第十章 10.8　概率统计的综合问题 课时练作业 ppt

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第十章　计数原理、概率
10.8　概率统计的综合问题
数学
内容索引
关键能力提升
第一部分
考点1　频率分布直方图与分布列的综合
考点2　回归模型与分布列的综合
01
02
考点3　独立性检验与分布列的综合
03
课时作业
第二部分
会综合利用概率统计知识，解决频率分布直方图、回归模型、独立性检验与分布列的综合问题．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
一
考点1 频率分布直方图与分布列的综合
【例1】　为提高学生的环保意识，某大学举办了一次环保知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛分数均分布在[450，950]内，根据调查的结果绘制了竞赛分数的频率分布直方图，如图所示．分数不低于850分的学生被称为“特优选手”．
(1)求a的值，并估计该校学生竞赛分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
【解】　由频率分布直方图知(0.001 5×2＋a＋0.002 5＋0.001 0)×100＝1 a＝0.003 5.
设第70百分位数为m，前两组所占频率为(0.001 5＋0.003 5)×100＝0.5，
前三组所占频率为(0.001 5＋0.003 5＋0.002 5)
×100＝0.75，则m位于第三组数据中，
(2)现采用比例分配的分层随机抽样的方式从分数在[750，850），[850，950]内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
规律总结
高考中常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据．概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来．
【对点训练1】　某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示. 假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率．
(1)估计某一天此款甜品销售量不超过60个的概率．
解：设事件A为“某一天此款甜品销售量不超过60个”，
所以P(A)＝(0.01＋0.03)×10＝0.4.
(2)用X表示在未来3天里，此款甜品日销售量超过60个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．
(3)该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都超过70个，根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化？请说明理由．
解：可以认为改变制作工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化．理由如下：
改变制作工艺前，设事件C表示“日销售量超过70个”，用Y表示30天内日销售量超过70个的天数，
由频率分布直方图可得P(C)＝0.2，则Y～B(30，0.2)，
所以E(Y)＝30×0.2＝6<20，
所以可以认为改变制作工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化．
考点2 回归模型与分布列的综合
【例2】　（2025·山东淄博二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份t 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
销量y/万辆 10 12 17 20 26
(1)计算销量y关于年份代码x的样本相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系（若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）.若是，求出y关于x的经验回归方程；若不是，请说明理由．
(2)为了解购车车主的购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业调查了该地区4位购买新能源汽车车主和4位购买传统燃油汽车车主，现从这8位购车车主中随机抽取3位，用X表示抽取的3位购车车主中购买新能源汽车的人数，求随机变量X的分布列与均值．
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，变量x，y的样本相关系数r＝
规律总结
高考中常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程时要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算．求解概率问题时要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键．
【对点训练2】　（2024·山东日照二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为随机变量X，求X的最有可能的取值．
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x（满分100分，成绩为整数）与绩效等级优秀率y，如下表所示：
x 32 41 54 68 74 80 92
y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
考点3 独立性检验与分布列的综合
【例3】　（2024·山东青岛三模）为了研究高三年级学生的性别和身高是否低于170 cm的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表：
性别 身高 合计
低于170 cm 不低于170 cm 女生 14 5 19
男生 8 10 18
合计 22 15 37
(1)依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？
(2)从身高不低于170 cm的15名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为X，求X的分布列及期望E(X).
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
规律总结
高考中常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关．解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型．
【对点训练3】　（2024·山东临沂二模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力．为了解年轻人对“赶大集”的态度（态度分为非常喜欢和感觉一般），随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示．
性别 对“赶大集”的态度 合计
非常喜欢 感觉一般 男性 3t 100
女性 t
合计 60
(1)求t的值，试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关．
解：由题意可知3t＋(60－t)＝100，解得t＝20，
零假设：年轻人对“赶大集”的态度与性别无关，2×2列联表如下：
性别 对“赶大集”的态度 合计
非常喜欢 感觉一般 男性 60 40 100
女性 80 20 100
合计 140 60 200
(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”．现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
解：设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则X＝m＋n，且X的所有可能取值为1，2，3，4.
课时作业75
第
分
部
二
1．（13分）（2025·北京东城区一模）某中学为了解高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到频率分布直方图：
(1)若该校高二年级有1 500人，试估计阅读速度达到620字/分及以上的人数；
解：1 500×(0.003 75＋0.001 00＋0.000 25)×80＝600，
故可估计阅读速度达到620字/分及以上的人数为600.
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分及以上的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)；
解：从中随机抽取一人，其阅读速度达到540字/分及以上的概率为(0.005 00＋0.003 75＋0.001 00＋0.000 25)×80＝0.8，
X的可能取值为0，1，2，3，
则X的分布列为

期望为E(X)＝3×0.8＝2.4.
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度的数据如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分及以上的人数为Y，试判断数学期望E(Y)与(2)中的E(X)的大小，并说明理由．
解：E(X)＝E(Y)，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分及以上的人数为8，则Y的可能取值为1，2，3，
2．（13分）（2024·江西鹰潭三模）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度，随机调查了200名学生，数据如下：
态度 性别 合计
男生 女生 同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
(1)能否有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？
(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择互不影响．记事件A为“甲学生选择足球”，事件B为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件A，B是否独立，并说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数X～N(185，169).根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显增加．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有1 000名学生，预估经过训练后该校学生每分钟跳182个以上的人数（结果四舍五入到整数）.
若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<σ)≈0.682 7，P(|X－μ|<2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|<3σ)≈0.997 3.
α 0.025 0.010 0.005
xα 5.024 6.635 7.879
3．（17分）（2024·江苏南通模拟）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下：
第x天 1 2 3 4 5
参观人数y/千人 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9
(1)求y关于x的经验回归方程，并预测第10天入校参观的人数．
4．（17分）（2024·河北沧州模拟）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年某基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（单位：人）与年收益增量y（单位：万元）的数据如下：
人工投入增量x/人 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量y/万元 13 22 31 42 50 56 58
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y关于x的两个回归模型．
(1)(ⅰ)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的经验回归方程（精确到0.1）；
(ⅱ)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
(2)根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某“南澳牡蛎”养殖基地的单个“南澳牡蛎”的质量（单位：克）在正常环境下服从正态分布N(32，16).购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20 g的牡蛎的可能性有多大？
附：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20 g的牡蛎为X只，
故X～B(10，0.001 3)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－0.001 3)10≈1－0.987 1＝0.012 9，
所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20 g的牡蛎的可能性仅为1.29%.