第七章 7.3　空间直线、平面的平行 课时练作业 ppt

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第七章　立体几何与空间向量
7.3　空间直线、平面的平行
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　直线与平面平行的判定与性质
考点2　平面与平面平行的判定与性质
01
02
课时作业
第三部分
1．理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
2．掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．直线与平面平行
教材回扣
项目 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
a∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面____，那么该直线与交线平行
a∥b
此平面内
a α
b α
a∥b
相交
a∥α
a β
α∩β＝b
2.平面与平面平行
项目 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
相交直线
a β
b β
a∩b＝P
a∥α
b∥α
项目 文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面____，那么两条____平行
相交
交线
α∥β
α∩γ＝a
β∩γ＝b
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
4．若α∥β，a α，则a∥β.
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(　 　)
(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　 　)
(3)如果两个平面平行，且一条直线平行于其中一个平面，则该直线平行于另一平面．(　 　)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行．(　 　)
基础检测
×
×
×
×
2．（人教A版必修第二册P139T3改编）α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是(　 　)
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若m∥α，n α，则m∥n
C．若α∥β，m α，则m∥β
D．若m∥n，m α，n β，则α∥β
解析：若m∥n，n∥α，则m∥α或m α，故A不正确；若m∥α，n α，则m∥n或m与n异面，故B不正确；若α∥β，则α与β没有公共点，又因为m α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确；若m∥n，m α，n β，则α∥β或α与β相交，故D不正确．故选C.
C
3．（人教A版必修第二册P134例1改编）如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AC与平面α交于点M，AB＝4，CD＝6，则MN＝(　 　)
A．4.5 B．5
C．5.4 D．5.5
B
4．（人教A版必修第二册P142T2改编）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　 　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．以上答案都不对
解析：若α内的无数条直线均平行，此时无法推出α∥β，A错误；由面面平行的判定定理知B正确；如图，α，β平行于同一条直线m，但α，β不平行，C错误；D错误．故选B.
B
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 直线与平面平行的判定与性质
命题角度1　直线与平面平行的判定
【例1】　如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．求证：BE∥平面PAD.
【证明】　证法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，
又∵AB∥CD，AB＝2，∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
证法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
证法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，
∴EH∥PD，又EH 平面PAD，PD 平面PAD，∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，BH 平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，∴BE∥平面PAD.
命题角度2　直线与平面平行的性质
【例2】　如图，在三棱柱ABC- A1B1C1中，D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面B1BD与棱A1C1交于点E.求证：BB1∥DE.
【证明】　在三棱柱ABC -A1B1C1中，BB1∥CC1，且BB1 平面AA1C1C，CC1 平面AA1C1C，∴BB1∥平面AA1C1C，又∵BB1 平面B1BD，平面B1BD∩平面AA1C1C＝DE，∴BB1∥DE.
规律总结
1．判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义（无公共点）.
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α).
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β).
2．应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
【对点训练1】　如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，△PAD是以PA为斜边的等腰直角三角形，F，G分别是PB，CD的中点．
(1)求证：GF∥平面PAD；
(2)设E为AB的中点，过E，F，G三点的截面与棱PC交于点Q，指出点Q的位置并证明．
解：如图，Q为PC的中点．证明如下：
因为CG∥BE且CG＝BE，所以四边形BCGE为平行四边形，故EG∥BC，
因为EG 平面PBC，BC 平面PBC，所以EG∥平面PBC，
又EG 平面EFQG，平面EFQG∩平面PBC＝FQ，所以EG∥FQ，
又EG∥BC，所以FQ∥BC，
因为F为PB的中点，所以Q为PC的中点．
考点2 平面与平面平行的判定与性质
【例3】　如图，在六面体ABCDEF中，DE∥CF，四边形ABCD是平行四边形，DE＝2CF.
(1)求证：平面ADE∥平面BCF；
【证明】　由四边形ABCD是平行四边形，得BC∥AD，而AD 平面AED，BC 平面AED，则BC∥平面AED，
由DE∥CF，CF 平面AED，DE 平面AED，得CF∥平面AED，
又BC∩CF＝C，BC，CF 平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF.
(2)若G是棱BC的中点，求证：AE∥FG.
【证明】　延长EF，AG，与DC的延长线分别交于点O1，O2，
由DE∥CF，DE＝2CF，得CO1＝CD，由BC∥AD，G是棱BC的中点，得CO2＝CD，因此点O1，O2重合，记为O，如图所示，显然平面AOE∩平面AED＝AE，平面AOE∩平面BCF＝FG，由(1)知，平面ADE∥平面BCF，所以AE∥FG.
规律总结
1．证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β).
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ).
2．当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，这两条直线必须是两平行平面与第三个平面的交线．
【对点训练2】　如图，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，AB的中点．
(2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值．
解：如图，取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则BE∥RQ，
又RQ 平面PCQ，BE 平面PCQ，则BE∥平面PCQ.
又BM∥平面PCQ，BM，BE 平面BME，且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PCQ，
课时作业47
第
分
部
三
1．（5分）（2024·浙江杭州一模）已知两条不同的直线a，b和平面α，a α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的(　 　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为b∥α，所以存在c α使得b∥c，若a∥b，则a∥c，又a α且c α，所以a∥α，充分性成立；设β∥α，b β，a β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立．故选A.
A
2．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　 　)
A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．若m α，n β，m∥n，则α∥β
C．若m，n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β
D．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β
C
解析：若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，故A错误；若m α，n β，m∥n，则α与β可能相交，故B错误；因为m α，m∥β，所以由线面平行的性质定理可知在β内存在l α，且l∥m，进而可得l∥α，因为m，n是异面直线，n β，所以l与n相交，又n∥α，所以由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能相交，故D错误．故选C.
3．（5分）正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，M是A1D1的中点，点N在棱CC1上，CN＝2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为(　 　)
C
4．（5分）过四棱锥P -ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有(　 　)
A．4条　　 B．5条
C．6条　　 D．7条
C
解析：如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为所在棱的中点，则NE∥PB，且NE 平面PBD，PB 平面PBD，所以NE∥平面PBD，同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行，由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，所以与平面PBD平行的直线有6条．故选C.
5．（5分）如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E， F，M，N分别为棱AB，BC，DD1，D1C1的中点，下列判断正确的是(　 　)
A．直线AD∥平面MNE
B．直线FC1∥平面MNE
C．平面A1BC∥平面MNE
D．平面AB1D1∥平面MNE
D
解析：过点M，N，E的截面如图所示（H，I，J均为所在棱的中点），所以直线AD与其相交于点H，故A错误；直线FC1与直线IJ在平面BCC1B1上必定相交，故B错误；直线A1B与直线EI相交，故平面A1BC与平面MNE不平行，故C错误；易得直线AB1∥直线EI，直线AD1∥直线MH，又因为AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面MNE，故D正确．故选D.
6．（5分）（2024·山东淄博二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．若α∩β＝l，α∩γ＝a，β∩γ＝b，l∥γ，则下列说法正确的是(　 　)
A．a与l相交 B．b与l相交
C．a∥b D．a与β相交
解析：l∥γ，l 平面α，α∩γ＝a，则l∥a，同理可得l∥b，故A，B错误；由l∥a，l∥b可得a∥b，故C正确；由l∥a，a 平面β，l 平面β，得a∥β，故D错误．故选C.
C
7．（6分）（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　 　)
AC
解析：对于A，∵AB∥DE，AB 平面DEF，DE 平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则直线AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
对于C，∵AB∥DF，AB 平面DEF，DF 平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，∴AB∥OD，
∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．故选AC.
8．（6分）（多选）如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD- A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个结论，其中正确的是(　 　)
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
ACD
9．（5分）如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件____________________________时，A1P∥平面BCD.（填一个满足题意的条件即可）
P是CC1的中点（答案不唯一）
解析：如图，取CC1的中点P，连接A1P，∵在直三棱柱ABC- A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，
∵A1P 平面BCD，CD 平面BCD，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD.（答案不唯一）
15
11．（16分）如图，在三棱柱ABC- A1B1C1中，A1C与AC1交于点O，D为棱BC上一点，D1为B1C1的中点，且A1B∥平面ADC1.求证：
(1)A1B∥OD；
证明：由题意，因为A1B∥平面ADC1，
A1B 平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，
所以A1B∥OD.
(2)平面A1BD1∥平面ADC1.
又因为BC∥B1C1，BC＝B1C1，
所以BD＝D1C1，BD∥D1C1，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以BD1∥DC1，
又因为DC1 平面ADC1，BD1 平面ADC1，所以BD1∥平面ADC1，
又A1B∥平面ADC1，A1B∩BD1＝B，A1B 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，
所以平面A1BD1∥平面ADC1.
12．（17分）如图，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为PD，BC的中点，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)求证：l∥AB.
解：证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，
又因为AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
又因为平面PAB∩平面PCD＝l，AB 平面PAB，所以l∥AB.
(2)求证：EF∥平面PAB.
解：存在．如图，取AD的中点N，连接FN，NG，则FN∥AB，因为FN 平面ABE，AB 平面ABE，所以FN∥平面ABE，又因为FG∥平面ABE，且FN∩FG＝F，FN，FG 平面FNG，
所以平面FNG∥平面ABE，
因为平面PAD∩平面ABE＝AE，
平面PAD∩平面FNG＝NG，所以AE∥NG，
因为N为AD的中点，所以G为ED的中点，即EG＝GD，
D
B
15．（5分）如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB＝2，A1P∥平面AEF，则DP长度的最小值是(　 　)
B