第七章 7.4　空间直线、平面的垂直 课时练作业 ppt

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第七章　立体几何与空间向量
7.4　空间直线、平面的垂直
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　直线与平面垂直的判定与性质
考点2　平面与平面垂直的判定与性质
01
02
考点3　垂直关系的综合应用
03
课时作业
第三部分
1．理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
(2)判定定理与性质定理
教材回扣
任意一条
项目 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的____________垂直，那么该直线与此平面垂直
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
a∥b
两条相交直线
m α
n α
m∩n＝P
l⊥m
l⊥n
a⊥ α
b⊥ α
(3)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的____所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，它们所成的角是__；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是__．
射影
0
2．平面与平面垂直
(1)二面角：从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角．在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在两个半平面内分别作________的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的______，二面角的平面角的取值范围是__________．
两个半平面
垂直于棱
平面角
[0，π]
(2)判定定理与性质定理
项目 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的____，那么这条直线与另一个平面垂直
垂线
a α
a⊥β
交线
α⊥β
α∩β＝a
l⊥a
l β
3.空间距离
(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的______，垂线段的长度叫做这个点到该平面的____．
(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的________到另一个平面的距离都____，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
垂线段
距离
任意一点
任意一点
相等
4．垂直、平行关系的相互转化
1．三垂线定理
若平面内的一条直线和平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
若平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(　 　)
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　 　)
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　 　)
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　 　)
基础检测
×
√
×
×
2．（人教A版必修第二册P151例3改编）已知直线a，b和平面α，若a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的(　 　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B
解析：必要性：若a∥α，则存在直线m α，a∥m，由于b⊥α，m α，得b⊥m，因为b⊥m，a∥m，所以b⊥a，必要性成立；充分性：如图，若平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线a，直线B1C1为直线b，满足a∥α，b⊥a，但B1C1∥平面ABCD，即b∥α，充分性不成立．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．故选B.
3．（人教A版必修第二册P158例7改编）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(　 　)
A．平面ABCD B．平面PBC
C．平面PAD D．平面PAB
解析：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD 平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.
C
4．（人教A版必修第二册P162练习T1改编）已知直线a，b，l和平面α，则下列命题正确的是(　 　)
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．若a∥b，a α，b α，a∥α，则b∥α
C．若l⊥a，l⊥b，a α，b α，则l⊥α
D．若a⊥b，a⊥α，则b∥α
解析：若a∥b，a∥α，则可能b α，所以A错误；若a∥b，a α，b α，a∥α，则b∥α，所以B正确；若l⊥a，l⊥b，a α，b α，当a∥b时，l与α不一定垂直，所以C错误；若a⊥b，a⊥α，则可能b α，所以D错误．故选B.
B
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 直线与平面垂直的判定与性质
【例1】　如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.
(1)若D是AC的中点，且DA＝DB，求证：AB⊥CC1；
【解】　证明：∵点B1在底面ABC内的射影是点C，∴B1C⊥平面ABC，
∵AB 平面ABC，∴B1C⊥AB.
在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，
∵BC∩B1C＝C，BC，B1C 平面BCC1B1，
∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1 平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.
【解】　如图，延长BC至点E，使BC＝CE，
连接C1E，则B1C1綉CE，四边形B1CEC1为平行四边形，则C1E綉B1C.
由(1)知B1C⊥平面ABC，
∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE 平面ABC，
∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，
规律总结
证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α；a⊥α，α∥β a⊥β)；③面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
【对点训练1】　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点（不与点A，B重合），AN⊥PM，N为垂足．
(1)若PA＝AM＝BM＝2，Q为PB的中点，求三棱锥Q -ABM的体积；
(2)求证：AN⊥平面PBM；
解：证明：由(1)知AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，
∴PA⊥BM.
又PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，∴AN⊥平面PBM.
(3)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
解：证明：由(2)知AN⊥平面PBM，
∵PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴NQ⊥PB.
考点2 平面与平面垂直的判定与性质
规律总结
1．判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理．
2．面面垂直性质的应用
(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
【对点训练2】　如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．求证：
(1)PE⊥BC；
证明：因为PA＝PD，E为AD中点，所以PE⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，所以PE⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD，所以PE⊥BC.
(2)平面PAB⊥平面PCD.
证明：由(1)知，PE⊥平面ABCD，因为CD 平面ABCD，所以PE⊥CD.
在矩形ABCD中，AD⊥CD.
又因为AD∩PE＝E，AD，PE 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
又AP 平面PAD，所以CD⊥AP.
因为PA⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以PA⊥平面PCD.
因为PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.
考点3 垂直关系的综合应用
【例3】　如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB.
【解】　证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．
∵△PAD为正三角形，
∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，又G为AD的中点，
∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，BG，PG 平面PGB，
∴AD⊥平面PGB.
∵PB 平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)若E为棱BC的中点，则棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
【解】　存在，当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：在△PBC中，EF∥PB.
又EF 平面DEF，PB 平面DEF，
∴PB∥平面DEF.
在菱形ABCD中，GB∥DE，
又DE 平面DEF，GB 平面DEF，
∴GB∥平面DEF，
又PB 平面PGB，GB 平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，而PG 平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD.
规律总结
1．三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
2．对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．
(1)求证：平面PBC⊥平面PAB.
解：存在．过点M作MN⊥PC，垂足为N，如图，连接NB，
由(1)知PA⊥平面ABC，因为MB 平面ABC，所以PA⊥MB，
又M为AC的中点，AB＝BC＝1，
所以MB⊥AC，又PA⊥MB，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，
所以MB⊥平面PAC，又PC 平面PAC，所以MB⊥PC，又MN⊥PC，MB，MN是平面BMN内的两条相交直线，所以PC⊥平面BMN，
课时作业48
第
分
部
三
1．（5分）（2024·山东泰安模拟）已知两条不同的直线m，n和平面α，β，α⊥β，α∩β＝m，则n⊥β的必要不充分条件是(　 　)
A．m∥n B．n∥α
C．m⊥n D．n⊥α
解析：因为α∩β＝m，所以m β，当n⊥β时，由线面垂直的定义可知n⊥m；只有当m⊥n且n α或n∥α时才能得到n⊥β.所以n⊥β的必要不充分条件是m⊥n.故选C.
C
2．（5分）设l1，l2为两条不同的直线，α1，α2为两个不同的平面，下列说法正确的是(　 　)
A．若l1∥α1，l2∥α2，l1⊥l2，则α1⊥α2
B．若l1，l2与α1所成的角相等，则l1∥l2
C．若α1⊥α2，l1∥α1，l2∥α2，则l1⊥l2
D．若α1⊥α2，l1⊥α1，l2⊥α2，则l1⊥l2
D
解析：若l1∥α1，l2∥α2，l1⊥l2，则α1，α2可能相交，也可能平行，故A错误；l1，l2与α1所成的角相等，则l1，l2可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误；若α1⊥α2，l1∥α1，l2∥α2，则l1，l2可能平行、相交或异面，故C错误；若α1⊥α2，l1⊥α1，l2⊥α2，则l1⊥l2，故D正确．故选D.
3．（5分）（2024·天津卷）若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(　 　)
A．若m∥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C.若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交
解析：若m∥α，n∥α，则m与n可能异面、平行或相交，故A，B错误；若m∥α，n⊥α，则m与n垂直，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误．故选C.
C
4．（5分）（2024·山东济南二模）已知正方体ABCD -A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　 　)
A．A1D∥D1B，MN∥平面ABCD
B．A1D∥D1B，MN⊥平面BB1D1D
C．A1D⊥D1B，MN∥平面ABCD
D．A1D⊥D1B，MN⊥平面BB1D1D
C
解析：如图，连接AD1，由已知AB⊥平面ADD1A1，A1D 平面ADD1A1，则AB⊥A1D，又AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1 平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又D1B 平面ABD1，所以A1D⊥D1B，排除A，B；因为M，N分别为AD1，BD1的中点，所以MN∥AB，又MN 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以MN∥平面ABCD，C正确；若MN⊥平面BB1D1D，则MN⊥BD，又MN∥AB，所以AB⊥BD，显然不成立，D错误．故选C.
5．（5分）（2024·四川广安二模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF是△BCD的中位线，AC与EF交于点G，已知△PEF是△CEF绕EF旋转过程中的一个图形﹐且P 平面ABCD.给出下列结论：
①BD∥平面PEF；
②平面PAC⊥平面ABCD；
③“直线PF⊥直线AC”始终不成立．
其中所有正确结论的序号为(　 　)
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
B
解析：由EF是△BCD的中位线，得EF∥BD，而EF 平面PEF，BD 平面PEF，因此BD∥平面PEF，①正确；
如图，连接PG，由菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，得BD⊥AC，则EF⊥AG，EF⊥PG，而AG∩PG＝G，AG，PG 平面PAC，则EF⊥平面PAC，又EF 平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，②正确；显然∠PGA是二面角P- EF -A的平面角，△PEF由△CEF绕EF旋转过程中，∠PGA从180°逐渐减小到0°（不包含180°和0°），当∠PGA＝90°时，AG⊥PG，PG∩EF＝G，PG，EF 平面PEF，则AG⊥平面PEF，而PF 平面PEF，因此PF⊥AG，③错误．故选B.
A．PA1∥平面ABC1D1
B．PB1∥平面ABC1D1
C．PC1⊥平面BDC1
D．PD1⊥平面BDC1
C
PC1⊥C1O，又BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，AC，CC1 平面PC1O，所以BD⊥平面PC1O，又因为PC1 平面PC1O，所以PC1⊥BD，又BD∩C1O＝O，BD，C1O 平面BDC1，所以PC1⊥平面BDC1，故C正确；又因为PC1∩PD1＝P，且过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，所以PD1不垂直于平面BDC1，故D错误．故选C.
7．（6分）（多选）（2024·河北保定三模）已知四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，l为空间内的一条直线，且l 平面ABCD，则下列说法正确的是(　 　)
A．若l∥AB，则l∥平面ABCD
B．若l∥AD，则l∥BC
C．若l⊥AD，l⊥BC，则l⊥平面ABCD
D．若l⊥AB，l⊥CD，则l⊥平面ABCD
AC
解析：因为l∥AB，且AB 平面ABCD，l 平面ABCD，所以l∥平面ABCD，故A正确；因为AD与BC是等腰梯形的腰，二者不平行，故若l∥AD，则l与BC不平行，故B错误；因为直线AD与BC能相交，所以若l⊥AD，l⊥BC，AD 平面ABCD，BC 平面ABCD，则l⊥平面ABCD，故C正确；因为AB∥CD，两者不相交，所以若l⊥AB，l⊥CD，推不出l⊥平面ABCD，故D错误．故选AC.
8．（6分）（多选）（2024·安徽马鞍山三模）已知四棱锥P -ABCD中，PA⊥平面ABCD，则(　 　)
A．若PC⊥BD，则AC⊥BD
B．若AC⊥BD，则PB＝PD
C．若PB＝PD，则AB＝AD
D．若AB＝AD，则PC⊥BD
AC
解析：如图，因为PA⊥平面ABCD，AB，AD，BD 平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BD，若PC⊥BD，且PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，可得BD⊥平面PAC，且AC 平面PAC，所以AC⊥BD，同理，若AC⊥BD，则可得PC⊥BD，由AB＝AD不能推出AC⊥BD，即AB＝AD不能推出PC⊥BD，故A正确，D错误；若PB＝PD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以AB＝AD，反之，若AB＝AD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以PB＝PD，即PB＝PD等价于AB＝AD，由AC⊥BD不能推出AB＝AD，即AC⊥BD不能推出PB＝PD，故B错误，C正确．故选AC.
9.（5分）（2024·陕西咸阳三模）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的序号是______．
①AE⊥CE；②BE⊥DE；③DE⊥平面BCE；④平面ADE⊥平面BCE.
①②④
解析：因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是底面圆的直径，BC，AD都是母线．又E是底面圆周上异于A，B的一点，于是得AE⊥BE，而BC⊥平面ABE，AE 平面ABE，则BC⊥AE.因为BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，则AE⊥平面BCE，因为CE 平面BCE，所以AE⊥CE，①正确；同理可证BE⊥DE，②正确；点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，若DE⊥平面BCE，又AE⊥平面BCE，则与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；因为AE⊥平面BCE，而AE 平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCE，④正确．
10．（5分）如图，在三棱柱ABC- A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件____________________________时，有AB1⊥BC1.（填上一个你认为正确的条件即可）
A1C1⊥B1C1（答案不唯一）
解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，AA1⊥平面ABC，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）
11．（15分）如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E，F分别是AD，BC1的中点，棱长为1.
(1)求证：EF∥平面C1CDD1.
解：证明：如图，取BC的中点M，连接EM，
FM，∵E，F分别是AD，BC1的中点，∴EM∥DC，
FM∥C1C，
又EM 平面EFM，FM 平面EFM，EM∩FM＝M，DC 平面C1CDD1，C1C 平面C1CDD1，DC∩C1C＝C，
∴平面EFM∥平面C1CDD1，又EF 平面EFM，∴EF∥平面C1CDD1.
(2)在线段A1B上是否存在点G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求点G到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由．
解：存在．
如图，取A1B的中点G，连接EG，AG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G为A1B的中点，
∴EG⊥A1B，连接FG，则FG∥A1C1，
∵正方体棱长为1，
12．（15分）如图，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，M，O分别为AA1，BC1的中点．求证：
(1)MO∥平面ABC；
证明：如图，取BC的中点D，连接OD，AD，
(2)MO⊥平面B1BCC1.
证明：因为ABC -A1B1C1为正三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC，因为AD 平面ABC，所以BB1⊥AD，
因为△ABC为等边三角形，所以AD⊥BC，
又BB1∩BC＝B，BB1，BC 平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1，
又MO∥AD，所以MO⊥平面B1BCC1.
ABD
13．（6分）（多选）如图，在三棱柱ABC- A1B1C1中，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠A1AC＝∠ACB，P为线段BB1的中点，N为线段A1B1上靠近B1的三等分点，则(　 　)
A．AC⊥BC
B．AC⊥CB1
C．AC⊥平面NPC
D．平面ACP⊥平面BCC1B1
解析：因为∠CAB＝∠CBA＝45°，故∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，A正确；因为∠A1AC＝∠ACB＝90°，所以侧面AA1C1C为矩形，故AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1 平面CC1B1B，所以AC⊥平面CC1B1B，而CB1 平面CC1B1B，故AC⊥CB1，B正确；平面NPC与平面CC1B1B不平行，所以AC平面NPC不垂直，C错误；因为AC 平面ACP，AC⊥平面CC1B1B，所以平面ACP⊥平面CC1B1B，D正确．故选ABD.
14．（6分）（多选）（2024·山东聊城二模）已知四棱锥P -ABCD的底面ABCD是正方形，则下列关系能同时成立的是(　 　)
A．“AB＝PB”与“PB＝BD”
B．“PA⊥PC”与“PB⊥PD”
C．“PB⊥CD”与“PC⊥AB”
D．“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”
BC
解析：当AB＝PB时，底面ABCD是正方形，AB≠DB，所以PB＝BD不成立，故A错误；如图，设底面正方形的中心为O，则P在以O为球心，以OA为半径的球面（不包括平面ABCD内的点）上时可符合题意，故B正确；当平面PBC⊥底面ABCD时，由面面垂直的性质可知AB⊥平面PBC，DC⊥平面PBC，显然符合题意，故C正确；先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，
BCD
解析：由题意可知，M是BD的中点，所以A，M，C三点共线，所以点C∈AM 平面AMN，所以CF∩平面AMN＝C，则直线CF与平面AMN不平行，故A错误；因为AD⊥平面ABF，BF 平面ABF，所以AD⊥BF，且BF⊥AF，AD∩AF＝A，AD，AF 平面ADF，所以BF⊥平面ADF，又BF 平面DBF，所以平面DBF⊥平面ADF，又平面ADF∩平面DBF＝DF，AN⊥DF，AN 平面ADF，所以AN⊥平面DBF，故B正确；由AN⊥平面DBF，DB 平面DBF，所以AN⊥DB，因为轴截面ABCD为正方形，M是BD的中点，所以AM⊥DB，又AM∩AN＝A，AM，AN 平面AMN，所以DB⊥平面AMN，故C正确；连接MF（图略），因为BF⊥平面ADF，DF 平面