第六章 6.4　由递推公式求通项 课时练作业 ppt

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第六章　数列
6.4　由递推公式求通项
数学
内容索引
关键能力提升
第一部分
考点1　a n＋1＝pan＋f(n)型
考点2　相邻两项的差为特殊数列(a n＋1＝pan＋qa n－1型，其中a1＝a，a2＝b)
01
02
考点3　倒数为特殊数列
03
课时作业
第二部分
会根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列）求数列通项公式．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
一
考点1an＋1＝pan＋f(n)型
命题角度1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)
【例1】　数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则数列{an}的通项公式是________________．
an＝4n-1－1
命题角度2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)
【例2】　在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_________________．
an＝3n－2(n－1)
命题角度3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)
【例3】　数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝____________．
2(3n－2n)
规律总结
【对点训练1】　(1)若数列{an}满足an＋1＝3an－8，且a1＝6，则数列{an}的通项公式为an＝_______________．
解析：由an＋1＝3an－8，则an＋1－4＝3(an－4)，a1－4＝2，所以数列{an－4}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an－4＝2×3n-1，所以an＝2× 3n-1＋4.
2×3n-1＋4
(2)各项均为正数的数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋2n+1，则an＝______________．
(n＋1)·2n
考点2 相邻两项的差为特殊数列（an＋1＝pan＋qan－1型，其中a1＝a，a2＝b）
【例4】　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，
n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝____________．
规律总结
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
【对点训练2】　若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为an＝________．
3n-1
考点3 倒数为特殊数列
规律总结
课时作业41
第
分
部
二
A
2．（5分）已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，则{an}的通项公式为(　 　)
A．an＝2n-1 B．an＝2n-1－1
C．an＝2n D．an＝2n－1
解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝2，故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.故选D.
D
B
4．（5分）已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－6，则an＝(　 　)
A．22n+1＋2 B．22n+1－2
C．22n-1＋2 D．22n-1－2
解析：∵an＋1＝4an－6，∴an＋1－2＝4(an－2)，
C
5．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋n＝2an－1，则a5＝(　 　)
A．16 B．31
C．47 D．63
解析：因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋n＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＋(n－1)＝2an－1－1，两式相减得an＋1＝2an－2an－1，即an＝2an－1＋1，可得an＋1＝2(an－1＋1)，当n＝1时，可得S1＋1＝2a1－1，即a1＋1＝2a1－1，解得a1＝2，所以a1＋1＝3，所以数列{an＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，所以an＋1＝3·2n-1，即an＝3·2n-1－1，所以a5＝3×24－1＝47.故选C.
C
6．（5分）在数列{an}中，a1＝2，(an＋1)(an－1＋2)＝an－1＋1(n≥2)，则an＝(　 　)
A
7．（6分）（多选）已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　 )
A．a2＝7
B．{Sn}是递增数列
C．{an＋3n}是等差数列
D．a10＝220－310
ABD
解析：因为an＋1＝4an＋3n，则an＋1＋3n+1＝4(an＋3n)，且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，则an＋3n＝4×4n-1＝4n，即an＝4n－3n，a2＝42－32＝7，故A正确，C错误；因为an＝4n－3n>0，所以{Sn}是递增数列，故B正确；a10＝410－310＝220－310，故D正确．故选ABD.
8．（6分）（多选）已知数列{an}满足a1＝3，2an＋1＝3an－2，则(　 　)
A．{an－2}是等差数列
BC
9．（5分）在数列{an}中，a1＝1，a2＝9，an＋2＝3an＋1－2an－10，则{an}的前n项和Sn的最大值为____．
解析：由an＋2＝3an＋1－2an－10，可得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)－10，令 an＋1－an＝bn，所以bn＋1＝2bn－10，则bn＋1－10＝2(bn－10)，又a1＝1，a2＝9，所以b1－10＝a2－a1－10＝－2，所以数列{bn－10}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以bn－10＝－2×2n-1＝－2n，即bn＝－2n＋10，即an＋1－an＝10－2n，又由a2－a1＝10－21，a3－a2＝10－22，a4－a3＝10－23，…，an－an－1＝10－2n-1(n≥2)，将以上(n－1)个等式左、右两边分别相
53
10．（5分）已知数列{an}满足an＋2＝3an＋1－2an，a1＝λ，a2＝2，{an}是递增数列，则λ的取值范围为__________．
解析：因为an＋2＝3an＋1－2an，所以an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，又因为{an}是递增数列，所以an＋1－an>0，因为a1＝λ，a2＝2，所以a2－a1＝2－λ，所以数列{an＋1－an}是以2－λ为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－an＝(2－λ)·2n-1，所以(2－λ)·2n-1>0，即2－λ>0 λ<2，则λ的取值范围为(－∞，2).
(－∞，2)
11．（12分）(1)已知数列{an}满足(n＋2)an＋1＝nan(n∈N*)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，且3anan＋1＝an－2an＋1，求数列{an}的通项公式．
13．（5分）若数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝0，2an＋1＝3an＋bn＋2， 2bn＋1＝an＋3bn－2，则a2 026＋b2 025＝(　 　)
A．2×32 024＋1 B．3×22 024－1
C．3×22 024＋1 D．3×22 025－1
C
14．（5分）在数列{an}中，a1＝a(a>0)，(2n－1)an＋1＝(2n+2－1)an＋2n(2n+2－1)(n∈N*)，若an≤4n+1－1恒成立，则实数a的最大值为(　 　)
A．3　　　 B．6
C．12　　　 D．15
A
(2)求{an}的通项公式；