第六章 6.5　数列求和 课时练作业 ppt

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第六章　数列
6.5　数列求和
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　分组求和法与并项求和法
考点2　错位相减法求和
01
02
考点3　裂项相消法求和
03
课时作业
第三部分
考点4　倒序相加法
04
1．探索并掌握等差、等比数列前n项和公式及其推导用到的“倒序相加法”“错位相减法”和其他一些重要的求和方法．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题．掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．特殊数列的求和公式
教材回扣
2．数列求和的几种常用方法
(1)分组求和法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(2)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
常见的裂项公式
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和．(　 　)
基础检测
√
√
×
√
B
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 分组求和法与并项求和法
【例1】　（2024·山东聊城二模）已知数列{an}，{bn}满足a2n－1＝b2n－1＋12m，a2n＝mb2n，m为常数，若{an}为等差数列，且b4－b2＝2(b3－b1)＝2(a1＋b1)＝8.
(1)求m的值及{an}的通项公式；
【解】　由题意知b4－b2＝8，b3－b1＝4，a1＋b1＝4，
因为a2n－1＝b2n－1＋12m，a2n＝mb2n，所以
(2)求{bn}的前2n项和S2n.
【解】　由(1)知，an＝2n＋3，b2n－1＝a2n－1－6，b2n＝2a2n，
所以S2n＝(b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋b2n)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1－6n)＋2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝
规律总结
1．分组求和法常见题型
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，其中{an}，{bn}为等差数列或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
其中数列{an}，{bn}为等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
2．并项求和法常见题型
(1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和．
(2)数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和．
【对点训练1】　已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝5an－2.
(1)求证：{an}是等比数列，并求其通项公式；
考点2 错位相减法求和
【例2】　（2024·全国甲卷理）记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】由(1)知bn＝(－1)n-1·n·4·(－3)n-1＝4n·3n-1，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，
故3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，
两式相减得，－2Tn＝4＋4×31＋4×32＋…＋4×3n-1－4n·3n＝4＋
规律总结
1．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
2．错位相减法求和时的注意点
(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
(2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
考点3 裂项相消法求和
【例3】　（2024·湖南岳阳三模）已知等差数列{an}满足a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
【解】　设数列{an}的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋3d成等比数列，所以(2＋d)2＝2(2＋3d)，解得d＝0或d＝2.
当d＝0时，an＝2；当d＝2时，an＝2＋(n－1)×2＝2n.
所以数列{an}的通项公式为an＝2或an＝2n.
规律总结
裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
【对点训练3】（2024·福建龙岩三模）若数列{an}是公差为1的等差数列，且a3＝2，点(an，bn)在函数f(x)＝3x的图象上(n∈N*)，记数列{bn}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
解：由a3＝2，{an}的公差d＝1，得a1＝0，
∴an＝a1＋(n－1)×d＝n－1，
∵点(an，bn)在函数f(x)＝3x的图象上(n∈N*)，∴bn＝3an＝3n-1.
考点4 倒序相加法
(2)求数列{an}的通项公式．
规律总结
如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
课时作业42
第
分
部
三
1．（15分）在数列{an}中，a1＝5，且an＋1＝2an－1(n∈N*).
(1)求{an}的通项公式；
解：由题意得an＋1－1＝2an－2＝2(an－1)，a1－1＝4，
∴{an－1}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an－1＝4·2n-1＝2n+1，
∴an＝2n+1＋1，n∈N*.
(2)令bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.
2．（17分）（2024·辽宁沈阳三模）设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
3．（17分）（2024·陕西渭南三模）已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝3，S4＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
解：设数列{an}的公比为q(q>0)，∵a1＋a2＝3，S4＝15，∴a3＋a4＝a1q2＋a2q2＝q2(a1＋a2)＝S4－(a1＋a2)＝12，
即3q2＝12，∴q＝2（q＝－2舍去），
∴a1＋a2＝a1＋2a1＝3，即a1＝1，∴an＝2n-1.
(2)若数列{bn}满足bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：∵an＝2n-1，∴bn＝2nan＝n·2n.
∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n-1＋n·2n，
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，
解：函数f(x)＝(x＋1)3＋1的图象，可看成曲线y＝x3向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
因为曲线y＝x3的对称中心为(0，0)，
所以函数f(x)＝(x＋1)3＋1的图象的对称中心为(－1，1)，
所以f(x)＋f(－2－x)＝2.
解：设数列{cn}公比为q(q>0)，
∵a2＝2c1－1＝3，∴d＝a2－a1＝1，
∴an＝n＋1，∴bn＝2n，
6．（17分）（2024·甘肃定西一模）在n个数1，2，…，n(n∈N，n≥2)构成的一个排列j1j2…jn中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，则称它们构成逆序（例如j2>j5，则j2与j5构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为T(j1j2…jn)，例如T(312)＝2.
(1)计算T(51243)；
解：在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，
与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，
所以T(51243)＝4＋0＋0＋1＋0＝5.
(2)设数列{an}满足an＋1＝an·T(51243)－T(3412)，a1＝2，求{an}的通项公式；
解：由(1)同理可得T(3412)＝4，
又T(51243)＝5，所以an＋1＝5an－4，
设an＋1＋λ＝5(an＋λ)，得an＋1＝5an＋4λ，所以4λ＝－4，解得λ＝－1，则an＋1－1＝5(an－1)，
因为a1－1＝1≠0，所以数列{an－1}是首项为1，公比为5的等比数列，
所以an－1＝5n-1，则an＝5n-1＋1.