2025-2026学年九年级数学上学期期中卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）．
A. 3 B. 1.5 C.
1 D. 12
2
2．若二次根式 x 5有意义，则 x的取值范围是（ ）
A. x 5 B. x≥5 C. x 5 D. x 5
3．下列各组长度的线段（单位： cm）中，成比例线段的是（ ）
A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，6 C. 2，3，4，5 D. 1，3，5，10
4．用配方法解方程 x2 8x 7 0，则配方正确的是（ ）
x 4 4A. 23 B. x 4 2 9
C. x 8 2 71 D. x 8 2 57
5．如图，已知 A B C 与V ABC 是以点O为位似中心的位似图形，位似比为 2 :3，下列说法错误的是（ ）
A. BC∥B C B. S A B C :S ABC 4 :9
C. OB :B B 2 :1 D. OB : BB 2 : 3
6．如图，△ABC∽△ADE， S△ABC : S四边形BDEC 1: 3,BC 2 ，则DE的长为（ ）
A. 6 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2
7．某市 2018年底森林覆盖率为 63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展
植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到 68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 x，那么，符合
题意的方程是（ ）
0.63 1 x 0.68 0.63 1 x 2A. B. 0.68
C. 0.63 1 2x 0.68 D. 0.63 1 2x 2 0.68
8．如图，已知 1 2，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
AB BC AB AC
A. C E B. C. B ADE D.
AD DE AD AE
9． 如图，在正方形 ABCD中，BD 6 2，点 E为 AD上一点，连接CE交 BD于点 F ，延长CE交 BA
的延长线于点G，若 AG 2，则CF的长为（ ）
32 30 26
A. B. C. 4 D.
7 7 7
10. 2若关于 x的一元二次方程ax bx c 0 ac 0 有一根为 x 2024，则关于 y的一元二次方程
cy2 by a 0 ac 0 必有一根为（ ）
1 1
A. 2024 B. 2024 C. D. 2024 2024
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分）
6
11． 计算 __________．
3
12．若 1是关于 x的方程 x2 ax 0的根，则 a的值为___________．
b a
13．已知 a、b是方程 x2 3x 1 0的两个实数根，则 的值为_________．
a b
a 5 a b
14．若 ，则 =________
b 3 b
15．如图所示，已知点 E，F分别是V ABC 的边 AC，AB的中点，BE，CF 相交于点 G，FG 1，则CF
的长为______．
16．如图，在V ABC 中， BAC 135 ，将V ABC 绕点 C逆时针旋转得到 DEC，点 A，B的对应点分别
为 D，E，连接 AD．当点 A，D，E在同一条直线上时，①△ABC≌△DEC；② ADC=45 ；③ AD 2AC；
④ AE AB CD以上结论正确的是_________．
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算： | 2 | 2 18 (π 3)0 4 2 1．
18．（共 8分）解方程：
（1）5x(x 1) x 1．
（2） x2 4x 1 0．
2 x2 1
19 ．（8分）先化简，再求值： 1 x 1
，其中
2x 2 x 2 1
．
20．（8分）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为 130
米，宽为 80米的矩形停车场进行改造．如图，沿着 AB和 AD修建宽度相同的充电桩区域，，剩余停车场的
面积为 5000平方米，求 AB边和 AD边减少的长度．
21．（8分）如图，在V ABC 中， B 36 ， AB BC．
（1）尺规作图：在 BC上取一个点D，使得 BD AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，连接 AD，求证： DAC∽ ABC．
22 2．（10分） 已知关于 x的一元二次方程 m 1 x m 1 x 2 0 m 1 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有两个不相等的正整数解，求整数m的值．
23．（10分）根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情
每天可售出 20件，每件盈利 40元． 每天可售出 32件，每件盈利 30元．
况
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价 1元，甲、乙两家店一天都可多售出 2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价 a元，乙店每件衬衫降价b元．
任务解决
甲店每天的销售量 （用含 a的代数式表示）．
任务 1
乙店每天的销售量 （用含b的代数式表示）．
任务 2 当 a 5，b 4时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈
任务 3
利和为 2244元．
24．（13分）若x x ax2 bx c 0 a 0 x x b c x x 1， 2是一元二次方程 的两根，则有 1 2 ，a 1 2 ，a
由此可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根
2 2 n
与系数的关系．若 ， 是方程 x2 x 1 0的两根，记 S1 ，S2 ， ，Sn
n
．
（1）求：S1 ； S2 ．（直接写出所求数值）
（2）当 n为不小于3的整数时，求证： Sn Sn 1 Sn 2 ；
2 2
1 5 1 5
（3）利用（2）中所证明的结论，求 的值．
2 2
25．（13 分）如图 1，在V ABC 中， BAC 90 ,AB AC 4，点 E为边 AC上一点，以 AE为斜边，
在V ABC 外作V ADE，使得 ADE 90 ，且DE DA．现将V ADE绕点 A逆时针旋转，旋转角为
0 90 ，连接 BE ，与 AC交于点 F．
（1）如图 2，若 AFB 60 ，且BE∥ AD，
①求 的值；
②求线段 BE 的长．
（2）如图 3，连接CE，点 G为CE的中点，连接DG，求证：DG BE．2025-2026学年九年级数学上学期期中卷
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B B B D B B B B C
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11． 2 12．1 13． 11
2
14． 15．3 16． ①②③
3
三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（共 8分）
【详解】解：原式 2 6 1 2……………………………………4分
9……………………………………8分
18．（每小题 4分，共 8分）
【小问 1 详解】
解：5x(x 1) x 1 0 ，……………………………………2分
(x 1) 5x 1 0，
x 1, x 1解得： 1 2 ；……………………………………4分5
【小问 2 详解】
解： x2 4x 1，
x2 4x 4 5，……………………………………6分
x 2 2 5，
解得： x1 5 2, x2 5 2……………………………………8分
19．（8分）
21 2 x 1【详解】解：
x 1 2x 2
x 1 2 2x 2
x 1 2 ……………………………………2分x 1
x 1 2 x 1
……………………………………4分x 1 x 1 x 1
2
，……………………………………5分
x 1
2 2
当 x 2 1时，原式 2 ．……………………………………8分2 1 1 2
20．（8分）
【详解】解：设 AB边和 AD边减少的长度是 x米，则剩余停车场是长为 (130 x)米，宽为 (80 x)米的矩
形，……………………………………1分
根据题意得： (130 x)(80 x) 5000 ，……………………………………4分
整理得： x2 210x 5400 0，……………………………………5分
解得： x1 30， x2 180（不符合题意，舍去）．……………………………………7分
答： AB边和 AD边减少的长度是 30米．……………………………………8分
21．（8分）
【小问 1 详解】
解：作 BAC的平分线交 BC于点D，
理由：∵ AB BC， B 36 ，
1 1
∴ BAC C 180 B 180 36 72 ，
2 2
∴ DAB DAC 1 BAC 1 72 36 ，
2 2
∴ B DAB，
∴ BD AD，
故点D即为所作；
【小问 2 详解】……………………………………4分
证明：∵ AB BC， B 36 ，
∴ BAC C，
∴180 BAC C B 2 BAC 36 ，
∴ BAC C 72 ，……………………………………5分
∵ BD AD，
∴ DAB B 36 ，
∴ ADC B DAB 36 36 72 ，
∴ ADC BAC，……………………………………7分
又∵ C C ，
∴ DAC∽ ABC．……………………………………8分
22．（10分）
【小问 1 详解】
证明：△ b 2 4ac
(m 1)2 4 m 1 2……………………………………1分
m2 6m 9
(m 3)2 0，……………………………………3分
该方程总有两个实数根；……………………………………4分
【小问 2 详解】
m 1 m 3
解： x ，……………………………………6分2 m 1
∴ x1 1， x
2
2 ，……………………………………7分m 1
方程有两个不相等的正整数解，
∴m 1 1，
∴m 2……………………………………9分
整数m的值为 2．……………………………………10分
23．（10分）
【详解】解：任务 1，根据题意得：
甲店每天的销售量为 20 2a 件，乙店每天的销售量为 32 2b 件，
故答案为： 20 2a 件， 32 2b 件；……………………………………3分
任务 2，当 a 5时，甲店每天的盈利为 40 5 20 2 5 1050（元）；…………………………4分
当b 4时，乙店每天的盈利为 30 4 32 2 4 1040 （元）；……………………………………5分
任务 3，设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为 2244元，
由题意得： 40 m 20 2m 30 m 32 2m 2244 ，……………………………………7分
整理得：m2 22m 121 0，
解得：m1 m2 11，……………………………………9分
即每件衬衫下降 11元时，两家分店一天的盈利和为 2244元．……………………………………10分
24．（13分）
【小问 1 详解】
解： ， 是方程 x2 x 1 0的两根，
1， 1，……………………………………2分
S1 1， S 2 22
2 2 1 2 3，
故答案为：1，3；……………………………………4分
【小问 2 详解】
证明：Q ， 是方程的根，
2 1， 2 1，……………………………………6分
n n n n n 1 n 1
S S n nn 2 n 1 2 S ，…………………………… 2 2 2 n
………10分
【小问 3 详解】
2 2
1 5 1 5
解：由（1）（2）有： S2 3．……………………………………13分
2 2
25. （13分）
【小问 1 详解】
解：①∵V ADE是等腰直角三角形， ADE 90 ，
∴ DAE 45 ,……………………………………1分
∵ BAF 90 , AFB 60 ,
∴ ABF 30 ，……………………………………2分
∵BE∥ AD，
∴ ABF BAD 180 ,
∴ BAD 180 ABF 150 , ……………………………………3分
∵ DAE 45 , BAF 90，
∴ EAF 150 90 45 15 ；……………………………………4分
②如图，过点 A作 AM BE于点M ，……………………………………5分
∵BE∥AD， DAE 45 ,，
∴ AEM DAE 45 ,……………………………………6分
∵ AM BE,
∴ EAM AEM 45 ，
∴ AM EM ,
∵ ABE 30 ,，
AM EM 1∴ AB 2，……………………………………7分
2
∴ BM AB2 AM 2 2 3，
∴BE BM ME 2 3 2；……………………………………8分
【小问 2 详解】
证明：如图，延长 ED至 N ，使DN DE，连接 AN，连接 NC交 BE 于点 O，……………………9分
∵ ADE 90 ，DN DE，
∴ AE AN，
∴ AEN ANE 45 ，
∴ NAE 90 BAC，
∴ BAE CAN……………………………………10分
又∵ AN AE，AB AC
∴ ABE≌ ACN (SAS)，……………………………………11分
∴ ABE ACN，
∵ ABE CBE ACB 90 ，
∴ CBE ACB ACN 90
∴ BOC 90 ，
∴BE NC，……………………………………12分
∵DN DE，点 F 是 EC的中点，
∴DF∥NC,
∴DF BE……………………………………13分
