过点,则 ( )
C
A.3 B. C.2 D. 或2
【解析】 角 是第二象限角,且终边经过点,, ,
.
角 是第二象限角,且终边经过点,, ,
.
（根据半角公式求解）如图, 角 是第二象限角,
由【大招64】可得 为第一或第三象限角,其正切值为正.
角 的终边经过点 ,
,
.
坑神有话说
是半角正切公式的有理形式.
2.（2025河北石家庄调研）已知且,则 ( )
D
A.2 B.1 C.0 D.
【解析】 由二倍角公式，可得2 ,（利用公式
而不用 ,是因为用前者可以消去常数项2）所
以,即,解得 或
,因为,所以,所以 ,所以
.
（利用万能公式求解）因为, ,
所以,即,解得 或
.又,所以 .
. .
坑神有话说
万能公式使得任意角的三角函数值都可以与其半角的正切值建立联系.
3.（2025辽宁辽阳期末）已知,,则 ________.
【解析】 因为,所以 .
因为,所以 ,
所以, ,
所以 .
题型二 和差化积与积化和差公式的应用
4.（2025四川成都七中统练） ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 分子、分母分别用和差化积公式化简即可.
.
5.（2025湖南省多校联考）已知, ,则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ,由积化和差公式可得 ,即
,又,结合平方差公式可得 .
,又
,结合平方差公式可得 .
6.（2025安徽芜湖一中期末）已知角 , 满足, ,则
的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 , ,
由积化和差得 ,
即 ,
故 ,
解得 .
7.（2025吉林长春吉大附中实验学校诊断）已知,是函数 ,
的两个零点,则 ___.
【解析】 根据和差化积公式得
,
则令,当时,因为,则 ,此时无解；
当,因为,则,则 或 ,解得或 ,
则 .
利用三角恒等式求解.
令,则,则, .
当,则 , ,
当,则 , .
因为,对于 ,只有当时,,但0不在开区间 内.
对于 ,当分别取1,2时,,.因此 .
题型三 辅助角公式
8.求函数 的最大值( )
A
A. B. C.2 D.1
因为定义域为,所以由辅助角公式可求出最大值为 .
【解析】
,所以 的最
大值为 .
先利用两角差的余弦公式展开,合并同类项后,再利用辅助角公式求解.
,
所以当,,即,时,取得最大值,最大值为 .
9.（2025陕西汉中联考）已知函数,当取得最大值时, __.
【解析】 由且 ,
可得,此时 ,,所以 , ,故
.
10.（2025广东茂名期末） _____.
分子利用两角差的余弦公式向特殊角转化,分母利用辅助角公式转化.
【解析】 由题意知
.
11.（2025陕西渭南期中）已知的图象关于直线 对称,则函数
的图象的一条对称轴是直线 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为直线是函数图象的一条对称轴,所以在 处
取得最值,所以,（由辅助角公式可知最大值为 ,
最小值为 ）
所以 ,
. .
所以,令 ,
,解得 ,,当时 ,即A选项.
由题易得的最小正周期 ,又直线为 图象的对称轴,所以
为图象的对称中心,（见【大招70】相邻对称轴和对称中心之间的距离为 ）
所以,即,解得 .
接下来的解法同大招解1.
,其中 ,
. .
. .
又的图象关于直线对称,所以 ,,解得, ,故
.
接下来解法同大招解1.
的图象关于直线对称,所以 ,即
,即,解得 .
接下来解法同大招解1.
题型四 判断三角形的形状
12.（2025湖北武昌期末）在中,,则 的形状为( )
C
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定
【解析】 因为 ,
所以 ,
所以,所以,故为钝角,所以 为钝角三角形.
13.（2025北京东城区月考）在中,,则 的形状为( )
B
A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【解析】 在中,因为 ,
所以 ,（左边要想与右边建立联系,则需要将右边
变成三角函数积的形式,这时可想到和、差角的正、余弦公式）
即 ,
展开,整理化简得 .
因为,为三角形内角,所以,所以 .
因为为三角形内角,所以 ,
所以 为直角三角形.
14.（2025黑龙江大庆实验中学月考）若在中, ,则
的形状为( )
C
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
【解析】 因为,（首先利用半角公式把化成 ）
所以,所以 ,
即,则 ,
所以 ,
所以,即 .
因为,,所以 ,
所以,即,所以为等腰三角形.角 为直角时不恒成立，故排除D.
. .
题型五 三角恒等变换在几何问题中的应用
15.如图,在扇形中,,半径.在上取一点,连接,过 点分别向
半径,作垂线,垂足分别为,,得到一个四边形 .
（1） 设,将四边形的面积表示成 的函数,
并写出 的取值范围；
【答案】
,(利用辅助角公式化为 的形式)
由题意要得到四边形,则 .
. .
. .
（2） 求四边形的面积 的最大值.
【答案】 由（1）知:,因为,所以 ,
所以当,即时,四边形的面积的最大值为 .
16.（2025湖南师范大学附属中学入学考试）某工厂制作如图所示的一种标识,在半径为3
的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形,“ ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成,两
个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍,设为圆心, ,记矩
形的面积为,则 的最大值为__________.
【解析】 过点作,垂足为,设交于点 ,则
，分别为线段，的中点.设四边形 为横向矩形,
如图所示.
由题意可知, ,
因为 ,,所以,
所以 .
所以矩形 的面积
, （利用二倍
角公式降幂，进而将异角化为同角）其中,且 为锐角.
因为 ,则 ,
故当时,即当时, 取得最大值为
.
. .
17.（17分）（2025黑龙江牡丹江联考）如图所示,立德中学
植物园为矩形区域,其中 为植物园入口.已知有三条路
,,,路上点 处为植物园的物品管理站,其中
,路上有一个地标建筑,其中 .现
要修建两条路,,修建,费用成本分别为 元/,
元/.设 .
（1） 当,时,求张角 的正切值；
【答案】 由题知,,,即,故 ,
所以 .（4分）
（2） 当时,求当 取多少时,修建, 的总费用最少,并求出此时的总费用.
【答案】 由题知, ,则
,且 ,
所以修建费用 元,
（7分）
且,即 ,
而 ,（10分）
由 ,则,令，则 ,
所以 .（通过换元,
用二次函数的性质求最值, 注意换元后新元的取值范围）
（13分）
易知函数在 上单调递增,所以
,故 ,即
,
此时,得,总费用最少为 元.
故当 取时，修建, 的总费用最少，此时的总费用为
元.（17分）
. .
能力觉醒
1.（2025上海高境第一中学月考）若且 ,则
的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由半角公式和 化简原式，得
,且 ,
得,所以 .
2.（2025安徽师范大学附属中学期末）已知,则 的值为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由 ,
得 ,
则,而 .（万能公式的应用）
. .
3.（2025山东青岛期中）关于的方程有一根为1,则
一定是( )
A
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【解析】 因为1是方程 的根,
所以 ,
又 ,
所以 ,
整理可得,即 .
因为 , ,所以 .
则由可得,所以,所以 一定是等腰三角形.
4.大招81 函数 的最大值为( )
D
A. B.4 C.3 D.5
【解析】 由解得 ,
所以函数的定义域是 .
由于 ,
故可设 , ,其中 ,
所以,其中 ,且
,
所以,所以当时, 取得最大值,为5.
5.（多选/2024福建师大附中月考）下列化简正确的是( )
BCD
A.
B.
C.
D.
【解析】 等式左边形式类似两角和的正切公式,且 为特殊角,所
以可利用两角和的正切公式判断.
因为 ,
所以 ,
所以 .
先利用诱导公式将 转化为 ,再根据两角差的正弦公式求解.
因为 ,
多次运用积化和差公式,结合和差化积与特殊角的三角函数值求解.
所以 .
.
（ ,拆角化简）
.
先通分,再根据二倍角公式和辅助角公式化简.
.
. .
6.（多选/2025内蒙古赤峰期末）已知函数 ,则
( )
ACD
A.函数 为偶函数
B.曲线的一条对称轴为直线
C.在区间 单调递增
D.的最大值为
【解析】 利用辅助角公式将所给式子化成 的形式,再研究其性质.
函数 .
是偶函数；
,故直线 不是曲线 的对称轴；
当时,,函数在 上单调递减,
因此函数在 上单调递增；
的最大值为 .
7.设,,是的三个内角,则 的最大值为__.
【解析】 令,视为常量,, 为变量,
则 ,（利用积化和差及
进行转化）
显然,在变化中取相等的值时,取最大值1,因此有 .
又当,即时,取得最大值,即有.所以
（当且仅当 时,等号成立）.
. .
8.已知,求证： .
【答案】 因为,所以 ,
所以 .
因为 (将所证与已知
条件建立联系： )
,（实际就是和差化积公式的运用）
. .
. .
所以 ,
同理可得 ,
所以,从而,所以 .
9.（17分）（2025江苏南京期中）某公园内有一个半径为的扇形空地 ,且
,公园管理部门为了优化公园功能,决定在此空地上建一个矩形老年活动场所
,如图1、图2所示有两种方案可供选择.
（1） 若选择方案1,设 ,请用 表示矩形 的面积,并求面积的最大值；
【答案】 由题得
,
,（1分）
则 ,
所以 ,（3分）
所以
.
（6分）
因为,所以,故当,即时,矩形 的面积取得最大
值,且最大值为 .（7分）
（2） 求方案2中矩形 面积的最大值,并说明选择哪种方案更优（面积最大）.
【答案】 取线段的中点,连接,,交于点 ,如图.
设 ,其中,由圆的几何性质可知 ,
则 , .（9分）
因为四边形为矩形,则且 ,
因为,则,又,所以四边形 为矩形,
所以,即为线段 的中点,
又,则,所以 ,
所以 ,
所以 ,（13分）
又 ,
所以
.
（16分）
因为,所以 ,
所以当,即时,矩形 的面积取得最大值,且最大值为
,
因为 ,所以选择第1种方案更优.（17分）