第七章 7.6　空间向量与立体几何 课时练作业 ppt

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第七章　立体几何与空间向量
7.6　空间向量与立体几何
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　空间向量的线性运算及共线、共面定理
考点2　空间向量的数量积及其应用
01
02
考点3　利用向量法解决平行、垂直问题
03
课时作业
第三部分
高考创新方向 理解新定义
04
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．
3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．空间向量及其有关概念
教材回扣
名称 定义
共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线________或____，那么这些向量叫做共线向量或________
共面向量 ______同一个平面的向量，叫做共面向量
共线向 量定理 对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使____________
互相平行
重合
平行向量
平行于
a＝λb
名称 定义
共面向 量定理 如果两个向量a，b______，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在____的有序实数对(x，y)，使p＝_________
空间向量 基本定理 如果三个向量a，b，c______，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组______________，使得p＝xa＋yb＋zc
不共线
唯一
xa＋yb
不共面
(x，y，z)
2.空间向量及其运算的坐标表示
(1)空间向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝______________________，a－b＝__________________________，λa＝__________________，λ∈R，a·b＝________________________．
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
3．用空间向量研究直线、平面的位置关系
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　 　)
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(　 　)
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　 　)
基础检测
√
×
√
×
B
3．(人教A版选择性必修第一册P12T1改编)已知空间向量a＝(1，0，3)，b＝(2，1，0)，c＝(5，2，z)，若a，b，c共面，则实数z的值为(　 　)
A．0　　　 B．1
C．2　　　 D．3
D
4．(人教B版选择性必修第一册P39例1改编)若直线l的方向向量a＝(1，0，1)，平面β的法向量n＝(1，1，－1)，则(　 　)
A．l β B．l⊥β
C．l∥β D．l β或l∥β
解析：因为a·n＝1－1＝0，所以a⊥n，所以l β或l∥β.故选D.
D
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 空间向量的线性运算及共线、共面定理
C
(2)(多选)下列选项中正确的是(　 　)
B．若p与a，b共面，则存在实数x，y，使p＝xa＋yb
C．若向量a，b所在的直线是异面直线，则向量a，b一定不共线
D．若a，b，c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc
AC
规律总结
1．用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在空间中，向量加法的三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
2．应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
A
(2)(多选)如图，平面ABC内的小方格均为边长是1的正方形，A，B，C，D，E，F均为正方形的顶点，P为平面ABC外一点，则(　 　)
ABD
考点2 空间向量的数量积及其应用
C
A
规律总结
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
B
(2)如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD- A1B1C1D1中， M为A1C1与B1D1的交点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则BM的长为(　 　)
C
考点3 利用向量法解决平行、垂直问题
【例3】　如图，在直三棱柱ABC- A1B1C1中，∠ABC＝90°，
BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G
分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：
(1)平面A1B1D⊥平面ABD；
【证明】易得BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，
BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示
的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，
4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)，C1(0，2，4).
(2)平面EGF∥平面ABD.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
因为EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.
又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD.
规律总结
1．利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
2．向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
【对点训练3】　如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．求证：
(1)BM∥平面ADEF；
证明：根据题意可知平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥ED，ED 平面ADEF，
(2)BC⊥平面BDE.
高考创新方向 理解新定义
CD
创新解读
本题属于新定义理解问题，解题过程中需将直线方程表示为给出的公式形式，从而找到直线经过的定点和方向向量，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决新定义问题的能力，体现新高考的趋势和变化．
课时作业50
第
分
部
三
1．（5分）已知a＝(2，2，1)，b＝(－1，－1，k)，且a⊥2b，则k的值为(　 　)
A．5 B．－5
C．3 D．4
解析：由题意可得2b＝(－2，－2，2k)，则a·2b＝－4－4＋2k＝0，解得k＝4.故选D.
D
2．（5分）已知点A(a，－3，5)，B(0，b，2)，C(2，7，－1)，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是(　 　)
A．－2，3 B．－1，2
C．1，3 D．－2，2
D
3．（5分）若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则a，b的夹角的余弦值为(　 　)
C
D
A
6．（5分）如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与AD1垂直的直线MN(　 　)
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条
C．有且仅有3条 D．有无数条
D
7．（5分）如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，G，E，F分别是棱A1B1，CC1和AB的中点，点D是线段AC上的动点（不包括端点）.若GD⊥EF，则线段AD的长为(　 　)
A
8．（6分）（多选）下列说法正确的是(　 　)
A．若向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面
BD
10．（5分）已知点P(0，2，0)，O(0，0，0)，A(1，2，4)，B(－1，2，
4)，过点P作PH⊥平面OAB，H为垂足，则点H的坐标是________ ．
11．（15分）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，G为线段AF的中点．
12．（18分）如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中， E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：
(1)A1D∥平面BCC1B1；
(2)EF⊥A1D.
B
13．（5分）（2024·山东济南二模）如图所示，正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列说法正确的是(　 　)
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
解析：在正方体ABCD- A1B1C1D1中，DD1∥CC1，直线AF与直线CC1不垂直，所以直线AF与直线DD1不垂直，故A错误；如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，E(1，2，0)，F(0，2，1)，G(2，2，1)，A1(2，0，2)，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
2
解析：在Rt△ABC中，因为DE∥BC，故DE⊥AC，故在四棱锥A1 DEBC中，有BC⊥CD，DE⊥A1D，DE⊥CD，而A1D∩CD＝D，故DE⊥平面A1CD.因为A1C 平面A1CD，所以DE⊥A1C，而DE∥BC，故A1C⊥BC，而A1C⊥CD，故以C为原点，CD，CB，CA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
ACD