5.7 三角函数的应用（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共38张PPT)
第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
题型觉醒
高频题型：题型三
题型一 三角函数模型在物理中的应用
1.（2025天津名校联考）我们来看一个简谐运动的实验：如图1,将塑料瓶底部扎一个小
孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间
画一条直线作为坐标系的横轴,把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速
拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象,它表示了漏斗对平衡
位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况,如图2所示,已知一根长为 的
线一端固定,另一端悬挂一个漏斗,漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位： ）与时
间（单位：）的函数关系是,,其中, .则
估计线的长度（精确到 ）应当是( C )
图1
图2
A. B. C. D.
【解析】 由图象可知,函数（相当于三角函数中的 ）的最
小正周期为,所以, .
图1
图2
. .
2.（2025陕西榆林诊断）交流电的瞬时值随时间周期性变化,正、负
号表示电流方向.电流强度（单位：安）随时间 （单位：秒）变化
的函数 的图象如图所示,
则当 时,电流强度是( )
D
A.安 B.5安 C.安 D. 安
【解析】 通过函数的图象求出,,利用周期公式求出 ,将点
代入表达式,即可求出 的值,得到函数解析式,代入 ,
即可求出电流强度.
由图象得,电流的最大值和最小值分别为10安和安,可得 .
最小正周期，得 ,
再将点代入,得 ,
所以 , , .
因为,所以,所以 .
将代入，得 （安）.
3.（2025湖南益阳期末）如图,弹簧挂着的小
球做上下运动.若以小球的平衡位置为原点,运
动路径所在的直线为 轴建立如图所示的平面
直角坐标系,将小球视为点 ,则小球的运动
可视为点在之间的上下运动.它在 时相
对于平衡位置点的高度
在点下方时,（单位: ）由关系
（1） 求关于的解析式；每8秒钟点 能往复运动多少次
【答案】 易知,又,所以 ,所以
.因为,所以每8秒钟点 往复运动2次.
式确定.若点在开始运动（即 ）时的位置位于平
衡位置上方 处.
（2） 在图中画出关于 的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.
【答案】 取值列表（ 本题中用“五点法”作图,第一个点为 所对应的点,此
时;最后一个点所对应的值是时, 的最小正数解（若误认为最后一个点是
时所对应的点,则画出的不是一个完整周期））如下.
0 4
2 0 0
图象如图所示:
（3） 当点开始运动时,轴的负半轴上 点
处连续发出一束光经过的中点,在时点
恰好被这束光第3次照到,求 的值.
【答案】 点 恰好被这束光第三次照到的时
间即为与 的图象的第三个交点的
横坐标.
由,得 ,
则 或,得 或
，
将方程的正根从小到大排列得:1,, 5, ,所以 .
题型二 已知模型的应用
4.（2025湖南永州检测）健康成年人的收缩压和舒张压一般为 和
,心脏跳动时,血压在增加或减小,血压的最大值和最小值分别为收缩压和
舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数为 时为标准值.设某成年
人的血压满足函数解析式,其中为血压（单位：）,
为时间（单位： ）.给出以下结论：
①此人的血压在血压计上的读数为 ；
②此人的血压在健康的血压值范围内；
③此人的血压已超过标准值；
④此人的心跳为80次/分.
其中正确结论的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 根据所给函数解析式及正弦函数的有界性求出 的取值范围,即可得到此人
的血压在血压计上的读数,从而判断 ,再计算出最小正周期,即可判断④.
因为某成年人的血压满足函数解析式,又 ,
所以,即 ,即此人的血压在血压计上的读数
为 ,故①正确；
因为收缩压为,舒张压为 ,均超过健康的血压值范围,所以此人的血压
不在健康的血压值范围内,故②错误,③正确；
对于函数,其最小正周期,则此人的心跳为
次/分,故④正确.
5.（2025陕西榆林第一中学期末）已知某地区某天的温度（单位:）随时间（单位: ）
的变化近似满足函数关系, ,且这天的最大温
差为,则___；若温度不低于需要开空调降温,则这天需要降温的时长为___ .
4
6
【解析】 对,其最小正周期 ,
故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差,又 ,故
,解得 .
令,(求需要降温的时长，即求时, 的区间长度)即
,,由 ,
得 ,
所以或 ,解得 ,
则一天中需要降温的时长为 .
. .
6.（2025江西省多校联考）蚊子是多种疾病的传播媒介,对人畜都有较大的危害.某热带
养殖场为检测蚊虫密度,在养殖区悬挂多盏诱蚊灯,去年每月收集28天,连续检测了12个月,
其中5月份蚊虫最多,11月份最少,由于工作人员不小心,某些月份数据丢失,保留的月份
及每月对应的蚊虫密度值 的数据如下表：
2 5 8 11
42 82 42 2
（1） 从,且, ,
,且 中选择一个合适的函数模型,并给出理由；
【答案】 用特殊值代入来判断最合适的模型.
适合.当与时, ,而
,且与,且 均为单调函数,所以
适合.
（2） 在（1）的基础上,求出蚊虫密度关于月份 的拟合模型的解析式；
【答案】 由5月份蚊虫最多,11月份最少,得 ,（相邻最值点之间的距离为
半个最小正周期）所以最小正周期 ,
得,由,,得, .
所以,将代入得,所以 ,
,
即,,又 ,所以 ,
故 .
. .
（3） 今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾,养殖场计划当蚊虫密度不低于62时,
将采取灭蚊措施.若此养殖场今年的蚊虫密度符合（2）中的函数模型,估计养殖场应准备
在哪几个月采取灭蚊措施？
【答案】 蚊虫密度不低于62,即 ,解三角不等式即可.
令,得 ,
即,,得, ,
又,,故 ,4,5,6,7,
即养殖场应准备在3月,4月,5月,6月,7月采取灭蚊措施.
题型三 建立模型解决实际问题
7.（2025河南南阳期末）记某时钟的中心点为,分针针尖对应的端点为 .已知分针长
,且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动.若以中心点 为原点,3点
和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系,则点到轴的距离
（单位：）与时间（单位： ）的函数解析式为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由题意建立平面直角坐标系,如图所示.
分针旋转一周需,即,故,当时, 最大,符合余弦函数图象的
特征,
所以点到轴的距离与时间的函数解析式可设为 ,（距离恒大于或
等于0）
当时,点在钟表的12点处,此时,所以,即 ,所
以可以取,则 .
. .
8.（2025江苏苏州吴中区月考）大招34近年来,淮安市依托地方资源优势,
用风能等清洁能源替代传统能源,实施新能源项目,在带来了较好经济效益
的同时,也助力了本地农户增收致富.目前利用风能发电的主要手段是风车
发电.如图,风车由一座塔和三个叶片组成,每两个叶片之间的夹角均为
, 现有一座风车,塔高90米,叶片长40米,叶片按照逆时针方向匀速转动,
4
并且每6秒旋转一圈,风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点（此时点 离地
面50米）.设点转动（单位：秒）后到地面的距离为（单位：米）,则关于 的函数关
系式为________________________；叶片旋转一圈过程中点 离地面的高度不低于70米
的时长为___秒.
【解析】 设出函数模型求参数.
因为风车叶片的一个端点 做匀速圆周运动,所以可设
.
由题意可得, ,所以
,, 解得,,最小正周期 ,则
,所以.当时, ,解
得,（ 是初相,即时的相位,所以令求 ）
则 ,,可取 ,所以
.
由题意知,塔高即风车中心距地面的高度 米,叶片长即风车半径
米,风车转动一圈为6秒,则,所以角速度 .
. .
. .
如图,以风车中心为坐标原点,以与地面平行的直线为 轴,建立
平面直角坐标系 .
设时,某叶片的一个端点在风车的最低点 处,不妨取以
为始边,为终边的角,那么经过 秒后,运动到点
,此时以为始边,为终边的角为 ,
由三角函数定义知, ,
则,所以 .
令,则 ,
所以,,解得, .
当时,,所以叶片旋转一圈过程中点 离地面的高度不低于70米的时长为4秒.
能力觉醒
1.（2025甘肃定西开学考试）某兴趣小组以某闰年春分为起始时间（已知春分时太阳直
射点在赤道上）,测量了一整年内太阳直射点纬度,并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直
射点的变化.已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬 ,用代表天数, 代表太
阳直射点纬度,太阳直射北半球时取正值,直射南半球时取负值,则该年太阳直射点的变化
近似满足下列哪个函数( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 设，又 ，（ 隐藏条件,闰年地球绕太阳转一圈的
周期是366天,而非365天）则 ，
因为太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬 ，且太阳直射北半球时取正值，直
射南半球时取负值，所以 ，
则近似满足函数 .
. .
2.（2025陕西韩城期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.由物理
学知识可知,某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移（单位： ）
和时间（单位：）的函数关系为 ,如图.若该阻尼器在
摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为,,,且 ,
,则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 的总时间为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由,,得, ,
所以,,则 .
令,得, ,
.（ 切勿乘2,因为所求的是位移大于
的时间而不是距离大于的时间,无须考虑 时的情况）
解得 , ,
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 的总时间
为:
. .
3.（多选/2025四川乐山期中）科学研究已经证实,人的智力、情绪和体力分别以33天、
28天和23天为周期,均可按进行变化.记智力曲线为,情绪曲线为 ,体
力曲线为 ,则( )
ACD
A.第35天时,情绪曲线 处于最高点
B.第322天时,情绪曲线与体力曲线 都处于上升期
C.第46天到第50天时,体力曲线 处于上升期
D.情绪曲线与体力曲线都关于点 对称
【解析】 设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线的解析式分别为 ,
,,所以,, .
第35天时,,故情绪曲线 处于最高点；
因为,此时情绪曲线位于第12个周期的周期处,所以情绪曲线
处于下降期.因为,此时体力曲线 刚好位于第15个周期的起点处,所以体力
曲线 处于上升期；
因为,所以,因为 ,所以根据正弦函数的性质可得,
此时单调递增,所以体力曲线 处于上升期；
因为, ,
所以情绪曲线与体力曲线都关于点 对称.
4.（2025山东滕州一中学月考）大招84是轮子（半径为 ）外
边沿上的一点,若轮子从图中位置恰为轮子和地面的切点 向左匀
速无滑动滚动,当滚动的水平距离为时,点 距离地面的
高度为,若, 0,则 的最小
值为__.
将水平距离与角度关联,建立三角函数模型表示出 ,通过解三角方程找到
满足条件的 值,并求最小间隔.
【解析】 由题意可知,轮子的半径为 ,则轮子滚动一周的
水平距离为 ,
如图所示,设轮子水平滚动后,点到了点的位置,即 ,所
以 ,
过点作垂直地面,过点作 ,
则 ,
所以 .
由,可得,所以 ,
,解得, ,
令,,,,所以 ,
,,且 ,
所以当时,可得取最小值，为 .
5.（13分）（2025云南昭通一中开学考试）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海
滨区域的海浪高度（单位：米）随着时间,单位：时 而呈期性变化.每天各
时刻 的海浪高度数据的平均值如下表.
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
（1） 在图中描出所给点；
【答案】 由题表中数据描点,如图所示.
（2分）
（2） 观察图,从, ,
中选择一个合适的函数模型,并求出该
模型的解析式；
【答案】 由所描点可知,应选择 .
令,, .
由题意知,最大值为,最小值为,最小正周期, 则, ,
,（4分）
所以,将代入,可得 ,
所以,则 ,,又 ,则 ,
所以该模型的解析式为 . （7分）
（3） 如果规定在一天内的7时至19时之间,当海浪高度不
低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
【答案】 令,得 ,由正弦
函数图象及性质,得 , ,
解得, .（9分）
当时,,又,所以 ；
当时,,又,所以 ；
当时,,又,所以 .
综上所述,或或 .
由题意可知,应在11时至19时之间训练.（13分）
6.（2025广东佛山阶段练习节选）已知甲、乙两车间的污水
瞬时排放量（单位:）关于时间（单位: ）的关系均
近似地满足函数
.其图象如图
所示:
（1） 根据图象求函数解析式；
【答案】 由图可得, .
最小正周期, ,
将代入,得,, ,
又 ,, ,
所求函数的解析式为 .
（2） 若甲车间先投产, 后乙车间再投产,求两车间都投产时的最
大污水排放量.
【答案】 设乙车间投产甲、乙两车间污水排放量之和为 ,
此时甲车间污水排放量为 ,乙车间污水排放量为
,
故
（利用两角和的余弦公式展开）
, （辅助角公式）
, .
故两车间都投产时的最大污水排放量为 .
. .
. .