第三章 3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 课时练作业 ppt

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第三章　一元函数的导数及其应用
3.1　导数的概念及其意义、
导数的运算
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　导数的概念
考点2　导数的运算
01
02
考点3　导数的几何意义
03
课时作业
第三部分
04
高考创新方向 多想少算
1．了解导数的概念，理解导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数．
2．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作_______或__________．
教材回扣
f′(x0)
y′|x＝x0
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的____，相应的切线方程为________________________．
斜率
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3．基本初等函数的导数公式
0
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝__________
f(x)＝sin x f′(x)＝_________
f(x)＝cos x f′(x)＝___________
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝__________
f(x)＝ex f′(x)＝_____
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝_____
f(x)＝ln x f′(x)＝__
αxα-1
cos x
－sin x
ax ln a
ex
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝____________．
(2)[f(x)g(x)]′＝___________________．
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cf′(x)
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
yu′·ux′
1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．
2．曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
教材拓展
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．(　 　)
(2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x．(　 　)
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　 　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　 　)
基础检测
√
×
×
×
3xe-3xln 3－3x+1e-3x
4．(人教A版选择性必修第二册P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝a ln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝____．
2e
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 导数的概念
【例1】　已知f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
规律总结
D
考点2 导数的运算
【例2】　求下列函数的导数．
(1)f(x)＝x2ex；
【解】　f′(x)＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.
(4)f(x)＝ln (1－2x).
规律总结
求导数的几种情况
(1)乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(5)三角形式：先利用三角函数公式化简，再求导．
(6)复合函数形式：确定复合关系，由外向内或由内向外逐层求导．
【对点训练2】　(1)设f′(x)是f(x)的导函数，已知f(x)＝2f′(1)x－x2＋ln x＋1，则f(1)＝(　 　)
D
(2)(多选)下列求函数的导数正确的是(　 　)
ABC
考点3 导数的几何意义
命题角度1　求曲线的切线方程
A
(2)过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为(　 　)
A．y＝x B．y＝2x
【解析】　由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2，设切点坐标为(t，et-2＋1)，可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)，把(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A.
A
命题角度2　求参数
【例4】　(2024·河北保定三模)已知二次函数y＝ax(x－b)(b≠0，且b≠1)的图象与曲线y＝ln x交于点P，与x轴交于点A(异于原点O)，若曲线y＝ln x在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为(　 　)
B
命题角度3　公切线问题
【例5】　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝_______．
ln 2
规律总结
1．求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
3．公切线问题应根据两条曲线在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程(组)求解．
C
(2)(2024·福建漳州一模)若曲线y＝aex-2＋x在点(2，2＋a)处的切线方程为y＝4x＋b，则a＋b＝(　 　)
A．3 B．－3
C．0 D．1
C
(3)若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝(　 　)
A．－1 B．1
C．2 D．e
C
高考创新方向 多想少算
【例】　(2024·浙江温州一模)已知0C
创新解读
本题通过切线斜率考查导数的几何意义，判断选项C，D是否正确的关键是根据tan xi＝xi(i＝1，2，3)构造tan x＝x，通过转化思想和数形结合思想分析，将计算问题转化为图象问题，减少计算量，体现新高考的变化趋势．
课时作业17
第
分
部
三
B
C
解析：因为f′(x)＝3f′(1)－2x，令x＝1，得f′(1)＝3f′(1)－2 f′(1)＝1.故选A.
A
4．（5分）（2024·河北保定三模）曲线y＝f(x)＝ex－3x在点(0，f（0)）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　 　)
C
5．（5分）已知函数f(x)＝ln x＋x，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，则切点P的坐标为(　 　)
B
6．（5分）（2024·浙江绍兴二模）曲线y＝f(x)＝x＋a ln x在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　 　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
A
7．（6分）（多选）下列求导运算正确的是(　 　)
A．(ex)′＝ex
ABD
8．（6分）（多选）（2024·湖南长沙二模）下列函数的图象与直线y＝x＋1相切的有(　 　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝sin x＋1 D．y＝x3＋1
AC
10．（5分）写出与函数f(x)＝sin x在x＝0处有公共切线的一个函数g(x)＝____________________．
解析：由题知f(0)＝0，f′(x)＝cos x，f′(0)＝1，若g(x)与f(x)在x＝0处有公共切线，需满足g(0)＝0，g′(0)＝1即可，取g(x)＝x2＋x，则g′(x)＝2x＋1，显然满足g(0)＝0，g′(0)＝1.（答案不唯一）
x2＋x（答案不唯一）
11．（16分）求下列函数的导数：
(1)y＝(2x＋3)10；
解：y′＝10(2x＋3)9·(2x＋3)′＝20(2x＋3)9.
(2)y＝e2x+1；
解：y′＝e2x+1·(2x＋1)′＝2e2x+1.
(3)y＝ln (3x－2)；
(4)y＝sin 4x.
解：y′＝cos 4x·(4x)′＝4cos 4x.
12．（17分）已知函数f(x)＝x3－3x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f（1)）处的切线方程；
解：因为f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，所以f′(1)＝0，所以切线斜率为0，
又因为f(1)＝13－3×1＝－2，所以切点坐标为(1，－2)，
故曲线y＝f(x)在点(1，f（1)）处的切线方程为y＋2＝0.
(2)求曲线y＝f(x)过点(2，－6)的切线方程．
13．（5分）（2024·湖南娄底一模）若直线ex－4y＋eln 4＝0是指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）图象的一条切线，则底数a＝(　 　)
D
14．（5分）（2024·河北沧州模拟）已知直线l：y＝kx是曲线y＝f(x)＝ex+1和y＝g(x)＝ln x＋a的公切线，则实数a＝__．
3
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