第七章 微专题六　立体几何中的翻折、探索性和最值、范围问题 课时练作业 ppt

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微专题六　立体几何中的翻折、探索性
和最值、范围问题
数学
内容索引
关键能力提升
第一部分
考点1　翻折问题
考点2　探索性问题
01
02
课时作业
第二部分
考点3　最值、范围问题
03
1．会用向量法探究空间几何体中线、面的位置关系、角的存在条件与折叠问题．
2．会用几何法或向量法解决立体几何中的最值、范围问题．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
一
考点1 翻折问题
【例1】　（2024·山东潍坊二模）如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝60°，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，连接BD，CD，且BD＝4，如图2.
(1)求证：图2中的平面ADE⊥平面ABCE；
【解】　证明：如图，连接BE，由题意得AD＝DE＝2，
∠ADE＝60°，∠BCE＝120°，则△ADE为等边三角形，
则DE2＋BE2＝BD2，AE2＋BE2＝AB2，所以BE⊥DE，BE⊥AE.
又AE∩DE＝E，AE，DE 平面ADE，所以BE⊥平面ADE.
又BE 平面ABCE，所以平面ADE⊥平面ABCE.
规律总结
翻折问题的解题策略
(1)弄清翻折过程中的“数量变化”，即哪些线段的长度、角的大小发生了变化，变成了多少，哪些没有发生变化，依然是原来的大小．
(2)弄清翻折过程中的“性质变换”，即翻折过程中哪些“平行关系”“垂直关系”发生了变化，哪些没有发生变化．
(3)弄清了(1)(2)两个基本问题后，就可以把问题转化为基本立体几何问题，然后求解即可．
(1)求证：FG⊥平面ABD；
解：证明：如图，连接CE，交AD于点O，则O为CE，AD的中点，连接GO.在菱形ACDE中，CE⊥AD，因为AB⊥平面ACDE，CE 平面ACDE，所以CE⊥AB，
解：在菱形ACDE中，因为AC＝AD，所以△ACD和△ADE都是正三角形．
取ED的中点H，连接AH，则AH⊥AC.
又AB⊥平面ACDE，所以AB⊥AC，AB⊥AH，即AB，AC，AH两两垂直．
以A为坐标原点，AB，AC，AH所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
考点2 探索性问题
(1)求证：平面PBC⊥平面PAB.
【解】　存在．PE∶ED＝1∶2.因为BC⊥平面PAB，BC∥AD，所以AD⊥平面PAB.
又因为PA，AB 平面PAB，所以AD⊥PA，AD⊥AB，又PA⊥AB，
所以AB，AD，AP两两互相垂直，
规律总结
1．对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题．
2．对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，求出参数的值．
【对点训练2】　（2024·福建泉州模拟）如图，棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，E，F分别为CB1和CA1的中点．
(1)求证：EF∥平面ABB1A1.
解：证明：由E，F分别为CB1和CA1的中点，得EF∥A1B1，而A1B1 平面ABB1A1，EF 平面ABB1A1，所以EF∥平面ABB1A1.
解：棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，如图，取AB的中点O，A1B1的中点M，连接OC，OM，则OM∥AA1，OM⊥平面ABC，而OB，OC 平面ABC，则OM⊥OB，OM⊥OC.
考点3 最值、范围问题
(2)设二面角B -AE- C的大小为θ，求cos θ的取值范围．
规律总结
在动态变化过程中产生的体积、距离、角的最值（范围）问题的常用思路
(1)借助几何特征直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．
(2)借助极限思想：从特殊位置、特殊关系出发获得最值（范围）.
(3)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值（范围），在求解过程中常常利用“基本不等式”“二次函数”“导数”等求得目标函数的最值（范围）.
【对点训练3】　（2024·安徽合肥模拟）如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝1，AA1＝AB＝2，M为棱DD1的中点．
(2)过A1M作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围．
课时作业52
第
分
部
二
1．（15分）（2024·河南濮阳模拟）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD的中点，AE与BD相交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P 平面ABCE）.
(1)求证：平面POB⊥平面PBC.
解：证明：如图，在原图中连接BE.由于AB∥DE，AB＝DE，所以四边形ABED是平行四边形．
由于AB＝AD，所以四边形ABED是菱形，所以AE⊥BD.
由于AB∥CE，AB＝CE，所以四边形ABCE是平行四边形，
所以BC∥AE，所以BC⊥BD.
在翻折过程中，AE⊥OP，AE⊥OB保持不变，
即BC⊥OP，BC⊥OB保持不变．
由于OP∩OB＝O，OP，OB 平面POB，
所以BC⊥平面POB.
由于BC 平面PBC，所以平面POB⊥平面PBC.
以O为原点，分别以OE，OB，OP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
(1)求证：PB⊥AC.
解：证明：如图，记AC∩BD＝O，连接OP，由四边形ABCD是正方形，得O是AC的中点，
由PA＝PC，得OP⊥AC，又BD⊥AC，OP，BD 平面PBD，OP∩BD＝O，所以AC⊥平面PBD.
又PB 平面PBD，所以PB⊥AC.
(2)若PB＝PD，求二面角P- AC- M的大小．
(3)在(2)的前提下，在侧棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面MAC？若存在，求出PC∶PN的值；若不存在，请说明理由．
(1)求证：AC⊥平面PBM；
所以AM⊥BM，即AC⊥BD，
翻折后可得AC⊥BM，AC⊥PM.
又PM∩BM＝M，PM，BM 平面PBM，
故AC⊥平面PBM.
(2)求三棱锥P -ACQ体积的最大值；
(3)当三棱锥P- ACQ的体积最大时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
解：由(2)得当三棱锥P ACQ的体积最大时，点P到平面ABC的距离为PM＝1，即PM⊥平面ABC，故PM⊥AC，PM⊥MB，
又AC⊥BM，
故MA，MB，MP两两垂直．
以M为原点，MA，MB，MP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
解：证明：设平面PAB∩平面PCD＝l.
由于AB∥DC，AB 平面PDC，CD 平面PDC，
因此AB∥平面PDC，而AB 平面APB，平面PAB∩平面PCD＝l，
因此AB∥l，易知AB⊥PE，因此l⊥PE.
又平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD＝l，PE 平面PAB，因此PE⊥平面PDC.而PF 平面PDC，因此PE⊥PF.
故△PEF是直角三角形．
(2)求四棱锥P- ABCD体积的最大值；
解：由于PE⊥PF，EF＝1，因此P是以EF为直径的半圆上的点．
而AB⊥EF，AB⊥PE，PE∩EF＝E，PE，EF 平面PEF，
因此AB⊥平面PEF.
而AB 平面ABCD，
因此平面PEF⊥平面ABCD.
(3)求平面PEF与平面PBC的夹角的余弦值的范围．
解：如图，设EF的中点为O，过O作垂直于EF的直线m.
设平面PEF与平面PBC的夹角为θ.
以O为原点，直线OE，m，过O且垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、