第二章　2.1　函数的概念及其表示（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

　函数的概念与基本初等函数
2．1　函数的概念及其表示
1．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素
函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成．在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域．
2．函数的表示法
解析法 图象法 列表法
用解析式表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
3.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．
教材拓展
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示．(　×　)
(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．(　√　)
(4)函数f(x)＝的定义域为R.(　√　)
2．(人教A版必修第一册P66例3改编)下列各组函数表示同一个函数的是(　C　)
A．y＝x和y＝()2
B．y＝和y＝
C．y＝|x|和y＝
D．y＝x－1与y＝－1
解析：对于A，y＝x的定义域为R，y＝()2的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，y＝＝x，y＝＝|x|，对应关系不同，不是同一个函数，故B错误；对于C，两函数的定义域，对应关系均相同，是同一个函数，故C正确；对于D，y＝x－1的定义域为R，y＝－1的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数，故D错误．故选C.
3．(人教A版必修第一册P65例2改编)函数f(x)＝＋的定义域为(－∞，－)∪(，2)∪(2，＋∞)．
解析：由题意有解得x<－或2.故其定义域为(－∞，－)∪(，2)∪(2，＋∞).
4．设f(x)＝则f(f(－1))＝0．
解析：f(－1)＝(－1)2＋1＝2，则f(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0.
考点1 函数的定义域
【例1】　(1)函数f(x)＝的定义域是(　D　)
A．
B．{x|x>1}
C．
D．{x|x>1且x≠2}
【解析】　要使f(x)有意义，则应有解得x>1且x≠2.故选D.
(2)(2024·湖北武汉二模)已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f(1－x)的定义域为(－2，2]．
【解析】　由函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)，令－1≤1－x<3，解得－21．求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义．
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
3．定义域是一个集合，要用集合的描述法或区间等形式表示．若定义域不连续，则用区间表示时，应分成多个区间，各区间之间不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
【对点训练1】　(1)已知函数f(x)＝，则函数的定义域为(　D　)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(－∞，－1)∪(－1，1)
解析：因为f(x)＝，所以2x－4x>0，解得x<0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)，所以函数需满足x－1<0且x＋1≠0，解得x<1且x≠－1.故选D.
(2)(2024·北京通州区二模)函数f(x)＝x＋lg (x－2)的定义域为{x|x>2}．
解析：根据题意可得解得x>2，故定义域为{x|x>2}．
考点2 求函数的解析式
【例2】　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式．
(2)已知f＝x4＋，求f(x)的解析式．
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
【解】　(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，
即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).
(2)(配凑法)f＝x4＋＝x2＋2－2，又x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立，
设t＝x2＋，则t≥2，
∴f(t)＝t2－2(t≥2)，
∴f(x)＝x2－2(x≥2).
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
解得∴f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2①，
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2②，
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，
∴f(x)＝3x－2.
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的解析式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【对点训练2】　(1)已知f(＋1)＝，则f(x)＝，其定义域为(1，＋∞)．
解析：由题意得解得x>0，所以f(＋1)＝(x>0)，
令＋1＝t(t>1)，则x＝(t－1)2，
所以f(t)＝(t>1)，
所以f(x)＝(x>1).
(2)已知f(x)满足3f(x)＋2f(1－x)＝4x，则f(x)的解析式为f(x)＝4x－．
解析：由3f(x)＋2f(1－x)＝4x①，
用1－x代x可得，3f(1－x)＋2f(x)＝4(1－x)②，
3×①－2×②得f(x)＝4x－.
考点3 分段函数
命题角度1　分段函数求值
【例3】　(2024·江苏南通二模)已知函数f(x)＝则f(log29)＝(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】　因为f(x)＝
log29>3，log23<3，则f(log29)＝f＝f(log23)＝＋＝3＋＝.故选B.
命题角度2　分段函数与方程、不等式
【例4】　(1)(2024·北京大兴区三模)已知f(x)＝若f(m)＝8，则m＝－3或．
【解析】　因为f(x)＝且f(m)＝8，所以或解得m＝－3或m＝.
(2)(2024·湖北武汉一模)已知函数f(x)＝则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(－∞，e－1]．
【解析】　当x≤0时，f(x)＝x＋1≤1，得x≤0，所以x≤0；当x>0时，f(x)＝ln (x＋1)≤1，得－1关于分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值或范围：先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的某段上，然后求出相应自变量的值或范围，再用同样的方法求其余各段上自变量的值或范围，最后综合得出结果．切记要代入检验．
【对点训练3】　(1)(2024·山东泰安二模)已知函数f(x)＝且f(m)＝－12，则f(6－m)＝(　D　)
A．－1 B．－3
C．－5 D．－7
解析：由题意知，当m≤1时，f(m)＝2m+1－8＝－12，得2m+1＝－4，又2m+1>0，所以方程无解；当m>1时，f(m)＝4log(m＋1)＝－12，得log(m＋1)＝－3，即m＋1＝8，解得m＝7，所以f(6－m)＝f(－1)＝2-1+1－8＝－7.故选D.
(2)(2024·北京东城区二模)设函数f(x)＝则f＝1，不等式f(x)解析：由题意可知f＝f(1)＝1.因为f(x)或x<－，所以x∈∪；当|x|≥1，即x≥1或x≤－1时，则|2x|＝2|x|≥2>1，可得x2<(2x)2＝4x2，符合题意．综上所述，不等式f(x)【例】　(多选)(2024·广东六校联考)给定数集A＝R，B＝(0，＋∞)，x，y满足方程2x－y＝0，下列对应关系f为函数的是(　ABD　)
A．f：A→B，y＝f(x)
B．f：B→A，y＝f(x)
C．f：A→B，x＝f(y)
D．f：B→A，x＝f(y)
【解析】　对于A，y＝f(x)＝2x， x∈A，均有唯一确定的f(x)，且f(x)∈(0，＋∞)＝B与之对应，符合函数定义，故A符合题意；对于B，y＝f(x)＝2x， x∈B，均有唯一确定的f(x)，且f(x)∈(1，＋∞) A，符合函数定义，故B符合题意；对于C，x＝f(y)＝log2y，取y＝1∈A，但x＝0 B，不符合函数定义，故C不符合题意；对于D，x＝f(y)＝log2y， y∈B，均有唯一确定的f(y)，且f(y)∈R＝A，符合函数定义，故D符合题意．故选ABD.
本题考查函数的定义，需要学生对函数定义中的几个关键点深刻理解，才能将正确选项全部选出，如C选项考查A中的每一个元素在B中都有唯一确定元素与之对应，体现新高考对基础概念深入考查的特点和趋势．
课时作业6
1．（5分）函数f(x)＝的定义域为(　D　)
A．(－1，1)
B．(－1，1)∪(2，＋∞)
C．[2，＋∞）
D．(－1，1)∪[2，＋∞）
解析：函数f(x)＝，令≥0，等价于解得－12．（5分）（2024·吉林长春三模）已知函数f(x)＝则f(－3)＝(　B　)
A．1　　　 B．2
C．4　　　 D．8
解析：由函数可得，f(－3)＝f(－1)＝f(1)＝21＝2.故选B.
3．（5分）已知函数f(x)＝若f(x)＝－，则x＝(　D　)
A.7 B．－2
C．2 D．7或－2
解析：因为f(x)＝f(x)＝－，所以当x≤0时，2x－1＝－，解得x＝－2，满足x≤0，故x＝－2时等式成立；当x>0时，1－＝－，解得x＝7，满足x>0，故x＝7时等式成立．故选D.
4．（5分）（2024·江西南昌二模）已知f(x)＝则不等式f(x)<2的解集是(　B　)
A．(－∞，2) B．(－∞，3)
C．[0，3） D．(3，＋∞)
解析：当x<0时，不等式f(x)<2可化为－x2－2x<2，所以x2＋2x＋2>0，可得x<0；当x≥0时，不等式f(x)<2可化为log2(x＋1)<2，所以x＋1<4，且x＋1>0，所以0≤x<3，所以不等式f(x)<2的解集是(－∞，3).故选B.
5．（5分）已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)－4f＝－，则f(2)的值为(　D　)
A． B．
C． D．
解析：因为定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)－4f＝－，所以f－4f(x)＝－15x，所以f＝4f(x)－15x，所以f(x)－4[4f(x)－15x]＝－，解得f(x)＝4x＋，所以f(2)＝8＋＝.故选D.
6．（5分）已知函数f(x＋2)的定义域为(－3，4)，则函数g(x)＝的定义域为(　C　)
A． B．
C． D．
解析：因为函数f(x＋2)的定义域为(－3，4)，则－30，即x>，所以函数g(x)＝的定义域为.故选C.
7．（6分）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一个函数的有(　AC　)
A．f(x)＝|x|和g(x)＝
B．f(x)＝x＋1和g(x)＝
C．f(x)＝和g(x)＝
D．f(x)＝和g(x)＝
解析：对于A，g(x)＝＝|x|与f(x)＝|x|的定义域和对应关系都相同，为同一个函数；对于B，g(x)＝＝x－1的定义域为{x|x≠－1}，而f(x)＝x＋1的定义域为R，它们的定义域和对应关系都不同，不为同一个函数；对于C，f(x)＝与g(x)的定义域和对应关系都相同，为同一个函数；对于D，g(x)＝＝的定义域为{x|x≥1}，而f(x)＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不同，不为同一个函数．故选AC.
8．（6分）（多选）函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是(　BD　)
A．若D(x0)＝1，则D(x0＋2)＝0
B． x∈R，D（x＋）＝1
C．若D(x1)－D(x2)＝0，则x1－x2∈Q
D．函数D(x)的值域为{0，1}
解析：因为D(x)＝对于A，D(x0)＝1，则x0∈Q，所以x0＋2∈Q，则D(x0＋2)＝1，故A错误；对于B，若x＝－∈R，则x＋＝0∈Q，则D（x＋）＝1，故B正确；对于C，若x1＝，x2＝，则D(x1)＝D(x2)＝0，满足D(x1)－D(x2)＝0，但是x1－x2 Q，故C错误；对于D，因为D(x)＝所以函数D(x)的值域为{0，1}，故D正确．故选BD.
9．（5分）已知f(x＋1)＝2x2－3，若f(m)＝15，则m＝4或－2．
解析：令x＋1＝t，则可得x＝t－1，由f(x＋1)＝2x2－3可得f(t)＝2(t－1)2－3，所以f(m)＝2(m－1)2－3＝15，解得m＝4或m＝－2.
10．（6分）设函数f(x)＝则f(f（0)）＝4，使得f(a)≥4a的实数a的取值范围是a≤1．
解析：因为f(x)＝所以f(0)＝1，因此f(f（0)）＝f(1)＝4.当a<1时，f(a)≥4a可化为(a＋1)2≥4a，即(a－1)2≥0，显然恒成立，所以a<1；当a≥1时，f(a)＝4－≥4a，解得a＝1.综上，a≤1.
11．（16分）已知函数f(x)＝g(x)＝x2－1.
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)若f(g（a)）＝－，求实数a的值．
解：(1)因为2>－1，且f(x)＝
所以f(2)＝＝－.
因为g(x)＝x2－1，所以g(2)＝22－1＝3.
(2)依题意，令g(a)＝t，
若t≤－1，则f(g（a)）＝f(t)＝＝－，解得t＝>－1，
与t≤－1矛盾，舍去；
若t>－1，则f(g（a)）＝f(t)＝＝－，解得t＝8>－1，
故g(a)＝a2－1＝8，解得a＝±3，所以实数a的值为±3.
综上所述，a的值为±3.
12．（16分）(1)已知函数f(x－1)＝x2－4x，求函数f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的解析式．
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋4，求f(x)的解析式．
解：(1)令x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2－4(t＋1)＝t2－2t－3，即f(x)＝x2－2x－3.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c，
又f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，
所以解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
(3)因为2f(x)＋f(－x)＝3x＋4①，
所以2f(－x)＋f(x)＝－3x＋4②，
2×①－②得3f(x)＝9x＋4，所以f(x)＝3x＋.
13．（5分）若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy，f(1)＝1，则f(－20)＝(　B　)
A．55 B．190
C．210 D．231
解析：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，可得f(0)＝0；令x＝1，y＝－1，则f(0)＝f(1)＋f(－1)－1＝f(－1)，可得f(－1)＝0；令y＝－1，则f(x－1)＝f(x)＋f(－1)－x＝f(x)－x，即f(x－1)－f(x)＝－x，则f(－2)－f(－1)＝1，f(－3)－f(－2)＝2，…，f(－20)－f(－19)＝19，可得f(－20)－f(－1)＝1＋2＋…＋19＝＝190，所以f(－20)＝190.故选B.
14．（5分）若函数f(x)的定义域为R，且xf(x)＋f(1－x)＝1，则f(x)的最大值为(　B　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由xf(x)＋f(1－x)＝1①，得(1－x)f(1－x)＋f(x)＝1②，(1－x)×①得(1－x)xf(x)＋(1－x)f(1－x)＝1－x③，②－③得(x2－x＋1)f(x)＝x，因为x2－x＋1＝＋>0，所以f(x)＝.当x＝0时，f(x)＝0；当x<0时，f(x)＝<0；当x>0时，f(x)＝＝≤＝1（当且仅当x＝1时，等号成立）.综上所述，f(x)的最大值为1.故选B.
15．（5分）（2024·山东济南一模）已知集合A＝{u(x)|u(x)＝ax2－(a＋b)x＋b，a，b∈R}，函数f(x)＝x2－1.若函数g(x)满足对任意u(x)∈A，存在λ，μ∈R，使得u(x)＝λf(x)＋μg(x)，则g(x)的解析式可以是g(x)＝x－1（满足g(1)＝0，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）．（写出一个满足条件的函数解析式即可）
解析：u(x)＝ax2－(a＋b)x＋b，f(x)＝x2－1，u(1)＝a－(a＋b)＋b＝0，f(1)＝0，u(x)＝λf(x)＋μg(x)，u(1)＝λf(1)＋μg(1)＝μg(1)＝0，所以g(1)＝0，则g(x)的解析式可以为g(x)＝x－1.经检验，g(x)＝x－1满足题意．