第五章 三角函数（专项解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共52张PPT)
第五章 三角函数
专项觉醒1 三角平方差公式的应用
1.（2025江西南昌期中）化简 的结果是
( )
C
A. B. C. D.
【解析】 利用三角平方差公式得原式（正弦平方差公式）
（（余正弦平方差公式）（
（二倍角公式）） .
按和差角公式展开:原式 （二倍角公式）.
将, 看成两个角,待求式具有两角差余弦公式右边的特征,逆用公式即可.
原式 .
. .
. .
. .
. .
2.若的三个内角,,满足,则 是( )
A
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形
【解析】 利用二倍角公式将已知等式化为
,
所以（正弦平方差公式）,所以 ,所
以( ),
则.又 ,所以,所以 是直角三角形.
. .
. .
坑神有话说
在解三角形问题中,通常给出边之间的关系,利用正弦定理转化为角之间的关系,再利用三
角恒等变换解决问题.
3.（多选/2025湖北孝感检测）已知函数, ,则下列结论中
正确的是( )
ABC
A.的最小正周期为 B.函数的图象关于直线 对称
C.函数在区间上有最大值 D.函数在区间 上单调递增
【解析】 利用正弦平方差公式得
.
的最小正周期 ；
时,,所以直线是 的图象的一条对称轴；
时,,令,解得,所以 在
上单调递减且,在 上单调递增,
所以时,取得最大值,为 .
4. 若,则 _____.
已知和待求恰好符合余弦平方差的等式特征,注意角是否一一对应.
【解析】 ,则
.
5.求值: __.
【解析】 原式
（解题关键:凑角使用平方差公式）
.
原式
（积化和差公式）
（二倍角的
升幂公式） .
. .
. .
. .
6.已知,,则 _______.
题目出现 ,恰好是正（余）弦平方差的等式右边的形式.
【解析】 由正弦平方差公式得 ,所以
,所以 （二倍角公式） .
因为,所以（同角三角函数基本关系） .
. .
. .
第五章 三角函数
专项觉醒2 换元思想的应用
题型一 单一三角函数的换元
1.（2024浙江省强基联盟联考）已知函数, 的值域为
,则实数 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
利用二倍角公式化函数解析式为关于 的二次函数形式,利用二次函数的最
值和正弦函数的性质求解.
【解析】 因为 ,所以
.
令,（换元后,注意新元的取值范围）, ,
易知,, .
由题意知,当时,,其中,此时的值域不是 ；
当时,,其中,此时的值域是 ；
当时,,其中,此时的值域不是 .
综上, .
. .
2.（多选/2025海南海口期末）已知函数 ,有下列四个结论,其中正
确的结论为( )
CD
A.在区间上单调递增 B. 是 的一个周期
C.当时,的值域为 D.的图象关于 轴对称
【解析】 因为是上的偶函数,所以 .
当时, .
设,则,则,在 上单
调递减,
又在上单调递增,所以在 上单调递减（复合函数的单调性:同增
异减）.
,所以 不是
的一个周期.
当时, .
设,则,则 .
因为,所以 .
的定义域为,因为 ,
所以为偶函数,图象关于 轴对称.
. .
3.（2025辽宁沈阳二中期中）设,是非零实数,且满足,则 _____.
【解析】 由题意可得, ,（左边与两角差的正切公式类似,考虑向其方向
构造）令 ,则,即 ,
所以,,即,,故 .
. .
题型二 与 的相互代换
4.（2025河南商丘联考）函数 的值域为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 （发现解析式中
既有,又有,考虑换元），令, ,则
,所以原函数转化为,,所以 的值域为
.
. .
因为
,
且 ,
所以 ,
令,则 ,
所以原函数转化为, ,
当时, ,
当时, ,
即函数的值域为 .
5.（2024江苏镇江扬中市第二高级中学开学考试）已知 ,
则 的最小值为( )
B
A. B.1 C. D.
解析式中既有 ,又有 ,考虑换元,即令 ,
利用平方关系得 ,再化简函数解析式求解.
【解析】 令,则,故 ,
所以,则 ,
所以原函数转化为,且 ,
所以,当且仅当 时
等号成立,则在给定区间内等号不成立,
由对勾函数性质可知在 上单调递增,
所以在上单调递增,则的最小值为 .
坑神有话说
的换元模型:
（1）令,则 ,
；
（2）令,则 ,
.
6. （2024山西大学附中月考）意大利著名画家达·芬奇在创作《抱银鼠的女
子》（如图1）时思考过这样一个问题：固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,
那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题,连接重庆和湖南的悬索桥—
—矮寨大桥（如图2）就采用了这种方式设计.经过计算,悬链线的函数方程为
,并称其为双曲余弦函数.若 对
任意恒成立,则实数 的取值范围为__________.
图1
图2
【解析】 因为的定义域为,且 ,所以函数
是偶函数.
设,是上任意两个实数,且,即 ,
则 ,
因为,所以, ,
因此 ,
即,则 ,
所以函数是偶函数,且在 上单调递增.
又 ,所以
,
若在 上恒成立,
则在 上恒成立,
又, ,所以
在 上恒成立.
令, （利用【大招81】换元）,则
,所以 ,
令,,可知时, ,
令,,可知时, ,
所以实数的取值范围为 .
. .
题型三 三角代换在代数式中的应用
7.（2025广东联考）函数 的最大值是( )
B
A. B. C. D.4
【解析】 由,解得,故的定义域为 .
设 , （根据三角函数的有界性将问题转化为三角函数的最值求
解）,
则,其中 ,
, ,
又, ,
当,即, 时,
取得最大值,为,即函数的最大值是 .
. .
8.已知,则 的最小值为_ __.
求代数式 的最值,可用三角代换将问题转化为三角函数的最值问题,从而
利用三角函数的有界性求最值.
【解析】 设,则 ,（【大招81】三角代换）
因为,所以 ,
可得 ,
即 ,
所以,当且仅当, 时,等号成
立,所以的最小值为 .
. .
9.已知,,,则 的取值范围是__________________________.
【解析】 题干中出现,可考虑利用三角代换设 ,
,从而将代数问题转化为三角函数问题,结合三角恒等变换及三角函数的性质
求解.
由题意,可设 , , ,
又 ,
所以, ,
又（注意隐含条件）,所以,所以 ,
以的取值范围为 .
. .
坑神小课堂
对于三角换元来说,换元的过程好掌握,但是真正的易错点和难点是角 的取值范围,每一
次换元都必须明确 的取值范围,而 的取值范围并不是随意确定的,而是由 的取值范
围决定,如果 的取值范围弄错,那么后面三角函数值的范围也就错了.
10.函数 的值域为___________.
【解析】 ,所以函数的定义域为 .
令 , ,所以
,
所以可令 ,,则 ,所以
.
因为,所以,所以 ,
所以,所以函数的值域为 .
.
因为,所以,所以 ,
所以,所以函数的值域为 .
坑神有话说
结合【大招81】典例2的【坑神传妙招】可知,由得, ,则令
, ,与【大招解2】由“
”得出“ ”一致.<>
题型四 非特殊角的给角求值的换元
11.（2025江苏南通期中） ___.
1
【解析】 原式 （切化弦,通分）
（逆用两角差的余弦公式）
.
令,即 .
,
即 .
. .
. .
. .
12.（2025福建厦门一中期中） ____.
【解析】 令 ,即
（其中 ,
）,则必须满足条件 , .
.
故 .
第五章 三角函数
专项觉醒3 的求解
题型一 根据等量关系求
1.（全国Ⅱ卷）设函数,将的图象向右平移 个单位长度后,
所得的图象与原图象重合,则 的最小值为( )
C
A. B.3 C.6 D.9
【解析】 由题可知(的图象平移 个单位长度后和原来的图象重合，
则平移的距离是周期的整数倍) ，解得,又,令,即得 .
. .
2.（2025山西卓越联盟质检）已知函数,若 ,
恒成立,则 的最小值是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
由题意可得出函数的零点（对称中心）和对称轴,由大招知,任意对称轴与对称
中心的距离为， .
【解析】 由题意知直线为图象的一条对称轴,为 的零点,
,,又,得 ,
所以当时, 的最小值为2.
考虑临界条件,当对称轴和零点距离最近时,最小正周期最大, 最小,故函数最小正
周期的最大值为 .所以 的最小值为 .
题型二 根据不等式关系（范围）求
3.已知函数的图象在 内有且仅有三条
对称轴,则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】
,
当时,令 ,则
,作出 的图象如图所
示.
由图象可知,要使函数的图象在 内
有且仅有三条对称轴,即在 内有且仅有三条对称轴，则有
,（两个临界点是，）解得 .
. .
4.（2025山东德州检测）已知,函数在上单调递增,则 的
取值范围是( )
A
A. B. C. D.
函数在上单调递增,临界状态为 刚好是函数的一
个单调递增区间,则区间长度为（函数的最小正周期为 ）.
【解析】 因为,函数在 上单调递增,
则函数的周期满足,即 ,可得 ,可得 .
令 ,,解得, .
因为函数在上单调递增,则满足, ,
可得且 ,,解得, ,
又因为,当时,可得 ,
所以实数 的取值范围是 .
5.（2025福建福州期末）已知函数的图象与 轴交
点的纵坐标为,且在区间上无最大值,则 的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 题目关键字眼为“最大值”,先求出过函数图象最高点的对称轴方程,若 在区
间上有最大值,则对称轴方程所对应的 值必在此区间内.
由条件得,又,得,所以 .由
,解得, .
若在区间上存在最大值,则 ,（“正难则反”思想的应用）解得
.
因为,所以 .
当时, ,
当时,,所以若在上无最大值, 的取值范围为
.
. .
6.（2025福建福州一中模块考试）已知函数在区间 内
没有零点,则 的取值范围是____________.
【解析】 先利用三角函数的性质,用 表示出 的零点,再结合题目条件求解.
令 ,,得, ,
由题意可知, ,且,即.（在 内没有零点,则此区间长
度必不大于半个周期）
方法一:由在区间内没有零点,得 或 （
等号能取到）,即 或 ， .
当时,解得或 ;
. .
. .
当时,解得或 ;
当时,解得或 .
又,故 的取值范围是 .
方法二:若,得 .
因为函数在区间内没有零点,即在区间 内不存在整数,
所以或 ,
即解得或解得 ,
所以 的取值范围是 .
7.已知函数的图象在 上恰有一条对称轴和一个对称
中心,则实数 的取值范围为_ __________________.
,
则,（ 等号是否能取到）解得 ；
【解析】 .
的大小未知,要分,或 三种情况讨论.
当时, 为常数函数,不符合题意；
当,时,,要使的图象在 上恰有一条对称轴和
一个对称中心,
. .
当,时,,要使的图象在 上恰有一条对称轴和
一个对称中心,
则,（ 等号是否能取到）解得 .
综上所述, .
. .
题型三 综合等量关系和不等关系求
8.（2025广东佛山期末）已知函数,若 为偶函数,且
在区间内单调,则 的最大值为( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】 因为函数为偶函数,所以 ,
,(【大招69】要使为偶函数，需要化成 ，三角函数变
名，则的值为的奇数倍，即)则, .
因为在区间内单调,所以 （单调区间和周期建立联系,即单调区
间的长度小于或等于半个最小正周期）,即,解得 ,
又,,所以 的最大值为4,
当时,在内单调递增,满足题意,故 的最大值为4.
. .
. .
. .
9.（2025山东聊城一中月考）函数,已知 ,
且对于任意的都有,若在上单调,则 的最
大值为___.
5
【解析】 根据已知条件,利用和建立起关于 的
等量关系,然后根据在上单调,求出 的范围,在前面的等量关系中选取合适
的值即可.
因为函数, ,
所以 ,
所以或 ,
所以,解得 .①
因为对于任意的都有,所以的图象关于点
对称,（函数值的关系与对称性建立联系）
所以,解得 .②
由①②可得,即 ,
（建立等量关系）
令,所以 .
因为在上单调,所以 ,（相邻两最值点之间的距离为半个
最小正周期,所以单调区间的长度一定小于或等于半个最小正周期,从而将单调区间与周
期建立联系）
所以,又,（ 只能是奇数）
. .
. .
. .
. .
. .
当时,代入②可得,又,所以 ,所以
,当时,,则函数在 上不单调,舍
去；
当时,代入②可得,舍去；（因为 ）
当时,代入②可得,又,所以 ,所以
,当时,,则函数在 上不单调,舍去；
当时,代入②可得,又,所以 ,所以
,当时,,则函数在 上单调递减，
同时满足 .
综上所述, 的最大值为5.
. .