天津市武清区英华实验学校2026届高三上学期第一次月考数学试卷（PDF版，含答案）

天津市武清区英华实验学校 2026届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 9小题，每小题 5 分，共 45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设全集 = ，集合 = { | 2 2 > 0}, = { | ≥ 1}，则( ) ∩ =( )
A. { |1 ≤ ≤ 2} B. { |1 < ≤ 2} C. { | > 2} D. { |1 ≤ < 2}
2.已知定义域为 的函数 ( )不是偶函数，则( )
A. ∈ , ( ) + ( ) ≠ 0 B. ∈ , ( ) ( ) ≠ 0
C. 0 ∈ , ( 0) + ( 0) ≠ 0 D. 0 ∈ , ( 0) ( 0) ≠ 0
1
3.若“| | < 1”成立的充分不必要条件是“ 1 < < ”，则实数 的取值范围是( )
2
1 1 1 1
A. < < 0 B. < ≤ 0 C. ≤ < 0 D. ≤ ≤ 0
2 2 2 2
4.若 = 0.50.6， = 0.60.5， = 20.5，则下列结论正确的是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
cos6
5.函数 = 的图象大致为( ) 2 2
A. B.
C. D.
6.在平行四边形 中， , 分别在边 , 上， = , = 2 ， , 相交于点 ，则
=( )
1 1 1
A. + B.
1
+
1
C.
2
+
3 1
D. +
4 2 2 4 3 3 4 3
7.已知平面向量 = (1,0), = (1,2√ 3)，下列说法中：
①| + | = 16；②( + ) = 2；③向量 + 与 的夹角为30°；④向量 + 在 上的投影向量为2 ，
正确说法的序号是( )
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A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
ln
8.设实数 > 0，若对任意的正实数 ，不等式 ≥ 恒成立，则 的最小值为( )

1 1 2
A. B. C. D.
2 3
9.如图，在函数 ( ) = sin( + )的部分图象中，若 = ，则点 的纵坐标为( )
2 √ 2 √ 3 1
A. B. C. √ 3 √ 2 D. 2 √ 3
2 2
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5 分，共 30分。
sin( )+2cos(π )
10.已知角 的终边经过点( 1, 3)，则 = ．
3sin( π )+4cos(3π+ )
1 2
11.已知正数 ， 满足 + = 1，则2 3 的最小值为 ．

4 1
12.已知函数 ( ) = + ， ( ) = 2 + ，若 1 ∈ [ , 1]， 2 ∈ [2,3]，使得 ( 1) ≤ ( 2)，则实数 的 2
取值范围是 ．
13.已知定义在 上的函数 ( )在[0,+∞)上单调递增，且函数 ( ) 1为奇函数，则 (3 + 4) + (1 ) <
2的解集为 ．
14.在矩形 中， = 2, = 3,2 = , 是平面 内的一点，且 = ，则| | = ；
2
是平面 内的动点，且 = ，若0 < < 1，则| + | + | + ( 1) |的最小值
为 ．
2 , ≥ 1,
15.已知函数 ( ) = { 若 1， 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立，则实数 的取 + , < 1.
值范围是 ．
三、解答题：本题共 5小题，共 75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.记 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，已知sin = √ 2cos ， 2 + 2 2 = √ 2
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(1)求 ；
(2)若 的面积为3 + √ 3，求 ．
cos cos 2√ 3sin
17.已知在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，且 + = ．
3sin
(1)求 的值；
(2)若cos + √ 3sin = 2，求周长的取值范围．
1
18.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且cos ( cos + cos ) + = 0．
2
(1)求角 的大小：
(2)若 + = 8， = 7， < ，求sin(2 + )的值；
(3)设 是边 上一点， 为角平分线且2 = ，求cos 的值．
19.已知函数 ( ) = e ， ∈ R．
(1)若曲线 = ( )在 = 1处的切线的斜率为2，求 的值；
(2)若 ( ) + sin > 1在区间(0,+∞)上恒成立，求 的取值范围．

20.设函数 ( ) = ln 2
2

(1)当 ∈ (0,+∞)， ( ) + ≤ 0恒成立，求实数 的取值范围．
2
(2)设 ( ) = ( ) 在[1, e2]上有两个极值点 1, 2．
( )求实数 的取值范围；
1 1
( )求证： + > 2 ．
ln 1 ln 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 1
11.9
1
12.[ , +∞)
2
5
13.{ ∣ < }
2
14.2 ； ；
；2
1
15.( ∞, ) ∪ (0,+∞)
2
16.【详解】(1)由余弦定理有 2 + 2 2 = 2 cos ，对比已知 2 + 2 2 = √ 2 ，
2 2 + 2 √ 2 √ 2
可得cos = = = ，
2 2 2
因为 ∈ (0, π)，所以sin > 0，
2
√ 2 √ 2
从而sin = √ 1 cos2 = √ 1 ( ) = ，
2 2
1
又因为sin = √ 2cos ，即cos = ，
2
注意到 ∈ (0, π)，
π
所以 = ．
3
π √ 2 π π π 5π
(2)由(1)可得 = ，cos = ， ∈ (0, π)，从而 = ， = π = ，
3 2 4 3 4 12
5π π π √ 2 √ 3 √ 2 1 √ 6+√ 2
而sin = sin ( ) = sin ( + ) = × + × = ，
12 4 6 2 2 2 2 4
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由正弦定理有 5π = π = π，
sin sin sin
12 3 4
√ 6+√ 2 √ 3+1 √ 3 √ 6
从而 = √ 2 = , = √ 2 = ，
4 2 2 2
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
1 1 √ 3+1 √ 6 √ 2 3+√ 3
= sin = =
2，
2 2 2 2 2 8
3+√ 3
由已知 的面积为3 + √ 3，可得 2 = 3 + √ 3，
8
所以 = 2√ 2．
cos cos 2√ 3sin
17.【详解】(1)解：在 中，∵ + = ，
3sin
2 2 2 2 + + 2 2 2√ 3
∴ + = ，
2 2 3
2 2 2√ 3 √ 3
∴ = ，解得 = ．
2 3 2

(2)解：方法一：∵ cos + √ 3sin = 2sin ( + ) = 2，
6
7
∴ sin ( + ) = 1，∵ 0 < < ，∴ < + <
6 6 6 6

∴ + = ，∴ = ．
6 2 3
√ 3

由正弦定理得 = = = 2 = 1，
sin sin sin sin
3
∴ = sin ， = sin ．
2
由 + + = 得 + = ，
3
2 2
∴ = ，且0 < < ．
3 3
2 2 2
∴ + = sin + sin = sin + sin( ) = sin + sin cos cos sin
3 3 3
3 √ 3
= sin + cos = √ 3sin ( + )．
2 2 6
2 5
∵ 0 < < ，∴ < + < ，
3 6 6 6
1
∴ < sin ( + ) ≤ 1，
2 6
√ 3
∴ < √ 3sin ( + ) √ 3，
2 6
√ 3
∴ + 的取值范围是( , √ 3]．
2
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3√ 3
∴周长的取值范围是(√ 3, ]．
2

方法二，∵ cos + √ 3sin = 2sin ( + ) = 2，
6
7
∴ sin ( + ) = 1，∵ 0 < < ，∴ < + <
6 6 6 6

∴ + = ，∴ = ．
6 2 3
√ 3
因为由(1)得 =
2
所以由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos 得 2 = ( + )2 3
2
( + )
因为 ≤
4
2
3( + )
所以3 = ( + )2 2 ≤ ，即( + )2 ≤ 4 2，
4
所以 + ≤ 2 = √ 3，当且仅当 = 时等号成立，
又因为三角形两边之和大于第三边，
√ 3
所以 < + ≤ 2 = √ 3，即 < + ≤ √ 3，
2
3√ 3 3√ 3
所以√ 3 < + + ≤ ，即周长的取值范围是(√ 3, ]．
2 2
1
18.【详解】(1)由题意及正弦定理可得：cos (sin cos + sin cos ) + sin = 0，
2
1 1
可得cos sin( + ) + sin = 0，即cos sin + sin = 0，
2 2
1
在 中，sin > 0，所以cos = ，
2
2
因为 ∈ (0, π)，所以 = π；
3
(2)因为 = 7， + = 8， < ，
2 2 + 2 2+ 2 49 1
由余弦定理得cos = = = ，
2 2 2
所以( + )2 = 49，即 = 15，

所以 = 3， = 5，由正弦定理可得： = ，
sin sin
sin 3 2 3√ 3
可得sin = = sin π = ，
7 3 14

因为 < ，则 < ，则 ∈ (0, )，
3
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2
3√ 3 13
可得cos = √ 1 sin2 = √ 1 ( ) = ，
14 14
π
且 + = ，
3
π π
所以sin (2 + ) = sin( + + ) = sin ( + )
3 3
π π 3√ 3 1 13 √ 3 4√ 3
= sin cos + cos sin = × + × = ；
3 3 14 2 14 2 7
(3)因为2 = ， 是角平分线，即sin∠ = sin∠ ，
1 1
sin∠ 2 2 因为 = = 2 = = ，
1 1 sin∠
2 2

所以 = 2 ，由正弦定理可知 = ，
sin sin

√ 3 1 1
所以 = 2π ，所以 cos sin = sin ， sin sin( ) 2 2 2
3
√ 3
整理可得sin = cos ，
2
又因为sin2 + cos2 = 1，且cos > 0，
3 2 2√ 7即 cos + cos2 = 1，解得cos = ．
4 7
19.【详解】(1)由 ( ) = e ，可知 ′( ) = e ，
因为 = ( )在(1, (1))处的切线斜率为2，所以 ′(1) = e = 2，解得 = e 2．
(2)若 ( ) + sin > 1在区间(0,+∞)上恒成立，即e + sin > 1在区间(0,+∞)上恒成立．
令 ( ) = e + sin ，则 ′( ) = e + cos ，
令 ( ) = e + cos ，则 ′( ) = e sin ≥ 0，
所以 ( )在 ∈ (0,+∞)时单调递增，可知 ( ) > (0) = 2 ．
当 ≤ 2时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，所以 ( )在 ∈ (0,+∞)时单调递增，
所以 ( ) > (0) = 1成立．
当 > 2时， (0) = 2 < 0，当 → +∞时， ( ) > 0，所以 0 ∈ (0,+∞)使得 ( 0) = 0．
当 ∈ (0, 0)时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，所以 ( )此时单调递减；
当 ∈ ( 0, +∞)时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，所以 ( )此时单调递增；
所以， ( )min = ( 0) < (0) = 1不满足题设条件，舍去．
综上， ≤ 2．
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20.【详解】(1)由题意，函数 ( ) = ln 2
2

因为 ( ) + ≤ 0，即 ln 2 + ≤ 0，且 > 0，即ln + ≤ 0恒成立，
2 2 2 2 2
1
令 ( ) = ln + ( > 0)，则 ′( ) = ，
2 2 2
①当 ≤ 0时， ′( ) > 0， ( )在(1,+∞)上为单调递增函数，
所以 > 1时， ( ) > (1) = 0，不合题意；
2 2
②当0 < < 2时， ∈ (1, )时， ′( ) > 0， ( )在(1, )上为单调递增函数，

2
所以 ∈ (1, )， ( ) > (1) = 0，不合题意；

2 2
③当 > 2时， ∈ ( , 1)， ′( ) < 0， ( )在( , 1)上为单调递减函数，

2
所以 ∈ ( , 1)时， ( ) > (1) = 0，不合题意；

④当 = 2时， ∈ (0,1)， ′( ) > 0， ( )在(0,1)上为单调递增函数，
∈ (1,+∞)， ′( ) < 0， ( )在(1,+∞)上为单调递减函数，
所以 ( ) ≤ 0，符合题意；
综上可得， = 2．

(2)由 ( ) = ( ) = ln 2 ， ∈ [1, e2]，可得 ′( ) = ln ，
2
1
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = ，

由已知 ( ) = 0在(1, e2)上有两个不等的实根．
1
( )①当 ≤ 2时，
′( ) ≥ 0， ( )在(1, e2)上为单调递增函数，不合题意；
e
②当 ≥ 1时， ′( ) ≤ 0， ( )在(1, e2)上为单调递减函数，不合题意；
1 1 1
③当 2 < < 1时， ∈ (1, )，
′( ) > 0， ∈ ( , e2)， ′( ) < 0，
e
1 2 1
所以 (1) < 0， ( ) > 0， (e2) < 0，解得 ∈ ( 2 , )． e e
( )由已知ln 1 1 = 0，ln 2 2 = 0，所以ln 1 ln 2 = ( 1 2)，

不妨设 1 < 2，则0 <
1 < 1，
2
1 2 1
1 1 + ln ln 1 2 2 ln
则 + 2 = 1 2 2 1 2 = [ 1 2 2(ln ln )] = 2 11 2 2
2 ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
令 ( ) = 2ln ，(0 < < 1)，

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2
′ ( 1)则 ( ) = 2 > 0，所以 ( )在(0,1)上为单调递增函数，
1 1
所以 ( 1) < (1) = 0，即 1 2 ln 1 < 0，所以 + 2 > 0，
2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
可得 + > 2，所以 + > 2，
1 2 ln 1 ln 2
1 1 1
由( ) < ，所以 e < 1，2 e < 2，所以 + > 2 e．
e ln 1 ln 2
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