5.6 函数y=Asin(ωx_φ)（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共55张PPT)
第五章 三角函数
5.6 函数
题型觉醒
高频题型：题型三、题型四
题型一 五点法作函数 的图象
1. 已知,用“五点法”作出在 上简图.
【答案】 因为,所以 ,列表如下.
（ 若不注意范围,则列表时易多出一点（即 时所对应的点））
0
0 2 0
描点,连线,在 上的图象如下.
. .
2.用“五点法”作函数 的图象．
列出下表,
0
1 3 7 9
0 2 0 0
根据表中信息：
①请求出, , 的值；
②请写出表格中,, 对应的值；
③作出函数 在一个周期内的图象.
【答案】 ①由表格可知, ,
由解得
② , ,
当时,,则 .
③作出
在一个周期内的图象,如图.
题型二 三角函数图象的平移与伸缩变换
题组一 同名三角函数图象变换
3. （2024北京大兴区第一中学月考）将函数 的图象上所有点的横
坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向左平移 个单位长度,所得图象
的函数解析式为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（用替换 ,
而非 替换）（纵坐标不变）,得到函数 的图象,再将得到的图象向左
平移个单位长度,得到［ .
（ 左、右平移时变换的对象是,而非,可先提出 的系数,再加减）
. .
4.（2025广东广州期末）把函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ,纵坐标
不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图象,则
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 已知平移后的函数解析式求平移前的函数解析式,需要逆向变换.
函数的图象向左平移 个单位长度,得到
的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2
倍,得到 的图象.
5.（多选/2024河北沧州泊头市第一中学月考）为了得到函数 的图象,
只需把正弦曲线上所有的点( )
AC
A.先向右平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变
B.先向右平移 个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度
【解析】 正弦曲线先向右平移个单位长度,得到函数 的
图象,再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数
的图象；
正弦曲线先向右平移个单位长度,得到函数 的图象,再将所
有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 的图象；
先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数
的图象,再向右平移个单位长度,得到函数 的
图象;
先将正弦曲线 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数
的图象,再向右平移个单位长度,得到函数 的图象.
坑神有话说
函数的图象变换有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”,由B,D两个选项不难发
现“向右平移 个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变”与“先将横坐标伸长
到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度”所得图象对应的解析式是不同的,做
题时一定要弄清楚变换方式和平移的对象.
题组二 不同名三角函数图象变换
6.（2025广东东莞期末）为了得到函数的图象,只需要把函数 上
所有的点( )
A
A.向右平移个单位,横坐标变为原来的
B.向左平移 个单位,横坐标变为原来的2倍
C.横坐标变为原来的,向左平移 个单位
D.横坐标变为原来的2倍,向左平移 个单位
【解析】 先利用诱导公式将异名化为同名,再确定伸缩和平移的量.
,向右平移个单位长度，得到函数 的图象,再将图象
上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变，可得 的图象.
7.（2024辽宁省实验中学月考）为了得到 的图象只需把函数
的图象( )
C
A.向右平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度
【解析】 平移前后函数名不同,需要利用三角恒等变换化为同名再平移.
因为 ,
又, ,
故把函数的图象向右平移 个单位长度,可得函数
的图象.
题型三 由图象确定函数的解析式
8.（2025山东省实验中学月考）函数
（其中,,）的部分图象如图所示,则
的解析式为( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 由图象的最大值和最小值求,由最小正周期求 ,由特殊点求 .
易知.由图象知函数周期,所以 ,所以 .
又函数图象过点,则,所以 ,解得
,又,所以,所以 .
9.（2025山西省联考期末）已知函数
的部分图象如图所示,
将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 的图象,则
( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 由题图知,最小正周期 , 所
以.又函数图象过点，所以 ,
所以（根据特殊点求 ）,,又 ,解得
,
所以,将函数的图象向右平移 个单位长度得
到函数
的图象.
. .
10.（2025辽宁大连期中）已知函数 的部分图象如
图所示,且,则 , 的值为( )
C
A., B., C., D.,
【解析】 由题意可得,即 ,又 ,所以
,得 ,
所以 .
因为的图象过点 ,
（已知特殊点既非第一关键点,也非最值点,所以可能会有多个答案,注意根据条件取舍答案）
所以,得,所以 ,
所以 ,或 , （此处易遗漏）,
解得 ,或 ,,因为 ,所以 .
. .
. .
11.（2025安徽合肥期末）已知函数 的部
分图象如图所示,则 ___.
3
【解析】 根据图象,由函数的最大值4和最小值0,得
（代数法求解）解得 函数的最小正周
期 （相邻最值点和对称中心的距离为一
个最小正周期）,又,所以 ,故 .
当时,有最大值4,即（由特殊点求 ）,
故,即,又,所以 ,所以
,所以
.
. .
. .
. .
题型四 函数 的图象与性质的综合应用
12.（2025山西晋城一中等校联考期末）将函数 图象上的所有点向右
平移个单位长度,得到函数 的图象,则( )
D
A.是奇函数 B.
C.的图象关于点中心对称 D.的图象关于直线 对称
【解析】 因为将函数图象上的所有点向右平移 个单位长度得到函
数 的图象,
所以 .
方法一:特殊点代入.,,, ；
；
（对称轴过函数图象的最值点）.
方法二:由上述解法知 .
,, ；
；
. .
令 ,,则,,故对称中心不可能为 ；
令 ,,则,,当时, .
13.（2025黑龙江大庆实验中学期末）已知函数 的最小
正周期是 ,将的图象向右平移 个单位长度后得到函数的图象,若 为偶函
数,则正实数 的最小值是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为函数,函数的最小正周期是
且,则 ,解得,所以 ,
将的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象,
则 ,
若为偶函数,则, （由“偶函数”可联想到余弦函数,进而用诱导公
式转化）,
由“偶函数”可联想到余弦函数,进而用诱导公式转化
解得,,可知当时,正实数 取得最小值 .
. .
14.（2025湖南长沙一中开学考试）函数
的部分图象如图所示,则
( )
B
A.
B.图象的一条对称轴方程是
C.图象的对称中心是,
D.函数的单调减区间为,
【解析】 由函数 的图象,知
,
所以 ,解得,即 ,
又,可得 , ,即
, ,
又 ,可得,所以 .
取到最小值,故
图象的一条对称轴方程是 .
令 ,,解得,,所以 图
象的对称中心是, .
令 , ,可得
, ,
则函数的单调减区间为, .
题型五 函数 的实际应用
15.（2025江西九师联盟联考）由于潮汐,某港口一天的海水水位（单位: ）随时
间（单位:,）的变化近似满足关系式 ,若
一天中最高水位为,最低水位为,则该港口一天内水位不小于 的时长为( )
C
A. B. C. D.
该港口一天内水位不小于的时长即时 的区间长度,求出解析式后
解三角不等式即可.
【解析】 由题知解得所以 .
令,即.因为,所以 ,
由正弦函数图象与性质，可知,解得 .
所以该港口一天内水位不小于的时长为 .
16.某地区的一种特产水果最早一批在每年11月上市,上市初期产量较低,因此价格居高且
逐渐上涨,中期产量增大时价格逐渐下跌,后期又由于供应量不足价格上涨,其销售价格
（单位:元/千克）随着月份的变化满足函数 ,
,其中1表示十一月份,2表示十二月份, ）,经调查统计,一月份该水果的平均销售价
格为10元/千克,五月份该水果的平均销售价格为6元/千克.
（1） 求函数 的解析式；
【答案】 由题意可得
解得
所以 .
（2） 若该水果价格小于7元/千克时,果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道,则每年哪
几个月份需要采取外销策略？
【答案】 令,即 ,
则,,解得, .
因为,,则,故 可取6,7,8,
因此每年4月、5月、6月这三个月需要采取外销策略.
能力觉醒
1.（2025河南平顶山期末）将函数的图象向右平移 个单
位长度后得到函数的图象,则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 将的图象向右平移 个单位长度后得到函数
的图象,由题意知
,所以 ,,解得 , .
因为 ,所以 .
已知平移后的函数解析式,可逆向变换.
将的图象向左平移 个单位长度后得到函数
的图象,由题意知 ,所以
,.因为 ,所以 .
2.（2025湖南娄底期末）已知函数
的部分图象如图所
示,且,为函数图象上相邻的最高点和最低点,且 ,将
的图象向右平移个单位长度,得到函数 的图象,
则 在下列区间一定单调递增的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由图象知,又
（勾股定理）,
所以,,,又 ,代入得
,所以 ,,又，所以 .
故, ,
令 ,
即,当 时,D符合题意.
. .
3.（2025重庆一中适应性考试）将函数的图象向右平移 个单
位长度后得到函数的图象,若对满足的,,有 ,
则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为,所以 .
由,可知和 分别为两个函数的最大值和最小值（或最小值
和最大值）,
不妨设,,, ,
则 ,,,又,,所以 ,
解得 .
4.（2025河南三门峡检测）已知函数
的部分图象如图所
示,将的图象向左平移个单位长度后得到函数 的图象,
若在区间上的值域为,则 的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 先由图象求出函数,再由平移变换得函数 ,结
合整体法求值域,从而求 的取值范围.
设的最小正周期为,由图象可知 ,
,
所以 ,则,故,又 的图象过点
,所以 ,,所以 , ,又 ,所以
,
则 .
则 .
当时, ,
当或,即或时, ,
当,即时, ,
所以的取值范围为 .
5.（多选/2025辽宁沈阳期中）已知函数
,若函数
的部分图象如图所示,函数
,则下列结论中正确的是( )
BC
A.将函数的图象向左平移 个单位长度可得
到函数 的图象
B.函数的图象关于点 对称
C.函数在区间上的最大值为
D.若函数为偶函数,则 的最小值为
【解析】 因为
（由可得）所以 ,所以
.
又,所以 （舍去）或
（ ）.
因为 ,所以,所以, .
将函数的图象向左平移 个单位长度得到函数
的图象, ；
. .
. .
. .
令 ,,解得, ,所以
的图象关于点, 对称,当 时,对
称点为 .
当 时,
,所以函数 的
图象关于点 对称；
当时, ,则
,
所以函数,所以在区间 上的最大
值为 ；
若函数 为偶函数,
即 为偶函数,
则 ,,解得, ,又
,所以当时, 有最小值,为 .
6.（2025四川南充期末）若函数
的部分图象如
图所示,将的图象向右平移 个单位长度,再将所得图象
上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得到
函数的图象,若在上恰有3个零点,则 的取值
范围为_______.
【解析】 记的最小正周期为,由题图可得 ,
,所以 ,
,,得,,又 ,
所以 ,
所以 .
将的图象向右平移 个单位长度后得到
的图象,再将 的图象上所有点的横坐标缩
短为原来的倍,纵坐标不变，得到 的图象,
故 .
当时,.因为在 上
恰有3个零点,所以 ,解得 ,故
的取值范围为 .
7.（2025江西南昌摸底）如图所示,将函数 的图象向右平移得到
的图象,其中和分别是 图象上相邻的最高点和
最低点,点,分别是,图象的一个对称中心,若,,则 的
解析式为_ ___________________.
【解析】 将函数 的
图象向右平移 个单位长度得
的图象,由
于,分别是, 图象的一个对称中心,
结合图象可知 .
,故,由于,所以 ,
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
进而可得,故,解得, ,
故 .
. .
8.（15分）（2025浙江金华期中）函数 在一个周期内的图
象如图所示,为图象的最高点,,为图象与轴的交点,且 为等边三角形.先将函数
的图象上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,再将所得图象向右平移 个单
位长度,得到函数 的图象.
（1） 求函数 的解析式；
【答案】 由题意得点的纵坐标为,又 为等边三角
形,所以的边长为2,所以,解得 ,所以
,（3分）
将函数的图象上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不
变,得到 的图象,
再将所得图象向右平移个单位长度,得到 的图
象,即 .（6分）
（2） 若不等式对任意的恒成立,求实数 的取值
范围.
【答案】 ,所以
对任意
恒成立,
则原不等式等价于对任意 恒成
立.（8分）
令,则,在 上恒成
立,
设,(问题转化为求的最小值,注意对 进行分类讨论)
当时, 成立；（10分）
当时，其图象的对称轴为直线 ,
当时,,解得,此时 ；（12分）
. .
当时,,解得,此时 .（14分）
综上,实数的取值范围为 .（15分）