第六章 6.6　数列的综合交汇问题 课时练作业 ppt

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第六章　数列
6.6　数列的综合交汇问题
数学
内容索引
关键能力提升
第一部分
考点1　数列与不等式、函数的综合问题
考点2　数列的实际应用问题
01
02
考点3　数列的新定义问题
03
课时作业
第二部分
1．了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题．
2．能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
一
考点1 数列与不等式、函数的综合问题
(2)求证：数列{an}是等比数列，并求an；
规律总结
数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．
考点2 数列的实际应用问题
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案，
方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完．
(1)已知一年期存款的年利率为2.5%，试讨论两种方案哪一种更好？（仅考虑“现值”或“终值”）
【解】　方法一（从终值来考虑）　若全款购置，则25万元10年后的价值为25×(1＋2.5%)10≈32.00（万元），
若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为S＝3×(1＋2.5%)10＋3×(1＋2.5%)9＋…＋3×(1＋2.5%)≈34.44（万元）.
因此，方案一更好．
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1 000元，参照第(1)问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获全部租金的终值．（精确到百元）
参考数据：(1＋2.5%)10≈1.28.
【解】　由题意，设第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，
T＝2×(1＋2.5%)10＋2.1×(1＋2.5%)9＋…＋2.9×(1＋2.5%)，
记1＋2.5%＝q，an＝－0.1n＋3，则
T＝a1q＋a2q2＋…＋a9q9＋a10q10，
qT＝a1q2＋a2q3＋…＋a9q10＋a10q11，
规律总结
1．解决实际应用问题的核心是建立数学模型．
2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
3．注意问题是求什么(n，an，Sn).
注意：
①解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
②在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
③在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
④在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
(1)求{an}的通项公式．
考点3 数列的新定义问题
【例3】　如果n项有穷数列{an}满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i＝1，2，…，n)，那么称有穷数列{an}为“对称数列”．
(1)设数列{bn}是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等差数列，且b2＝3，b5＝5，依次写出数列{bn}的每一项．
【解】　因为数列{bn}是项数为7的“对称数列”，所以b5＝b3＝5，
又因为b1，b2，b3，b4成等差数列，其公差d＝b3－b2＝2，
所以数列{bn}的7项依次为1，3，5，7，5，3，1.
(2)设数列{cn}是项数为2k－1（k∈N*且k≥2）的“对称数列”，且满足|cn＋1－cn|＝2，记Sn为数列{cn}的前n项和．
①若c1，c2，…，ck构成单调递增数列，且ck＝2 025.当k为何值时，S2k－1取得最大值？
②若c1＝2 024，且S2k－1＝2 024，求k的最小值．
【解】　①由c1，c2，…，ck是单调递增数列，数列{cn}是项数为2k－1的“对称数列”且满足|cn＋1－cn|＝2，
可知c1，c2，…，ck构成公差为2的等差数列，ck，ck＋1，…，c2k－1构成公差为－2的等差数列，
因为数列{cn}是“对称数列”，所以S2k－1＝c1＋c2＋…＋c2k－1＝2(c1＋c2＋…＋ck－1)＋ck≥(2k－1)c1－2(k－2)(k－1)－2(k－1)＝
－2k2＋4 052k－2 026，
因为S2k－1＝2 024，故－2k2＋4 052k－2 026≤2 024，
解得k≤1或k≥2 025，所以k≥2 025，
当c1，c2，…，ck构成公差为－2的等差数列时，满足c1＝2 024，且S2k－1＝2 024，此时k＝2 025，所以k的最小值为2 025.
规律总结
数列中的新定义问题的解题步骤
(1)读懂定义，理解新定义数列的含义．
(2)通过特例（一般是前面一些项）寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差数列与等比数列）的关系，进行求解．
【对点训练3】　（2024·江西九江三模）已知数列{an}共有m(m≥2)项，且an∈Z，若满足|an＋1－an|≤1(1≤n≤m－1)，则称{an}为“约束数列”．记“约束数列”{an}的所有项的和为Sm.
(1)当m＝5时，写出所有满足a1＝a5＝1，S5＝6的“约束数列”；
解：当m＝5时，所有满足a1＝a5＝1，S5＝6的“约束数列”有①1，1，2，1，1；②1，1，1，2，1；③1，2，1，1，1.
(2)当m＝2 000，a1＝25时，设p：a2 000＝2 024，
q：“约束数列”{an}为等差数列，请判断p是q的什么条件，并说明理由；
解：p是q的充分不必要条件．理由：
①当a2 000＝2 024时，∵|an＋1－an|≤1(n＝1，2，…，1 999)，∴an＋1－an≤1.
则a2 000＝(a2 000－a1 999)＋(a1 999－a1 998)＋(a1 998－a1 997)＋…＋(a2－a1)＋a1≤1 999＋a1＝2 024，
当且仅当a2 000－a1 999＝a1 999－a1 998＝a1 998－a1 997＝…＝a2－a1＝1时，a2 000＝2 024成立，
∴“约束数列”{an}是公差为1的等差数列．
②当“约束数列”{an}是等差数列时，由|an＋1－an|≤1，得an＋1－an＝1，或an＋1－an＝0，或an＋1－an＝－1，
若an＋1－an＝0，则{an}的公差为0，∴a2 000＝a1＝25；
若an＋1－an＝－1，则{an}的公差为－1，
∴a2 000＝a1－1 999＝－1 974；
若an＋1－an＝1，则{an}的公差为1，
∴a2 000＝a1＋1 999＝2 024，
即当“约束数列”{an}是等差数列时，a2 000＝25或－1 974或2 024.
由①②，得p是q的充分不必要条件．
解：∵a1＝1，a2k＝0，∴要使得|Sm|取最大值，则an≥0，
当且仅当同时满足以下三个条件时，|Sm|取最大值．
①当2≤n≤k时，an－an－1＝1；
②当k＋1≤n≤2k时，an－an－1＝－1；
③当2k＋1≤n≤m时，an－an－1＝1.
课时作业43
第
分
部
二
1．（11分）（2024·河北邢台二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n≥1).
(1)求数列{an}的通项公式；
解：当n＝1时，a1＝2a1－1 a1＝1.
当n≥2时，Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1 an＝2an－1.
所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以an＝2n-1.
因为a1＝1，a1＝a2－1，所以a2＝2，所以an＋2＝n＋2(n≥1)，
所以an＝n(n≥3)，又a1＝1，a2＝2，满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)令bn＝2nan，记Tn为{bn}的前n项和，求证：n≥3时，TnTn－n(2n+1－4)＝(n－1)2n+1＋2－n(2n+1－4)＝－2n+1＋4n＋2，
设f(x)＝－2×2x＋4x＋2，x≥3，则f′(x)＝－2×2x ln 2＋4在给定区间上递减，又f′(3)＝－16×ln 2＋4<0，故f(x)在[3，＋∞）上是减函数，f(x)max＝f(3)＝－24＋4×3＋2＝－2<0，
所以当n≥3时，Tn3．（17分）某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为探究新药的效果，进行了如下的喷洒试验：隔离选取1 000平方米牧草，在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草，200平方米为受害牧草，每三天给受害牧草喷药一次．试验的结论为：每次喷药前的受害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有t%(0(1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值；
(2)求证：在t取(1)中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米．
解：证明：由题设得t＝7，代入①式可得an＋1＝0.13an＋800②.
用待定系数法，设实数λ满足
an＋1＋λ＝0.13(an＋λ)③.
则数列{an＋λ}是公比为0.13的等比数列，通项公式为an＋λ＝(a1＋λ)× 0.13n-1，
解得an＝(a1＋λ)×0.13n-1－λ，
4．（17分）（2024·浙江温州二模）数列{an}，{bn}满足{bn}是等比数列，b1＝2，a2＝5，且a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2(an－3)bn＋8(n∈N*).
(1)求an，bn.
解：∵a1b1＝2(a1－3)b1＋8，b1＝2，∴a1＝2.又a1b1＋a2b2＝2(a2－3)b2＋8，b1＝2，a1＝2，a2＝5，解得b2＝4.
∴bn＝2n.
又a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2(an－3)bn＋8(n∈N*)，
当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2(an－1－3)bn－1＋8，两式作差得anbn＝2(an－3)bn－2(an－1－3)bn－1，
将bn＝2n代入，化简an＝2(an－3)－(an－1－3)，得an－an－1＝3(n≥2)，
∴{an}是公差d＝3的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－1.
(2)求集合A＝{x|(x－ai)(x－bi)＝0，i≤2n，i∈N*}中所有元素的和．
(3)对数列{cn}，若存在互不相等的正整数k1，k2，…，kj(j≥2)，使得ck1＋ck2＋…＋ckj也是数列{cn}中的项，则称数列{cn}是“和稳定数列”．试分别判断数列{an}，{bn}是否是“和稳定数列”．若是，求出所有j的值；若不是，请说明理由.
解：①数列{an}是“和稳定数列”．
当j＝3m(m∈N*)时，ak1＋ak2＋…＋akj＝3(k1＋k2＋…＋kj)－j＝3(k1＋k2＋…＋kj－m)是3的正整数倍，故一定不是数列{an}中的项；
当j＝3m－1(m∈N*)时，ak1＋ak2＋…＋akj＝3(k1＋k2＋…＋kj)－j＝3(k1＋k2＋…＋kj)－(3m－1)＝3(k1＋k2＋…＋kj－m)＋1，不是数列{an}中的项；
当j＝3m＋1(m∈N*)时，ak1＋ak2＋…＋akj＝3(k1＋k2＋…＋kj－m)－1，是数列{an}中的项.
综上，数列{an}是“和稳定数列”，j＝3m＋1(m∈N*).
②数列{bn}不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设1≤k1bkj，且bk1＋bk2＋…＋bkj≤b1＋b2＋…＋bkj＝21＋22＋…＋2kj＝2kj＋1－2<2kj＋1＝bkj＋1，
故bk1＋bk2＋…＋bkj不是数列{bn}中的项，则数列{bn}不是“和稳定数列”．