第十章 10.7　二项分布、超几何分布与正态分布 课时练作业 ppt

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第十章　计数原理、概率
10.7　二项分布、超几何分布与
正态分布
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　二项分布
考点2　超几何分布
01
02
考点3　正态分布
03
课时作业
第三部分
1．了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．
2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．
3．了解正态分布的概念和特征，并能进行简单应用．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．二项分布
(1)伯努利试验
只包含____可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为______________．
教材回扣
两个
n重伯努利试验
X～B(n，p)
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝__，D(X)＝____________．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝______________．
p
p(1－p)
np
np(1－p)
3．正态分布
(1)定义
X～N(μ，σ2)
x＝μ
x＝μ
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__，D(X)＝__．
μ
σ2
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了20次，是n重伯努利试验．(　 　)
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　 　)
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．(　 　)
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(　 　)
基础检测
√
√
×
×
2．（人教B版选择性必修第二册P83T4改编）已知离散型随机变量X～B(10，0.2)，则E(X)＝(　 　)
A．8 B．2
C．1.6 D．0.8
解析：因为离散型随机变量X～B(10，0.2)，所以E(X)＝10×0.2＝2.故选B.
B
3．（人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编）若X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，则P(X>0)＝(　 　)
A．0.10 B．0.40
C．0.80 D．0.90
解析：根据题意X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，则P(X<0)＝P(X>2)＝0.10，故P(X>0)＝1－P(X<0)＝0.90.故选D.
D
4．（人教A版选择性必修第三册P78例5改编）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格品的件数，则P(X＝1)＝(　 　)
D
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 二项分布
【例1】　（2024·河北承德二模）某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1 000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：
成绩 区间 [30， 40） [40， 50） [50， 60） [60， 70） [70， 80） [80， 90） [90，
100]
频数 20 180 200 280 220 80 20
(1)求上表数据的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)根据样本估计总体的方法，用频率估计概率，从该市随机抽取3人参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为X，求X的分布列及数学期望．
规律总结
二项分布问题的解题关键
(1)定性
①在每一次试验中，事件发生的概率相同．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
【对点训练1】　（2024·陕西西安二模）某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）.为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180]这6组，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数；
解：因为(0.004＋0.012)×20＝0.32<0.5，0.32＋0.016×20＝0.64>0.5，所以该校学生比赛成绩的中位数在[100，120）内．
设该校学生比赛成绩的中位数为m个，则(m－100)×0.016＋0.32＝0.5，
解得m＝111.25，即估计该校学生比赛成绩的中位数为111.25个．
(2)若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列与期望．
解：由频率分布直方图可知比赛成绩优秀的频率为(0.002＋0.008)×20＝0.2，
则从该校学生中随机抽取1人，被抽取的学生比赛成绩优秀的概率是0.2.
由题意可知X～B(3，0.2)，
考点2 超几何分布
【例2】　某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同．每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回．若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目．
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布列和数学期望．
规律总结
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．
2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
【对点训练2】　（2024·陕西西安三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段/岁 [15， 25） [25， 35） [35， 45） [45， 55） [55， 65） [65，
75]
被调查的人数 10 15 20 m 25 5
赞成的人数 6 12 n 20 12 2
(2)若从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行比例分配的分层随机抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
考点3 正态分布
A．σ1<σ2
B．σ1＝σ2
C．对任意实数m>μ，P(X≤m)>P(Y≤m)
D．若P(μ－k1σ1≤X≤μ＋k1σ1)>P(μ－k2σ2≤Y≤μ＋k2σ2)，k1，k2∈N*，则k1AC
【解析】　因为σ越小图象越瘦高，所以σ1<σ2，故A正确，B错误；由题图可知，当m>μ时，P(X>m)m)，所以P(X≤m)＝1－P(X>m)>P(Y≤m)＝1－P(Y>m)，故C正确；当k1＝2时，P(μ－2σ1≤X≤μ＋2σ1)≈0.954 5，当k2＝1时，P(μ－σ2≤Y≤μ＋σ2)≈0.682 7，故D错误．故选AC.
BC
【解析】　依题意，X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12).对于X～N(1.8，0.12)，由于2＝1.8＋2×0.1＝μ＋2σ，则P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)μ＋σ)≈1－0.841 3＝0.158 7，A错误；P(X>2)1.8)＝0.5，B正确；对于Y～N(2.1，0.12)，由于2＝2.1－0.1＝μ－σ，则P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，C正确；P(Y>2)＝P(Y>μ－σ)＝P(Y<μ＋σ)≈0.841 3>0.8，D错误．故选BC.
规律总结
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为直线x＝μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间．
由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x＝0.
ACD
A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近
D．若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.158 7
(2)（多选）（2025·山东聊城一模）在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，则(　 　)
A.μ＝80，σ＝400
BCD
解析：由E(X)＝80，D(X)＝400，得μ＝80，σ2＝400，故A错误；由μ＝80，σ2＝400，得X～N(80，202)，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋σ＝80＋20＝100，μ－2σ＝80－2×20＝40，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤X≤100)
课时作业74
第
分
部
三
1．（5分）（2024·湖南益阳三模）某生产线正常生产下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布N(5，σ2)，若P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，则实数a的值为(　 　)
A．1 B．3
C．4 D．9
解析：因为X～N(5，σ2)，且P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，所以a＋(1＋2a)＝2×5，解得a＝3.故选B.
B
C
B
D
5．（5分）（2024·湖北荆州三模）上周联考的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X<70)＝0.2，负责命题的王老师考后随机抽取了10个学生的数学成绩，设这10个学生中得分在[70，110]的人数为Y，则随机变量Y的方差为(　 　)
A．2 B．2.1
C．2.4 D．3
解析：由正态分布知，学生得分在[70，110]的概率为1－0.2×2＝0.6，抽取的10个学生中得分在[70，110]的人数Y服从二项分布B(10，0.6)，D(Y)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.故选C.
C
6．（5分）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差（分别用X甲、X乙、X丙表示）分布的正态密度曲线，则下列说法不正确的是(　 　)
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．P（－1≤X乙≤0）C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
B
解析：根据正态密度曲线的性质可得，三种品牌的手表日走时误差对应的正态密度曲线的对称轴都是y轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，故A正确；乙品牌手表日走时误差对应的正态密度曲线在区间[－1，0]之间与x轴围成的面积与丙品牌手表日走时误差对应的正态密度曲线在区间[0，2]之间与x轴围成的面积相等，故B不正确；由正态密度曲线的形状，可得σ甲<σ乙<σ丙，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙，故C正确；由三种品牌手表日走时的误差的均值都是0，σ甲<σ乙<σ丙，可得甲种品牌的手表走时准且最稳定，质量最好，故D正确．故选B.
BCD
8．（6分）（多选）袋中有8个大小相同的球，其中5个黑球，3个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论中正确的是(　 　)
BCD
9．（5分）（2024·广东梅州二模）某中学1 500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N(150，σ2)，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为______．
450
10．（5分）（2024·安徽六安模拟）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处
的概率是_____．
(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；
(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望．
12．（15分）（2024·湖南常德一模）某市共有教师1 000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”．
(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率．
10，μ为抽取的10名教师学习时长数据的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；
②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在[50，70]内，则当ξ的均值不小于32时，n的最小值为多少？
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
13．（6分）（多选）（2024·辽宁沈阳三模）下列说法正确的是(　 　)
BCD
14．（6分）（多选）（2024·山东聊城三模）在美国重压之下，中国芯片异军突起．某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为X，另一随机变量Y～N(4，1)，则(　 　)
A．D(2X＋1)＝1.6
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≥D(Y)
C．P(X≤4)>P(Y≥4)
D．P(X＝k)随k的增大先增大后减小
CD
15．（6分）（多选）（2024·福建泉州模拟）某人在n次射击中击中目标的次数为X，X～B(n，p)，其中n∈N*，0AD
简洁
实用
高效
谢谢观看！
数学