第七章 7.5　几何法求空间角和距离 课时练作业 ppt

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第七章　立体几何与空间向量
7.5　几何法求空间角和距离
数学
内容索引
关键能力提升
第一部分
考点1　求距离
考点2　求线面角
01
02
考点3　求二面角
03
课时作业
第二部分
1．理解空间角和空间距离的概念．
2．会利用几何法求线面角、二面角、距离．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
一
考点1 求距离
【例1】　(1)如图，在四棱锥P -ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(　 　)
A
D
规律总结
1．求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形或等面积法求解．
2．求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解；若不易作出点面距，可借助等体积法求解．
(1)求证：BM∥平面CDE；
解：证明：由题意知MD＝2，BC＝2，MD∥BC，所以四边形BCDM为平行四边形，故BM∥CD，又因为BM 平面CDE，CD 平面CDE，所以BM∥平面CDE.
(2)求M到平面FAB的距离．
考点2 求线面角
B
规律总结
求线面角的三个步骤
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．
考教衔接
三余弦定理
1．链接教材：(人教B版选择性必修第一册P45尝试与发现)
如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM.记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ.
那么cos θ＝cos θ1cos θ2.(证明略)
即斜线与平面内一条直线夹角θ的余弦值等于斜线与平面所成角θ1的余弦值乘射影与平面内直线夹角θ2的余弦值．(为了便于记忆，可设θ为斜线角，θ1为线面角，θ2为射影角)
2．定理说明：这三个角中，角θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积．斜线与平面所成角θ1是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．　
【典例】　(1)正四面体ABCD中，O为△BCD的重心，则cos ∠ABO＝__．
方法二　如图，由三余弦定理，得
cos ∠ABD＝cos ∠ABO·cos ∠OBD，
显然∠ABD＝60°，∠OBD＝30°，所以
45°
考点3 求二面角
【例3】　(2024·河南郑州三模)在四面体ABCP中，平面ABC⊥平面PAC，△PAC是直角三角形，PA＝PC＝4，AB＝BC＝3，则二面角A- PC- B的正切值为(　 　)
A
规律总结
作二面角的平面角的方法
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
考教衔接
射影面积法求二面角
1．链接教材：(人教B版选择性必修第一册P50尝试与发现)
如图所示，设S为二面角α -AB- β的半平面α上的一点，过点S作半平面β的垂线SS′，垂足为S′，设O为棱AB上一点．如果二面角α- AB- β的大小为θ，则可以看出△S′AB与△SAB在AB边上的高之比为cos θ，因此这两个三角形的面积之比也为cos θ.
2．定理说明：这个方法对于无棱二面角的求解很简便.　
【典例】　已知△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝
∠DBC＝120°，则二面角A -BD- C的余弦值为____．
【解析】　如图，过A作AE⊥CB交CB的延长线于E，连接DE.
【对点训练3】　在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体PABC为鳖臑，且PA＝AB，AC＝BC，记二面角A PB C的平面角为θ，则sin θ＝(　 　)
C
解析：由题意设PA⊥AB，PA⊥AC，BC⊥AC，BC⊥PC，取PB的中点M，过点M作MN⊥PB交PC于点N，连接AM，AN，如图所示．
课时作业49
第
分
部
二
A
1． (5分)如图，已知在长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，那么直线A1C与平面AA1D1D所成角的正弦值为(　 　)
2．(5分)正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为a，则棱BB1到平面AA1C1C的距离为(　 　)
C
3． (5分)如图，已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱AB的中点，则点A到平面EB1C的距离为(　 　)
C
4．(5分)已知在三棱锥S- ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且△ABC为等边三角形，则二面角S -AB -C的正切值为(　 　)
B
D
6．(5分)(2024·广东梅州模拟)已知二面角α -l- β为60°，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，且AC＝3，CD＝1，DB＝2，则线段AB的长为(　 　)
A
ABC
8．(6分)(多选)在正方体ABCD- A1B1C1D1中，下列选项中正确的是(　 　)
A．A1C1⊥BD
B．B1C与BD所成的角为60°
C．二面角A1 -BC -D的平面角为30°
D．AC1与平面ABCD所成的角为45°
AB
解析：如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，可得A1C1∥AC，在正方形ABCD中，可得AC⊥BD，所以A1C1⊥BD，所以A正确；在正方体ABCD A1B1C1D1中，可得B1D1∥BD，所以异面直线B1C与BD所成的角，即为B1C与B1D1所成的角，即∠D1B1C或其补角，因为△D1B1C为等边三角形，所以∠D1B1C＝60°，所以B正确；在正方体ABCD -A1B1C1D1中，可得BC⊥平面ABB1A1，因为AB，A1B 平面ABB1A1，所以BC⊥AB，BC⊥A1B，所以∠A1BA为二面角A1 BC D的平面角，在等腰直角三角形A1AB中，可得∠A1BA＝45°，即二面角A1 BC D的平面角为45°，所以C错误；在正方体ABCD -
9．(5分)在正三棱柱ABC -A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，则直线BC′与平面
ABB′A′所成角的正弦值为_____．
10．(5分)在正三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则直线AA1到平面BB1C1C的距离为_____．
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
12．(16分)已知四棱锥P -ABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形．
(1)求证：PD⊥平面PAB；
解：(1)证明：如图，取AB的中点E，连接PE，DE.
∵AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形，
BE＝CD.
∵EB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝CB＝2，DE∥CB.
∵BC⊥CD，∴AB⊥ED.
∵PE∩ED＝E，PE，ED 平面PED，
∴AB⊥平面PED.
∵PD 平面PED，∴AB⊥PD.
∵DE2＝PD2＋PE2，∴PD⊥PE.
∵AB∩PE＝E，AB，PE 平面PAB，
∴PD⊥平面PAB.
(2)求二面角P- CB -A的余弦值．
解：如图，过点P作PO⊥ED于点O，过点O作OH⊥CB于点H，连接PH.
由(1)知AB⊥平面PED，又AB 平面ABCD，∴平面PED⊥平面ABCD.
∵平面PED⊥平面ABCD，平面PED∩平面ABCD＝ED，PO 平面PED，∴PO⊥平面ABCD，
∵BC 平面ABCD，∴PO⊥BC，
∵PO∩OH＝O，PO，OH 平面POH，
∴BC⊥平面POH，又PH 平面POH，
∴BC⊥PH，则∠PHO为二面角P -CB- A的平面角．
13．(5分)已知正四棱锥S -ABCD侧面和底面的棱长都为4，P为棱BC上的一个动点，则点P到平面SAD的距离是(　 　)
D
14．(6分)(多选)(2024·河北保定二模)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，CF＝EF＝2DF＝2，AE＝3，将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A′D′的位置，且平面A′D′FE⊥平面BCFE，连接A′B，D′C，如图2，则(　 　)
A．BE⊥A′D′
B．平面A′EB∥平面D′FC
C．多面体A′EBCD′F为三棱台
ABD
AD