第十章 10.6　离散型随机变量的分布列及其数字特征 课时练作业 ppt

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第十章　计数原理、概率
10.6　离散型随机变量的分布列及
其数字特征
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　离散型随机变量的分布列的性质
考点2　离散型随机变量的分布列及数字特征
01
02
考点3　均值与方差中的决策问题
03
课时作业
第三部分
高考创新方向 多想少算
04
1．了解离散型随机变量及其分布列的概念．
2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
教材回扣
唯一
3．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi__0(i＝1，2，…，n).
(2)p1＋p2＋…＋pn＝__．
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
≥
1
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
平均水平
标准差
偏离程度
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝______________．
(2)D(aX＋b)＝__________．（a，b为常数）
aE(X)＋b
aE(X)＋b
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).
(3)D(X)＝E(X2)－(E（X)）2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　 　)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　 　)
(3)随机试验的结果与随机变量有对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(　 　)
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(　 　)
基础检测
×
√
√
√
2．（人教A版选择性必修第三册P66T1改编）已知离散型随机变量X的分布列为
A
3．（人教A版选择性必修第三册P70T1改编）随机变量X与Y满足Y＝2X＋1，若D(X)＝2，则D(Y)＝(　 　)
A．8 B．5
C．4 D．2
解析：D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝4×2＝8.故选A.
A
4．（人教A版选择性必修第三册P67T3改编）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E（X甲）＝E（X乙），方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计(　 　)
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析：已知样本方差D（X乙）＝3.4，D（X甲）＝11，由此估计，乙种水稻的方差约为3.4，甲种水稻的方差约为11.因为3.4<11，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．故选B.
B
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 离散型随机变量的分布列的性质
【例1】　（多选）已知离散型随机变量X的分布列为
则下列选项正确的是(　 　)
A．m＋n＝0.7
B．若m＝0.3，则P(X>3)＝0.5
C．若m＝0.9，则n＝－0.2
D．P(X＝1)＝2P(X＝6)
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
ABD
【解析】　由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；若m＝0.3，可得n＝0.4，则P(X>3)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.5，所以B正确；由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；由P(X＝1)＝0.2，P(X＝6)＝0.1，得P(X＝1)＝2P(X＝6)，所以D正确．故选ABD.
规律总结
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
【对点训练1】　（多选）若随机变量X的分布列如下，则(　 　)
A．t＝10 B．P(X>1)＝0.8
C．t＝11 D．P(X≥3)＝0.6
AD
考点2 离散型随机变量的分布列及数字特征
命题角度1　离散型随机变量的分布列及数字特征
【例2】　已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元．
在总体中抽样100单，以频率估计概率．
(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率．
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
(2)(ⅰ)毛利润是保费与赔偿金额之差，设毛利润为X，估计X的数学期望；
(ⅱ)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%，估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
命题角度2　均值（数学期望）与方差的性质应用
【例3】　（多选）设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量Y满足Y＝2X＋1，则(　 　)
A．q＝0.1 B．D(X)＝1.8
C．E(Y)＝2 D．D(Y)＝3.6
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
AB
【解析】　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，解得q＝0.1，故A正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝0.1×(0－2)2＋0.4×(1－2)2＋0.1×(2－2)2＋0.2×(3－2)2＋0.2×(4－2)2＝1.8，故B正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝2×2＋1＝5，故C错误；D(Y)＝4D(X)＝4×1.8＝7.2，故D错误．故选AB.
规律总结
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).
【对点训练2】　(1)（多选）已知随机变量X，Y，且Y＝3X＋1，X的分布列如下：
AC
考点3 均值与方差中的决策问题
【例4】　（2024·新课标Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
【解】　甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
∴比赛成绩不少于5分的概率P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686.
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【解】　(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3，
∵00，
∴P甲>P乙，∴应该由甲参加第一阶段比赛．
(ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，
∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q.
若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，
同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p，
∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15pq(p－q)(p＋q－3)，
∵00，
∴E(X)>E(Y)，∴应该由甲参加第一阶段比赛．
规律总结
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
【对点训练3】　投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示．
甲种股票：
乙种股票：
收益X/元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.3 0.4
(1)如果有人向你咨询想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？
解：由题知E(X)＝－1×0.1＋2×0.6＝1.1，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＝1.1，
D(X)＝E(X2)－(E（X)）2＝(－1)2×0.1＋22×0.6－1.12＝1.29，D(Y)＝E(Y2)－(E（Y)）2＝12×0.3＋22×0.4－1.12＝0.69，
由题可知，两种股票的期望相同，但乙种股票的方差较小，
所以投资乙种股票相对于甲种股票更稳妥．
(2)在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1元，某人有10 000元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由．
解：投资甲种股票3 485元，乙种股票6 515元．理由如下：设投资甲种股票a元，则投资乙种股票(10 000－a)元，
所以E(aX)＋E(（10 000－a)Y）＝aE(X)＋(10 000－a)E(Y)＝11 000，
D(aX)＋D(（10 000－a)Y）＝a2D(X)＋(10 000－a)2D(Y)＝a2×1.29＋(10 000－a)2×0.69＝1.98a2－13 800a＋0.69×108，
高考创新方向 多想少算
A．p1＝0.1，p2＝0.2，p3＝0.3，p4＝0.4
B．p1＝0.4，p2＝0.3，p3＝0.2，p4＝0.1
C．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
D．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C
方法二（定性分析得结论）　方差和标准差都反映的是数据的波动情况，数据的波动越大，方差和标准差越大，反之亦然．A，B选项的数据波动情况对称相同， 故它们的标准差是一样的，C选项中间2，3出现的频率相同且较高，两边1，4出现的频率相同且较低，所以数据集中程度高，故标准差应该最小，D选项的标准差应该是最大的．故选C.
创新解读
本题看似是标准差的计算问题，实际上考查学生对标准差概念本质的理解，并在理解的基础上加以应用，如果盲目计算，即使最后能得到正确结果，也会浪费大量时间，得不偿失，体现新高考多想少算的变化趋势．
创新点
概率统计的新定义问题
解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”的问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断地实践和反思，不然就谈不上“自然”、完整地解题．
Y＝y)表示事件“X＝x”与事件“Y＝y”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p(0(1)求P(ξ＝2，η＝5)，P(η＝5)；
(2)求E(ξ|η＝5)，E(ξ|η＝n)(n≥2).
课时作业73
第
分
部
三
1．（5分）已知随机变量Y的期望和方差分别为2，0.04，则E(5Y＋1)，D(5Y＋1)分别为(　 　)
A．3，1 B．11，1
C．3，0.2 D．11，0.2
解析：由已知得E(Y)＝2，D(Y)＝0.04，则E(5Y＋1)＝5×E(Y)＋1＝11，D(5Y＋1)＝25×D(Y)＝1.故选B.
B
D
2．（5分）（2024·河南新乡二模）已知随机变量X的分布列为
A
3．（5分）已知离散型随机变量X的概率分布列如表，离散型随机变量Y满足Y＝2X－1，则P(Y≥3)＝(　 　)
4．（5分）（2024·四川成都模拟）若随机变量X的可能取值为1，2，3，4，且P(X＝k)＝λk(k＝1，2，3，4)，则D(X)＝(　 　)
A．1 B．2
C．3 D．4
A
5．（5分）（2025·湖南长沙模拟）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表一和表二所示：
表一
表二
X 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
Y 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是(　 　)
A．E(X)>E(Y) B．E(X)C．D(X)>D(Y) D．D(X)解析：由分布列可得E(X)＝6×0.07＋7×0.22＋8×0.38＋9×0.30＋10×0.03＝8，E(Y)＝6×0.09＋7×0.24＋8×0.32＋9×0.28＋10×0.07＝8，D(X)＝(6－8)2×0.07＋(7－8)2×0.22＋(8－8)2×0.38＋(9－8)2×0.30＋(10－8)2×0.03＝0.92，D(Y)＝(6－8)2×0.09＋(7－8)2×0.24＋(8－8)2×0.32＋(9－8)2×0.28＋(10－8)2×0.07＝1.16，所以E(X)＝E(Y)，D(X)D
A
则当a在(0，1)内增大时(　 　)
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先减小后增大
D．D(X)先增大后减小
ACD
7．（6分）（多选）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则下列说法正确的是(　 　)
A．a＝0.25
B．E(X)＝1
C．D(X)＝4.5
D．P(0.5X －2 1 3
P 2a 0.25 a
解析：由题意得2a＋0.25＋a＝1 a＝0.25，所以E(X)＝－2×0.5＋1×0.25＋3×0.25＝0，D(X)＝(－2－0)2×0.5＋(1－0)2×0.25＋(3－0)2×0.25＝4.5，P(0.58．（6分）（多选）已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲，将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止．方案乙，先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠．则下列结论正确的是(　 　)
AD
9．（6分）一个袋子中装有2个红球和3个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，设拿出白球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝
__，E(ξ)＝__．
(1)求甲同学过关的概率；
(2)求甲同学回答这三个问题的总得分X的分布列及数学期望．
(1)求甲投篮3次得2分的概率；
(2)若乙投篮3次得分为X，求X的分布列和期望；
(3)比较甲、乙的比赛结果．
A．E(ξ)增大，D(ξ)增大
B．E(ξ)增大，D(ξ)先增大后减小
C．E(ξ)减小，D(ξ)先增大后减小
D．E(ξ)减小，D(ξ)减小
B
(2)当n＝3时，求满足|z3|≤2的概率；
(3)求|zn|<5的概率．