第三章 3.4　导数与函数的极值、最值 课时练作业 ppt

(共74张PPT)
简洁
实用
高效
第三章　一元函数的导数及其应用
3.4　导数与函数的极值、最值
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　利用导数求函数的极值
考点2　函数的最值
01
02
课时作业
第三部分
1．理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值．
3．掌握利用导数研究函数最值的方法，会求闭区间上函数的最大值和最小值．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f(x)的________，f(a)叫做函数y＝f(x)的______；b叫做函数y＝f(x)的________，f(b)叫做函数y＝f(x)的______．极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为____．
教材回扣
极小值点
极小值
极大值点
极大值
极值点
极值
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
一般地，函数y＝f(x)在某一点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取得极值的________．
可导函数y＝f(x)在x＝x0处取极大（小）值的充分条件：①____________；②在x＝x0附近的左侧f′(x)>0(<0)，右侧f′(x)<0(>0).
(3)导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是______；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是______．
必要条件
f′(x0)＝0
极大值
极小值
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
2．函数的最大（小）值
(1)函数最大（小）值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值；
②若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数在[a，b]上的______，f(b)为函数在[a，b]上的______；若函数y＝f(x)在[a，b]上________，则f(a)为函数在[a，b]上的最大值，f(b)为函数在[a，b]上的最小值．
最小值
最大值
单调递减
(2)导数求最值的一般步骤
设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3．三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x1(1)a>0
2
0
(2)a<0
2
0
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为极值点．(　 　)
(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值．(　 　)
(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(　 　)
(4)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值．(　 　)
基础检测
×
√
×
√
2．（人教A版选择性必修第二册P98T4改编）如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　 　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题中导函数f′(x)的图象知，在x＝－2处，f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，所以x＝－2是f(x)的极大值点；在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，所以x＝－1是f(x)的极小值点；在x＝2处，f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，所以x＝2是f(x)的极大值点．综上，f(x)的极小值点的个数为1.故选A.
A
－10
4．（人教A版选择性必修第二册P104T9改编）函数f(x)＝x(x－c)2有极值，则实数c的取值范围是____________________．
解析：f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2.由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝16c2－12c2＝4c2>0，解得c≠0，即c∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
(－∞，0)∪(0，＋∞)
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 利用导数求函数的极值
命题角度1　根据导函数的图象判断函数的极值
【例1】　（多选）函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(　 　)
A．函数y＝f(x)在(－1，3)上单调递增
B．函数y＝f(x)在(3，5)上单调递减
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
ABD
【解析】　对于A，由题中图象知，当x∈(－1，3)时，f′(x)>0，此时y＝f(x)单调递增，故A正确；对于B，当x∈(3，5)时，f′(x)<0，此时y＝f(x)单调递减，故B正确；对于C，x＝0的附近左右两侧导函数符号不变，故C错误；对于D，当x∈(3，5)时，f′(x)<0，当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，则函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值，故D正确．故选ABD.
规律总结
由导函数图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：①由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；②由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．
命题角度2　求已知函数的极值
规律总结
求函数f(x)极值的步骤
第一步，确定函数f(x)的定义域．
第二步，求导函数f′(x).
第三步，解方程f′(x)＝0，求出在函数定义域内的所有根．
第四步，列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0附近左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x＝x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x＝x0处取极小值．
命题角度3　已知函数的极值（点）求参数
【例3】　（2024·新课标Ⅱ卷T16节选）已知函数f(x)＝ex－ax－a3.若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【解】　方法一　f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；
若a>0，则令f′(x)>0，解得x>ln a，令f′(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值．
令f′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex与y＝a的图象有交点，则a>0.
当a>0时，令f′(x)>0，解得x>ln a，令f′(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值，符合题意．
由题意，可得f(ln a)＝a－a ln a－a3<0，即a2＋ln a－1>0.
设g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上单调递增，可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，所以a>1，
所以a的取值范围为(1，＋∞).
规律总结
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：求解后验证根的合理性．
【对点训练1】　(1)（多选）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　 　)
A．f(x)有两个极值点
B．f(－2)为函数f(x)的极小值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为函数f(x)的极小值
BC
解析：由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，所以f′(x)<0；当x∈(－2，0)时，g(x)<0，所以f′(x)>0；当x∈(0，1)时，g(x)<0，所以f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，所以f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增．故f(x)有三个极值点，极小值为f(－2)和f(1)，极大值为f(0).故选BC.
(2)已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　 　)
B
(1，＋∞)
考点2 函数的最值
命题角度1　求已知函数的最值
命题角度2　由函数的最值求参数
【例5】　（2024·河南南阳一模）已知函数f(x)＝3x2－2ln x＋(a－1)x＋3在区间(1，2)上有最小值，则整数a的一个取值可以是___________________ ___________________________________．
－4（答案不唯一，满足－10规律总结
1．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，将区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
2．若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
3．已知函数在开区间上有最值，可转化为有极值问题求解，若在闭区间上有最值，则需要比较区间端点值与极值的大小．
A
(2)（2024·广西南宁一模）已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2的最小值为－1，则实数a的取值范围为__________．
解析：因为f(x)＝(x－1)ex＋ax2，所以f′(x)＝xex＋2ax＝x(ex＋2a)，若a≥0，则x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝－1，满足题意；若a<0，则当x无限趋近于负无穷时，f(x)无限趋近于负无穷，f(x)没有最小值，不符合题意．综上，实数a的取值范围为[0，＋∞）.
[0，＋∞）
课时作业20
第
分
部
三
1．（5分）已知f′(x)是函数f(x)在R上的导函数，函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　 　)
C
解析：由题意可得f′(－2)＝0，而且在点(－2，0)附近的左侧，f′(x)<0，此时xf′(x)>0，排除B，D；在点(－2，0)附近的右侧，f′(x)>0，此时xf′(x)<0，排除A，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.故选C.
2．（5分）（2024·福建泉州一模）已知x1，x2是函数f(x)＝(x－1)3－x的两个极值点，则(　 　)
A．x1＋x2＝－2
B．x1＋x2＝1
C．f(x1)＋f(x2)＝－2
D．f(x1)＋f(x2)＝2
C
3．（5分）已知函数f(x)＝x2ln x，则下列结论正确的是(　 　)
C
4．（5分）（2024·江西上饶一模）已知函数f(x)＝xex，则下列说法正确的是(　 　)
A．f(x)的导函数为f′(x)＝(x－1)ex
B．f(x)在(－1，＋∞)上单调递减
D．f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x
C
5．（5分）（2024·江苏南通二模）若函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为(　 　)
C
B
ABD
8．（6分）（多选）（2024·新课标Ⅱ卷）设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　 　)
A．当a>1时，f(x)有三个零点
B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点
C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴
D．存在a，使得点(1，f（1)）为曲线y＝f(x)的对称中心
AD
解析：由f(x)＝2x3－3ax2＋1，得f′(x)＝6x(x－a).对于A，当a>1时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，f(x)的极大值f(0)＝1>0，f(x)的极小值f(a)＝1－a3<0，所以f(x)有三个零点，故A正确．对于B，当a<0时，f(x)在(a，0)上单调递减，在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，x＝0是极小值点，故B错误．对于C，任何三次函数的图象都不存在对称轴，故C错误．对于D，方法一，当a＝2时，f(x)＝2x3－6x2＋1＝2(x－1)3－6(x－1)－3，图象关于点(1，－3)中心对称，故D正确．方法二，考虑到三次函数的图象特征，如果存在对称中心，两个极值点一定关于点(1，f（1)）对称，所以a＋0＝2，且f(a)＋1＝2f(1)，解得a＝2，故D正确．故选AD.
10．（5分）（2024·辽宁葫芦岛一模）已知函数f(x)＝ex－ax2在R上无极
值，则a的取值范围是______ ．
11．（18分）（2024·湖南衡阳二模）已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋1(a∈R)，当x＝2时，f(x)取得极值－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在区间[－1，3]上的最值．
解：由(1)可知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，可得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示．
因此，在区间[－1，3]上，f(x)的最小值为－3，最大值为1.
x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2 (2，3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －3 单调 递增 1 单调 递减 －3 单调 递增 1
B
A