第二章 2.1　函数的概念及其表示 课时练作业 ppt

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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.1　函数的概念及其表示
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　函数的定义域
考点2　求函数的解析式
01
02
考点3　分段函数
03
课时作业
第三部分
04
高考创新方向 深刻理解
1．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．函数的概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是____________，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______________和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素
函数由______、____和对应关系三个要素构成．在函数y＝f(x)，x∈A中，____________范围(即数集A)称为这个函数的______，__________组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域．
教材回扣
非空的实数集
任意一个数x
唯一确定的数y
定义域
值域
自变量的取值
定义域
所有函数值
2．函数的表示法
3.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数叫做________．
解析法 图象法 列表法
用解析式表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
对应关系
分段函数
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
教材拓展
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　 　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示．(　 　)
(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．(　 　)
基础检测
×
×
√
√
2．(人教A版必修第一册P66例3改编)下列各组函数表示同一个函数的是(　 　)
C
0
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 函数的定义域
D
(2)(2024·湖北武汉二模)已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f(1－x)的定义域为____________．
【解析】　由函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)，令－1≤1－x<3，解得－2(－2，2]
规律总结
1．求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义．
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
3．定义域是一个集合，要用集合的描述法或区间等形式表示．若定义域不连续，则用区间表示时，应分成多个区间，各区间之间不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(－∞，－1)∪(－1，1)
D
{x|x>2}
考点2 求函数的解析式
【例2】　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式．
【解】　(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，
即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
【解】　(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
【解】　(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2①，
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2②，
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，
∴f(x)＝3x－2.
规律总结
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(1，＋∞)
(2)已知f(x)满足3f(x)＋2f(1－x)＝4x，则f(x)的解析式为__________________．
解析：由3f(x)＋2f(1－x)＝4x①，
用1－x代x可得，3f(1－x)＋2f(x)＝4(1－x)②，
考点3 分段函数
B
【解析】　当x≤0时，f(x)＝x＋1≤1，得x≤0，所以x≤0；当x>0时，f(x)＝ln (x＋1)≤1，得－1(－∞，e－1]
规律总结
关于分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值或范围：先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的某段上，然后求出相应自变量的值或范围，再用同样的方法求其余各段上自变量的值或范围，最后综合得出结果．切记要代入检验．
D
1
高考创新方向 深刻理解
【例】　(多选)(2024·广东六校联考)给定数集A＝R，B＝(0，＋∞)，x，y满足方程2x－y＝0，下列对应关系f为函数的是(　 　)
A．f：A→B，y＝f(x)
B．f：B→A，y＝f(x)
C．f：A→B，x＝f(y)
D．f：B→A，x＝f(y)
ABD
【解析】　对于A，y＝f(x)＝2x， x∈A，均有唯一确定的f(x)，且f(x)∈(0，＋∞)＝B与之对应，符合函数定义，故A符合题意；对于B，y＝f(x)＝2x， x∈B，均有唯一确定的f(x)，且f(x)∈(1，＋∞) A，符合函数定义，故B符合题意；对于C，x＝f(y)＝log2y，取y＝1∈A，但x＝0 B，不符合函数定义，故C不符合题意；对于D，x＝f(y)＝log2y， y∈B，均有唯一确定的f(y)，且f(y)∈R＝A，符合函数定义，故D符合题意．故选ABD.
创新解读
本题考查函数的定义，需要学生对函数定义中的几个关键点深刻理解，才能将正确选项全部选出，如C选项考查A中的每一个元素在B中都有唯一确定元素与之对应，体现新高考对基础概念深入考查的特点和趋势．
课时作业6
第
分
部
三
A．(－1，1)
B．(－1，1)∪(2，＋∞)
C．[2，＋∞）
D．(－1，1)∪[2，＋∞）
D
A．1　　　 B．2
C．4　　　 D．8
解析：由函数可得，f(－3)＝f(－1)＝f(1)＝21＝2.故选B.
B
A．7 B．－2
C．2 D．7或－2
D
A．(－∞，2) B．(－∞，3)
C．[0，3） D．(3，＋∞)
解析：当x<0时，不等式f(x)<2可化为－x2－2x<2，所以x2＋2x＋2>0，可得x<0；当x≥0时，不等式f(x)<2可化为log2(x＋1)<2，所以x＋1<4，且x＋1>0，所以0≤x<3，所以不等式f(x)<2的解集是(－∞，3).故选B.
B
D
C
7．（6分）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一个函数的有(　 　)
AC
BD
9．（5分）已知f(x＋1)＝2x2－3，若f(m)＝15，则m＝________．
解析：令x＋1＝t，则可得x＝t－1，由f(x＋1)＝2x2－3可得f(t)＝2(t－1)2－3，所以f(m)＝2(m－1)2－3＝15，解得m＝4或m＝－2.
4或－2
4
a≤1
12．（16分）(1)已知函数f(x－1)＝x2－4x，求函数f(x)的解析式．
解：令x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2－4(t＋1)＝t2－2t－3，即f(x)＝x2－2x－3.
(2)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c，
又f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋4，求f(x)的解析式．
解：因为2f(x)＋f(－x)＝3x＋4①，
所以2f(－x)＋f(x)＝－3x＋4②，
13．（5分）若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy，f(1)＝1，则f(－20)＝(　 　)
A．55 B．190
C．210 D．231
B
B
14．（5分）若函数f(x)的定义域为R，且xf(x)＋f(1－x)＝1，则f(x)的最大值为(　 　)
A．0 B．1
C．2 D．3
15．（5分）（2024·山东济南一模）已知集合A＝{u(x)|u(x)＝ax2－(a＋b)x＋b，a，b∈R}，函数f(x)＝x2－1.若函数g(x)满足对任意u(x)∈A，存在λ，μ∈R，使得u(x)＝λf(x)＋μg(x)，则g(x)的解析式可以是_________________ _______________________________________________________________．（写出一个满足条件的函数解析式即可）
解析：u(x)＝ax2－(a＋b)x＋b，f(x)＝x2－1，u(1)＝a－(a＋b)＋b＝0，f(1)＝0，u(x)＝λf(x)＋μg(x)，u(1)＝λf(1)＋μg(1)＝μg(1)＝0，所以g(1)＝0，则g(x)的解析式可以为g(x)＝x－1.经检验，g(x)＝x－1满足题意．
g(x)＝x－1（满足g(1)＝0，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）