第五章 三角函数-觉醒小卷-数学人教A版必修第一册

(共47张PPT)
第五章 三角函数
觉醒小卷
限时：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的．
1.与 角终边相同的角是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为,所以 角与 角终边相同.
2.（2025山东枣庄期末）若函数是定义在 上的奇函数,则下列函数一定为偶函数的
是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 令,则,故 ,即
是奇函数；
令,则,故 是偶
函数;
令,则,显然当时, 不是偶函
数；
令,则,故 ,
即 是奇函数.
3.（2025湖北省联考）纸折扇是我国古代传统的工艺制品,
以细长的竹片制成众多的扇骨,然后将扇骨叠起,其下端头部
以钉铰固定,其余则展开为扇形,上裱糊以纸,作扇面,并在扇
面上题诗作画.如图所示,已知折扇两端的扇骨长均为
且夹角为 ,扇面（裱糊以纸的部分）上、下的弧长与
之比为 ,则扇面的面积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 大扇形半径为18,则小扇形半径为6, ,
所以上弧长 ,下弧长 （弧长公式 上）,
所以扇环也即扇面的面积为 （扇形面积公式: ）.
. .
. .
4.（2025江苏苏州联考）已知锐角 , 满足,则 的最大值
是( )
A
A. B.2 C. D.
【解析】 因为锐角 , 满足,所以, ,从而
（利用同角三角函数基本关系和诱
导公式进行转化） ,
故当,即时,原式取得最大值 .
. .
5.（2025黑龙江哈尔滨期中）已知函数
的部分图象如图所示,若函数
的图象关于原点对称,则 的最小值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 先求得 , ,然后根据的奇偶性列方程,求得 ,
进而求得 的最小值.
由图可知,则,而,所以 ,
则 ,由图可知 ,则
,解得 ,(由题图可知 是五点中的第三个点)
故,则 .
因为的图象关于原点对称,所以 为奇函数,
. .
则 （见【大招71】）,即,,故 的最小
值为 .
. .
6.（2025天津南开中学质检）已知函数
的最大值为2,其部分图象
如图所示,则下列说法正确的个数为( )
B
① ；
②函数 为奇函数；
③若函数在区间上至少有4个零点,则 ；
④在区间 上单调递增.
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】 ①由题意可知,且当 时，
,解得 ,则
（辅助角公式）,
又因为,即 ,
结合图象可知 ,,解得, ,
且,,则,解得 ,
所以,,可知, ；
为奇函数；
. .
由,得 ,
由题意可得 ,解得 ；
④由,得 ,
且在内不单调,所以在区间 上不单调.
所以正确的个数为3.
7.（2025北京师范大学附属实验中学月考）若函数在
内恰好存在4个,使得,则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 令,则 或 , ,
即 或 ,,故可取,,,, ,….
因为,则,要使在内恰好存在4个,使得 ,则
,解得 .
8.（2025东北师范大学附属中学月考）已知函数 在
区间上单调递减,且,将函数 的图象上各点的横坐标伸
长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若函数在区间 上单
调递增,则 的最大值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 （由图象可得,递减区间长度必定小于或等于半个最小正周期长
度）,.又, .
直线是函数图象的一条对称轴.同理得 是函数图象的一个对称中心.
,
和是同一周期内相邻的对称中心和对称轴方程,得 .
（相邻的对称中心和对称轴之间的距离为最小正周期的,即 ）
,, .
. .
. .
,令,,解得 ,
,在 上单调递增,
故的最大值为 .
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多
项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分．
9.（2025安徽淮南二中月考）下列结论中正确的是( )
ABD
A.终边经过点的角的集合是 , }
B.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是
C.若 是第三象限角,则 是第二象限角
D.若 ,, ,},则
【解析】 当时,角终边为射线 ,该角的集合为
,}；当时,角终边为射线 ,该角的集合为
,},所以所求角的集合为 , }.
将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 .
取,满足 是第三象限角,而 是第四象限角.
几何法.
如图把各个象限二等分,然后从 轴非负半轴起,按逆时针方向,依
次将各区域标上一、二、三、四、…,由 是第三象限角易知
是第二或第四象限角.
,, ,
},
是整数,是整数,而是奇数,因此 .
10.（2025河南郑州金水区月考）下列选项正确的是( )
ACD
A.,,则
B.中,“”是“ 是钝角三角形”的充要条件
C.函数图象的对称中心是
D.若,则
【解析】 （辅助角公式）,且
,所以,所以,则 ;
在中,若,则为钝角,所以是钝角三角形,而 是钝角三角
形,角,,中任意一个均可能为钝角,所以“”是“ 是钝角三角形”的充分不
必要条件；
令,( 正切函数图象的对称中心是,而非, ) ,
解得, .
因为,所以
( ,从而利用角之间的关系向已知角转化)
. .
. .
11.（2025四川广元期末）若函数的零点为 ,函数
的零点为 ,则( )
BCD
A. B.
C. D.
【解析】 数形结合,将函数零点转化为图象交点求解.
分别令,得, ,
所以函数的零点等价于与在 上的图象交点的横坐标,
函数的零点等价于与在 上的图象交点的横坐标,
其中, ,
作出函数,和在 上的
图象,如图所示.
因为函数与在 上的
图象关于直线对称,在 上单调递减,
所以,, ,
所以 .
由图象可知,,故 .
由C知,,且,,所以 ,即
,故 ,D正确.
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．
12.（2025山东烟台期末）函数 的定义域为
_ _______________________________.
,}
【解析】 由题意,,所以, ,
所以, ,
所以函数的定义域为, }.
13.化简 ___.
2
【解析】 运用降幂公式将 化成,整理后再用诱导公式将 化成
,化简即得.
.
14.（2025湖北武汉期中）在锐角三角形中,三个内角,,的对边分别为,, ,且
,则 的最小值为___.
8
【解析】 已知条件和角,有关,所以利用三角形的内角和将角化成角, .
,
（,, ）
,
（对任意的非直角三
角形,有 ,此等式可熟记）,（等式右边是
与的和与积,已知条件有和与积的关系,所以可换元,使与 的和与积都
. .
. .
用同一个字母表示）令,则, 则
,
则 ,
当且仅当,即 时,等号成立,
所以 的最小值是8.
. .
四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
15.（13分）（2025江苏南京金陵中学月考）已知,, ,
.
（1） 求 的值；
【答案】 因为,又 ,
（分母展开,分子用二倍角公式,然后分子分母同时除以 ）
所以 .（4分）
. .
（2） 求 的值；
【答案】 因为, ,
所以, ,（5分）
所以 .（7分）
（3） 求 的值.
【答案】 因为,,所以 ,（9分）
又,所以,又 （拆角）,
所以 .（13分）
. .
16.（ 分）（2025江苏常州高级中学月考）已知函数
（其中, ）的最小正周期为
.
（1） 求 的单调增区间；
【答案】 因为 ,
由于（余弦的和差角公式） .
利用二倍角公式降幂可得 ,
所以 ,
所以最小正周期 ，解得,得 .（4分）
令 ，得 ,
所以的单调增区间为 .（6分）
（2） 若关于的方程在上有解,求实数 的取值范围.
【答案】 由题得,因为 ,所以
,
所以 ,
( 由结合两角和的正弦公式即可求得 的值)（9分）
当，即时取最小值 ；
当，即时取最大值 .（13分）
所以,所以实数的取值范围为 .
（15分）
. .
17.（15分）（2025广东珠海期中）我国核电在建规模占全
球核电在建规模的 以上,是全球核电建设最活跃的国家.
核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施,为
此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范,连接技
术全面采用高强钢筋替代 及以下钢筋.某项
目课题组针对 高强钢筋的现场加工难题,对螺纹滚道
几何成形机理进行了深入研究,研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度
（单位：）关于滚道径向方位角（单位：）的函数 近似地满足
,其图象的一部分如图所示.
（1） 求函数 的解析式；
【答案】 由图可知,解得 由
，得 ,
所以,（利用周期求 ）
又函数图象过点 ,
所以（利用特殊点求 ）,即 ,（4分）
所以 ,,得 , ,
. .
. .
又 ,所以 ,所以 .（7分）
（2） 为制造一批特殊钢筋混凝土,现需一批滚道径向残留
高度不低于且不高于 的钢筋,若这批钢筋
由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作,求这种 型螺纹丝杠旋铣
能制作出符合要求的钢筋的比例.
【答案】 由题意得 ,则
,
即 ,（9分）
令,画出 的图象如图所示,
由图象可知, , ,即
, ,解得
, ,（13分）
所以当时,,所以这种 型螺纹丝
杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为 .（15分）
18.（ 分）（2025安徽亳州期末）已知函数
,满足____.
在：①函数的图象与轴的一个交点坐标为；②函数 图象的相邻两条对称
轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为 这三个条件中任选两个,
补充在上面横线上,并解答下列问题.
（1） 求 的解析式；
【答案】 若选 ,
函数的图象与轴的一个交点坐标为,所以,所以 ,
所以,因为,所以.（特殊点求 ）（3分）
因为函数图象的相邻两条对称轴的距离为 ,（半个周期）
所以最小正周期 .
所以,周期求 （6分）
所以函数的解析式为 .（7分）
若选 ,
函数的图象与轴的一个交点坐标为,所以,所以 ,
. .
所以,因为,所以.（特殊点求 ）（3分）
因为函数图象的一个最低点的坐标为 ,
所以,所以 ,
所以,即.因为,所以 .
（特殊点求 ）（6分）
所以函数的解析式为 .（7分）
若选 ,
因为函数图象的相邻两条对称轴的距离为,所以 ,
所以,周期求 （3分）
因为函数图象的一个最低点的坐标为,所以 ,所以
,所以,即 .
因为,所以特殊点求 ,（6分）
所以函数的解析式为 .（7分）
（2） 把的图象向右平移 个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数
的图象,若在区间上的最大值为2,求实数 的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】 把的图象向右平移 个单位长度得到函数
的图象（左加右减）,再将
的图象向上平移1个单位长度得到
的图象,（上加下减）即 .
（10分）
由得 ,（13分）
因为在区间 上的最大值为2,所以在区间 上的最大值
为1,
. .
. .
. .
. .
所以（根据正弦函数的图象，结合 列出不等式是解
题的关键）, 所以 ,
所以实数的最小值为 .（17分）
. .
19.（分）（2025福建厦门期末）定义 的“区间长度”为
,设函数的定义域为 .
（1） 当时,求关于的不等式 解集的“区间长度”.
【答案】 当时, ,
由解得或 ,
因为,所以或 ,
所以不等式解集的“区间长度”为 .（3分）
（2） 已知,设关于的不等式解集的“区间长度”为 .
（ⅰ） 若 ,求 ；
【答案】 因为,所以,由,解得或 ,
设的两个根为,,其中 ,且 ,
同理,设的两个根为,,其中 ,且 ,
所以 .（7分）
又 ,所以 ,
所以,即 ,
,即,解得或 ,
所以或 .（11分）
（ⅱ） 求 的最大值.
【答案】 方法一 由（ⅰ）可得, ,
则 .（利用同角三角函数基本关系）
因为,,所以 ，（利用基本不等式）
所以,即 ,
所以或（舍去）,所以 ,
所以 .（利用两角和的余弦
公式）
因为,,所以 ,
由可知, ,
当且仅当即 时等号成立,
所以,的最大值为 .（17分）
方法二 由（ⅰ）可得, ,
（利用拆角和两角差的正弦公式）
（将上式展开后利用二倍角公式）
. 利用积化和差公式,即
,
所以 ,
所以 .
因为,所以 .
因为,,所以 ,
由可知, ,
当且仅当即 时等号成立,
所以,的最大值为 .（17分）