第四章 4.8　解三角形在实际问题中的应用 课时练作业 ppt

(共69张PPT)
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高效
第四章　三角函数、解三角形
4.8　解三角形在实际问题中的应用
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　测量距离问题
考点2　测量高度问题
01
02
考点3　测量角度问题
03
课时作业
第三部分
04
高考创新方向 多想少算
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
测量中的几个有关术语
教材回扣
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)西南方向与南偏西45°方向相同．(　 　)
(3)方位角是从正北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(　 　)
(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　 　)
基础检测
√
×
√
×
2．（人教A版必修第二册P51T3改编）如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　 　)
A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上
D
解析：由条件及题图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D.
B
4．（人教A版必修第二册P49例9改编）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到点C的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(　 　)
A．3 km B．4 km
C
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 测量距离问题
D
规律总结
距离问题的解题思路：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．
注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．
B
考点2 测量高度问题
【例2】　（2024·宁夏银川三模）如图，某同学为测量塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝______ m.
规律总结
高度问题的易错点
(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错．
(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错．
204
考点3 测量角度问题
【例3】　如图，某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝(　 　)
D
规律总结
角度问题的解题方法
在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
【对点训练3】　公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚在同一水平面上．某人在点A处测得楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得楼顶的仰角为45°，沿该方向再行走60米到点C处，测得楼顶的仰角为θ.则sin θ＝(　 　)
A
高考创新方向 多想少算
【例】　（多选）（2024·甘肃兰州模拟）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有(　 　)
A．在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离
B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C．在地面上任意寻找一点A，测得旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D．在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处（旗杆底部，A，B在一条直线上），再次测量旗杆顶端的仰角β
BCD
【解析】　当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝h＋AD sin β，故B正确；如图2，在Rt△ADC中，直接求出旗杆的高DC＝AC tan α，故C正确；如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝AD sin α，故D正确．故选BCD.
创新解读
本题的设计背景来源于人教A版必修第二册P49例10.设计方案测量物体高度，需要注意不同方案的限定条件，在学习过程中要重视教材，复习阶段要从教材例题出发，落实“引导学生在解决实际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养”的要求．
课时作业32
第
分
部
三
1．（5分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于20 km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　 　)
C
2．（5分）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　 　)
A.49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
B
A．100米 B．110米
C．120米 D．130米
A
4．（5分）如图所示，一船向正北方向航行，当航行到点B时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔C和D恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达点A后，看见灯塔C在船的南偏西60°方向上，灯塔D在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是(　 　)
A
B
B
ABC
8．（6分）（多选）重庆八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、大融城、八一好吃街等．重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图，现某兴趣小组在八一广场上对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为解放碑的最顶端，B为解放碑的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C，D两点，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是(　 　)
A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC
C．CD，∠ACB，∠BCD，∠ACD
ABD
9．（5分）（2024·湖南岳阳二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山，因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．如图，小明为了测量岳阳楼的高度AB，他首先在C处测得楼顶A的仰角为60°，然后沿BC方向行走22.5米至D处，又测
得楼顶A的仰角为30°，则楼高AB为_______米．
10．（5分）（2024·福建漳州模拟）如图，某城市有一条公路从正西方向AO通过路口O后转向西北方向OB，围绕道路OA，OB打造了一个半径为2 km的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN，则MN的最小值为____________ km.
解：安全．理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图所示．
根据题意可知AB＝30 km，
∠DBC＝90°－45°＝45°，
∴BD＝DC，∵∠BAC＝90°－60°＝30°，
12．（17分）如图，某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30°方向20 n mile处的点D出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处的点E，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处点C的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h.（假设所有船只均保持匀速直线航行）
(1)求走私船的速度大小；
解：如图，连接CE，BD.
∵点D位于A哨所北偏东30°方向20 n mile处，
∴∠BAD＝90°＋30°＝120°，AD＝20 n mile，
∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝30°，
∵点E位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处，∴∠DBE＝90°－30°＋30°＝90°，
(2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．
A
A．2.1R　 B．2.2R
C．2.3R　 D．2.4R
2