第三章 3.2　导数与函数的单调性 课时练作业 ppt

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第三章　一元函数的导数及其应用
3.2　导数与函数的单调性
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　不含参函数的单调性
考点2　含参函数的单调性
01
02
考点3　函数单调性的应用
03
课时作业
第三部分
1．理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性．
2．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)内，如果______________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果______________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．
2．利用导数判断函数f(x)单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的定义域和导数f′(x)；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
教材回扣
f′(x)>0
f′(x)<0
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解．
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(　 　)
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　 　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　 　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　 　)
基础检测
×
√
×
√
2．（人教A版选择性必修第二册P87T3改编）函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是(　 　)
A．f(x)在(－3，1)上单调递增
B．f(x)在(1，3)上单调递减
C．f(x)在(2，4)上单调递减
D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增
解析：当x∈(－3，0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－3，0)上单调递减，当x∈(0，2)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，2)上单调递增，当x∈(2，4)时，f′(x)<0，故f(x)在(2，4)上单调递减，当x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上单调递增，显然C正确，其他选项错误．故选C.
C
3．（人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T2改编）函数f(x)＝x3＋2x2－4x
的单调递增区间是__________________________．
4．（人教A版选择性必修第二册P89T2改编）若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是____________．
解析：由题知f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.
[－3，0]
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 不含参函数的单调性
【例1】　（2024·湖南怀化二模）已知f(x)＝2x2－3x－ln x，则f(x)的单调递增区间为______________．
(1，＋∞)
规律总结
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是单调性应在函数的定义域内讨论；二是多个单调性相同的单调区间之间不能用并集，要用“，”或“和”隔开．
D
(2)（多选）（2024·山西晋城一模）若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　 　)
A．函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞）上纯粹递增
B．函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增
C．函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减
D．函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减
BC
解析：若f(x)＝x2－2x，则f′(x)＝2x－2，因为f′(1)＝0，所以A错误．若f(x)＝x3－2x，则f′(x)＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f′(x)>0恒成立，所以B正确．若f(x)＝sin x－2x，则f′(x)＝cos x－2<0，所以C正确．若f(x)＝ex－3x，则f′(x)＝ex－3<0在[0，2]上不恒成立，所以D错误．故选BC.
考点2 含参函数的单调性
【例2】　已知函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x，其中a>0，讨论f(x)的单调性．
规律总结
1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数值为零的点和函数的间断点．
3．若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内．
【对点训练2】　已知曲线y＝f(x)＝aex－x＋b在x＝0处的切线过点(1，a2＋2a－1).
(1)试求b－a2的值；
解：函数f(x)＝aex－x＋b，求导得f′(x)＝aex－1，则f′(0)＝a－1，而f(0)＝a＋b，因此曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－a－b＝(a－1)x，即y＝(a－1)x＋a＋b.
依题意，a2＋2a－1＝a－1＋a＋b，所以b－a2＝0.
(2)讨论f(x)的单调性．
解：由题意知函数f(x)＝aex－x＋a2，其定义域为R，求导得f′(x)＝aex－1.
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，由f′(x)＝aex－1＝0，得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
当x>－ln a时，f′(x)>0，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增．
所以当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
考点3 函数单调性的应用
命题角度1　求参数的取值范围
D
命题角度2　比较大小或解不等式
A
(2)已知f(x)＝sin x－x＋1，则不等式f(m2)＋f(3m＋2)>2的解集为(　 　)
A．(－3，0)
B．(－2，－1)
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B
【解析】　令g(x)＝f(x)－1＝sin x－x，则g′(x)＝cos x－1≤0，所以函数g(x)在R上单调递减，因为g(－x)＝－sin x＋x＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，由f(m2)＋f(3m＋2)>2，得f(m2)－1>－f(3m＋2)＋1＝－[f(3m＋2)－1]，即g(m2)>－g(3m＋2)＝g(－3m－2)，所以m2<－3m－2，解得－22的解集为(－2，－1).故选B.
规律总结
1．根据函数单调性求参数的方法
(1)f(x)在(a，b)上为增（减）函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′（x)≤0），且在(a，b)的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0（或f′(x)<0）在该区间上存在解集．
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解（需验证解附近左右两侧导数是否异号）.
2．利用导数比较大小或解不等式，其关键是判断已知（或构造后的）函数的单调性，利用其单调性比较大小或解不等式．
考教衔接
泰勒展开式
1．教材母题：（人教A版必修第一册P256T26）
英国数学家泰勒给出如下公式：
2．常见的泰勒展开式
3．泰勒展开式将各种类型的函数（指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数等）与多项式函数联系起来，这样在局部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们主要用其比较大小．　
A
C
(2)已知函数f(x)＝x－sin x，则不等式f(x＋1)＋f(1－2x)>0的解集是__________．
解析：因为函数f(x)＝x－sin x，所以f(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，即函数f(x)是定义在R上的奇函数．
又f′(x)＝1－cos x≥0，则函数f(x)为增函数，则不等式f(x＋1)＋f(1－2x)>0等价于f(x＋1)>－f(1－2x)＝f(2x－1)，即x＋1>2x－1，解得x<2，所以原不等式的解集为(－∞，2).
(－∞，2)
课时作业18
第
分
部
三
1．（5分）函数f(x)＝1＋x－sin x(　 　)
A．在(0，2π)上是增函数
B．在(0，2π)上是减函数
C．在(0，π)上单调递增，在(π，2π)上单调递减
D．在(0，π)上单调递减，在(π，2π)上单调递增
解析：∵f(x)＝1＋x－sin x，∴f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，2π)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，2π)上单调递增．故选A.
A
2．（5分）设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为(　 　)
C
解析：由题图可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以y＝f′(x)<0在(－∞，0)上恒成立，故B，D错误；函数f(x)在(0，＋∞)上先递减后递增再递减，所以y＝f′(x)在(0，＋∞)上应为负、正、负的趋势，故A错误，C正确．故选C.
D
B
A
B
7．（6分）（多选）已知函数f(x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　 　)
A．(－1，0) B．(－2，－1)
C．(－1，3) D．(3，4)
解析：f′(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex＝(x2－2x－3)ex，令f′(x)>0，可得x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)，所以f(x)在(－2，－1)与(3，4)上单调递增．故选BD.
BD
AC
9．（5分）函数y＝ex－5x的单调递增区间为________________．
解析：因为y＝ex－5x，所以y′＝(ex－5x)′＝ex－5，令y′＝ex－5>0，解得x>ln 5，所以y＝ex－5x的单调递增区间为(ln 5，＋∞).
(ln 5，＋∞)
[0，1）
11．（18分）已知函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，a∈R.
(1)若f′(0)＝1，求实数a的值；
解：∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex，∴f′(0)＝1 a＝1.
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f（2)）处的切线与直线6x＋y＋1＝0平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
①当1－a<－1，即a>2时，
令f′(x)>0得x>－1或x<1－a，令f′(x)<0得1－a故f(x)在(1－a，－1)上单调递减，在(－∞，1－a)，(－1，＋∞)上单调递增；
②当1－a＝－1，即a＝2时，f′(x)＝(x＋1)2≥0恒成立，故f(x)在R上单调递增；
③当1－a>－1，即a<2时，
令f′(x)>0得x>1－a或x<－1，令f′(x)<0得－1故f(x)在(－1，1－a)上单调递减，在(－∞，－1)，(1－a，＋∞)上单调递增．
综上，当a>2时，f(x)在(1－a，－1)上单调递减，在(－∞，1－a)，(－1，＋∞)上单调递增；
当a＝2时，f(x)在R上单调递增；
当a<2时，f(x)在(－1，1－a)上单调递减，在(－∞，－1)，(1－a，＋∞)上单调递增．
A
ACD