第二章　2.3　函数的奇偶性、周期性（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

2．3　函数的奇偶性、周期性
1．了解函数的奇偶性、周期性的概念和几何意义．
2．掌握函数的奇偶性、周期性的简单应用．
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 y轴 对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 原点 对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
教材拓展
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任意自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数．(　×　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　×　)
(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．(　√　)
(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　×　)
2．（多选）（人教A版必修第一册P84例6改编）给出下列函数，其中是奇函数的有(　BC　)
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
解析：对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数，同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数．故选BC.
3．（人教A版必修第一册P86T11改编）若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝1－，则当x<0时，f(x)＝－1＋．
解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝1－，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－1＋，∴当x<0时，f(x)＝－1＋.
4．设f(x)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2，则f(5)＝0，f＝．
解析：f(5)＝f(1)＝(1－1)2＝0，f＝f＝f＝＝.
考点1 函数奇偶性的判断
【例1】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log2（x＋）.
【解】　(1)由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)
＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋]＝log2（－x）＝log2（＋x）-1＝－log2（＋x）＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
【对点训练1】　(1)（2024·天津卷）下列函数是偶函数的是(　B　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：方法一　对于A，f(x)＝，定义域为R，f(1)＝，f(－1)＝，则
f(－1)≠f(1)，不符合题意；对于B，f(x)＝，定义域为R，
f(－x)＝＝＝f(x)，即f(x)为偶函数，符合题意；对于C，由题意得，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于D，f(x)＝，函数定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，即f(x)为奇函数，不符合题意．故选B.
方法二　由题易知y＝x2＋1和y＝e|x|均为偶函数，且恒为正，对于A，由于y＝ex－x2既不是奇函数也不是偶函数，所以f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)＝是偶函数；对于C，易知f(x)＝的定义域不关于原点对称，所以f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)＝是奇函数．故选B.
(2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　D　)
A．f(x)＋g(x)为R上的奇函数
B．f(x)－g(x)为R上的偶函数
C．为R上的偶函数
D．|f(x)g(x)|为R上的偶函数
解析：因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故错误；对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)，则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故错误；对于C，x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝，M(－x)＝＝－＝－M(x)≠M(x)，故错误；对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|，H(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)为偶函数，故正确．故选D.
考点2 函数奇偶性的应用
命题角度1　利用函数的奇偶性求值（解析式）
【例2】　(1)（2024·河南开封二模）若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝(　C　)
A．0　　　 B．－1
C．1　　　 D．±1
【解析】　当x>0时，－x<0，则f(－x)＝a2(－x)－1＝－x－a＝－f(x)，则解得a＝1，此时f(x)＝当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，符合题意．所以a＝1.故选C.
(2)（2024·江西景德镇三模）已知函数f(x)＝是奇函数，则x>0时，g(x)的解析式为(　C　)
A．g(x)＝－ B．g(x)＝
C．g(x)＝－2x D．g(x)＝2x
【解析】　设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝＝2x，又函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝2x f(x)＝－2x，x>0，即g(x)＝－2x.故选C.
命题角度2　奇偶性与单调性
【例3】　(1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f(x)是增函数，则f（－），f(π)，f(－3)的大小关系是(　A　)
A．f(π)>f(－3)>f（－）
B．f(π)>f（－）>f(－3)
C．f(π)D．f(π)【解析】　因为f(x)是偶函数，所以f（－）＝f（），f(－3)＝f(3)，又因为当x∈[0，＋∞）时，f(x)是增函数，所以由<3<π可得f(π)>f(3)>f（），即f(π)>f(－3)>f（－）.故选A.
(2)（2024·安徽安庆三模）已知函数f(x)＝ax|x|的图象经过点(2，8)，则关于x的不等式9f(x)＋f(4－x2)<0的解集为(　C　)
A．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
B．(－4，1)
C．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
D．(－1，4)
【解析】　由题意知f(2)＝4a＝8，解得a＝2，所以f(x)＝2x|x|，其在R上单调递增，又因为f(－x)＝－2x|－x|＝－2x|x|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，9f(x)＝f(3x)，所以不等式9f(x)＋f(4－x2)<0可化为f(3x)<－f(4－x2)＝f(x2－4)，于是3x0，解得x>4或x<－1.故选C.
函数奇偶性的应用
(1)求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值，或得到关于参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
(3)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g（x)）＞f(h（x)）的形式，利用单调性把符号“f”脱掉，得到具体的不等式（组）.
【对点训练2】　(1)（2024·江苏宿迁三模）已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝log2x－1，则f（－）＝(　A　)
A．　　 B．－
C．　　 D．－
解析：f（）＝log2－1＝log22－1＝×－1＝－，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f（－）＝－f（）＝.故选A.
(2)（2024·山西运城三模）设函数f(x)＝log2|x|－x-2，则不等式f(x－2)≥f(2x＋2)的解集为(　C　)
A．[－4，0]
B．[－4，0）
C．[－4，－1）∪(－1，0]
D．[－4，－1)∪(－1，0)
解析：函数f(x)＝log2|x|－x-2的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝log2|－x|－(－x)-2＝log2|x|－x-2＝f(x)，所以f(x)＝
log2|x|－x-2为偶函数，当x>0时f(x)＝log2x－x-2，因为y＝log2x与y＝－x-2在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝log2x－x-2在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递减，不等式f(x－2)≥f(2x＋2)，即f(|x－2|)≥f(|2x＋2|)，等价于解得－4≤x<－1或－1考点3 函数的周期性及应用
【例4】　(1)（2024·山东青岛一模）若 x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，则f(2 024)的值为(　B　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
【解析】　由题意知 x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，令x＝－1，则f(－1)＋f(2)＝1－f(－1)f(2)，
∴f(2)＝1，显然f(x)＝－1时，－1＋f(x＋3)＝1＋f(x＋3)不成立，故f(x)≠－1，故f(x＋3)＝，则f(x＋6)＝＝f(x)，即6为函数f(x)的周期，则f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝1.故选B.
(2)设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，当x∈[0，1）时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[4，6]上的解析式是f(x)＝．
【解析】　因为f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数且x∈[0，1）时，f(x)＝log2(x＋1)，设x∈[4，5），则x－4∈[0，1），所以f(x)＝f(x－4)＝log2(x－3)；设x∈（5，6]，则x－6∈(－1，0]，－（x－6)∈[0，1），故f(x)＝f(x－6)＝－f[－(x－6)]＝－log2(6－x＋1)＝－log2(7－x)，又f(5)＝f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(5)＝0.综上可得，函数f(x)在[4，6]上的解析式是f(x)＝
1．求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期．
2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
【对点训练3】　(1)（2024·贵州六盘水三模）定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋3)＝f(1－x)，x∈[0，2]时，f(x)＝mex－1，则f(31)＝(　C　)
A．e＋1 B．e－1
C．1－e D．－e
解析：因为定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－f(x－4＋3)＝－f[1－(x－4)]＝－f(5－x)＝f(x－5)，故f(x)的周期为8，当x∈[0，2]时，f(x)＝mex－1，则f(0)＝m－1＝0，所以m＝1，所以f(31)＝f(－1)＝－f(1)＝1－e.故选C.
(2)（2024·安徽合肥模拟）若定义在R上的函数f(x)，满足2f(x＋y)f(x－y)＝f(2x)＋f(2y)，且f(1)＝－1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝(　D　)
A．0 B．－1
C．2 D．1
解析：令x＝y＝，则有2f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)，又f(1)＝－1，∴f(0)＝1.令x＝，y＝0，则有2ff＝f(1)＋f(0)＝－1＋1＝0，∴f＝0.令y＝x－，则有2f2x－f＝f(2x)＋f(2x－1).∵f＝0，∴f(2x)＋f(2x－1)＝0，∴f(x)＋f(x－1)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)]＋…＋[f(2 023)＋f(2 024)]＝1＋1 012×0＝1.故选D.
课时作业8
1．（5分）（2024·北京大兴区三模）下列函数中，是偶函数，且在(－∞，0)上是减函数的是(　B　)
A．f(x)＝tan x B．f(x)＝ex＋e－x
C．f(x)＝cos x D．f(x)＝x－
解析：对于A，函数f(x)＝tan x是奇函数，A错误；对于B，函数f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以函数为偶函数，f′(x)＝ex－e－x＝＝，令f′(x)＝0，得x＝0，当x∈(－∞，0)时，02．（5分）（2024·安徽淮北二模）若函数f(x)＝ax＋ln (ex＋1)是偶函数（e是自然对数的底数），则实数a的值为(　B　)
A．　　　 B．－　　
C．　　　 D．－
解析：依题意，f(－x)＝f(x)，即－ax＋ln (e－x＋1)＝ax＋ln (ex＋1)，整理得2ax＋ln ＝0，即2ax＋ln ex＝0，则有(2a＋1)x＝0，因为x不恒为0，所以必有2a＋1＝0，解得a＝－.故选B.
3．（5分）（2024·河北保定二模）若函数y＝f(x)－1是定义在R上的奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＝(　A　)
A．3 B．2
C．－2 D．－3
解析：设F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0，即f(x)＋f(－x)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝2.因为F(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，f(－1)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.故选A.
4．（5分）已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞），且x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则(　A　)
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)解析：因为对任意的x1，x2∈[0，＋∞），且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，所以由函数单调性的定义可知f(x)在[0，＋∞）上单调递减，所以f(3)5．（5分）（2024·陕西榆林二模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－，当x∈(2，4)时，f(x)＝1＋log3x，则f(99)＝(　B　)
A．1 B．2
C．－ D．－2
解析：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(99)＝f(3＋96)＝f(3)＝1＋log33＝2.故选B.
6．（5分）（2024·吉林长春模拟）已知函数f(x)＝|3x－3－x|，则不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为(　A　)
A．∪(1，＋∞)
B．
C．
D．(1，＋∞)
解析：f(x)＝|3x－3－x|，定义域为R，又f(－x)＝|3－x－3x|＝f(x)，故y＝f(x)为偶函数；又当x>0时，y＝3x，y＝－3－x均为单调增函数，故令g(x)＝3x－3－x，则g(x)为(0，＋∞)上的单调增函数；又g(0)＝0，故当x>0时，g(x)>0，则此时y＝f(x)＝g(x)为(0，＋∞)上的单调增函数，故x<0时，y＝f(x)为单调减函数；f(2x－1)－f(x)>0，即f(2x－1)>f(x)，则|2x－1|>|x|，即(2x－1)2>x2，整理得3x2－4x＋1>0，则(3x－1)(x－1)>0，解得x∈∪(1，＋∞).故选A.
7．（6分）（多选）（2024·贵州遵义一模）已知函数f(x)＝则下列结论中正确的是(　CD　)
A．函数f(x)有且仅有一个零点
B．函数f(x)是奇函数
C．f(x)在(－∞，2)上单调递减
D．函数f(x)的最小值为－4
解析：函数f(x)＝对于A，由f(x)＝0，得x＝0或x＝4，A错误；对于B，f(－4)＝4，而f(4)＝0，f(－4)＋f(4)≠0，函数f(x)不是奇函数，B错误；对于C，函数f(x)在（－∞，0]上单调递减，在(0，2)上单调递减，且f(0)＝0，因此f(x)在(－∞，2)上单调递减，C正确；对于D，当x≤0时，f(x)＝－x≥0，当x>0时，f(x)＝(x－2)2－4≥－4，当且仅当x＝2时取等号，因此函数f(x)的最小值为－4，D正确．故选CD.
8．（6分）（多选）已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(2－x)＝f(x)，则(　AB　)
A．4是f(x)的一个周期
B．f(6)＝0
C．f(1)＝f(3)
D．f(x－2)为偶函数
解析：对于A，由题意f(x)＝－f(－x)，f(2－x)＝f(x)，从而f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，这表明4是f(x)的一个周期，故A正确；对于B，由A可知4是f(x)的一个周期，且注意到函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(6)＝f(2)＝f(2－0)＝f(0)＝0，故B正确；对于C，由题意f(1)＝f(－3)＝－f(3)，而f(3)不一定等于0，事实上，我们可以构造满足题意的函数f(x)＝sin x，但f(3)＝－1≠0，即－f(3)≠f(3)，故C错误；对于D，显然f(x－2)的定义域是全体实数，且f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(－x－2)，即f(x－2)为奇函数，事实上可构造反例f(x)＝sin x满足题设，但是显然f(x－2)＝－sin x还是奇函数，故D错误．故选AB.
9．（5分）（2024·陕西榆林三模）已知函数y＝f(x)为奇函数，且最大值为1，则函数y＝2f(x)＋1的最大值和最小值的和为2．
解析：奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，所以函数f(x)最大值和最小值之和为0，则函数y＝2f(x)＋1的最大值和最小值之和为2.
10．（5分）（2024·湖北武汉模拟）已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝4，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝6.
解析：因为g(x＋1)＝xf(x＋1)，g(x＋1)是偶函数，y＝x为奇函数，所以y＝f(x＋1)为奇函数，所以f(1－x)＝－f(1＋x)，即f(－x)＝－f(x＋2)，因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期为4，由函数g(x＋1)是偶函数，可得g(－x＋1)＝g(x＋1)，即g(－x)＝g(x＋2)，所以g(－0.5)＝g(2.5)＝1.5f(2.5)＝1.5f(－2.5)＝1.5f(－2.5＋4×2)＝1.5f(5.5)＝6.
11．（16分）设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4].
12．（17分）已知函数f(x)＝＋a是奇函数．
(1)求a；
(2)求不等式2[f(x)]2≤f(－x)的解集．
解：(1)因为3x＋1≠0，所以f(x)的定义域为R，又函数f(x)＝＋a是奇函数，所以f(0)＝＋a＝0，解得a＝－1，
可得f(x)＝－1，
当x∈R时，f(－x)＝－1＝＝＝＝
1－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故a＝－1.
(2)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
由2[f(x)]2≤f(－x)得2[f(x)]2≤－f(x)，可得f(x)[2f(x)＋1]≤0，
解得－≤f(x)≤0，
即－≤－1≤0，
可得解得0≤x≤1，所以不等式2[f(x)]2≤f(－x)的解集为[0，1].
13．（5分）（2024·山东青岛三模）定义[x]表示不超过x的最大整数．例如：[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，则(　B　)
A．[x]＋[y]＝[x＋y]
B．f(x)＝x－[x]是周期函数
C．f(x)＝x－[x]是偶函数
D．f(x)＝x－[x]是增函数
解析：对于A，取x＝1.1，y＝1.9，则[x]＋[y]＝1＋1＝2，[x＋y]＝3，显然[x]＋[y]≠[x＋y]，所以A错误；对于B，函数f(x)是以1为周期的函数，故B正确；对于C，f(x)＝x－[x]，因为f(0.1)＝0.1－0＝0.1，f(－0.1)＝－0.1－(－1)＝0.9，所以f(0.1)≠f(－0.1)，所以f(x)不是偶函数，故C错误；对于D，f(0.1)＝0.1，f(1.1)＝0.1，所以f(0.1)＝f(1.1)，所以f(x)不是增函数，故D错误．故选B.
14．（5分）（2024·浙江绍兴三模）已知函数f(x)满足对任意实数x，y，都有f(f（x＋y)）＝f(x)＋f(y)成立，且f(0)＝1，则(　D　)
A．f(x＋1)为奇函数
B．f(x)＋1为奇函数
C．|f(x＋1)|为偶函数
D．|f(x)－1|为偶函数
解析：令x＝y＝0，则f(f（0)）＝f(0)＋f(0)，f(0)＝1，所以f(1)＝2，令y＝－x，则f(f（0)）＝f(x)＋f(－x)，即f(1)＝f(x)＋f(－x)，所以2＝f(x)＋f(－x)，所以函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，所以f(x＋1)的图象关于点(－1，1)对称，故A不正确；f(x)＋1的图象关于点(0，2)对称，故B不正确；由A可知|f(x＋1)|的图象不关于y轴对称，故C不正确；由A可知f(x)－1的图象关于点(0，0)对称，故f(x)－1为奇函数，所以|f(x)－1|为偶函数，故D正确．故选D.
15．（5分）（2024·山西临汾三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(2 024)＝－1．
解析：令x＝1，y＝0，则f(1)＋f(1)＝2f(1)＝f(1)f(0)，因为f(1)＝1，所以f(0)＝2，令x＝y＝1，则f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，得f(2)＝－1，令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即f(x－1)＝f(x)－f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋1)－f(x＋2)，所以f(x－1)＝f(x＋1)－f(x＋2)－f(x＋1)＝－f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x＋5)，所以f(x－1)＝f(x＋5)，即f(x)＝f(x＋6)，f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝－1.