第二章　2.4　函数的对称性及应用（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

2．4　函数的对称性及应用
掌握一些函数的轴对称和中心对称公式和推论，会利用函数的对称性解决相关问题．
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0)．
2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．(　×　)
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　×　)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　√　)
2．函数f(x)＝图象的对称中心为(　B　)
A．(0，0) B．(0，1)
C．(1，0) D．(1，1)
解析：因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移1个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称．故选B.
3．（人教A版必修第一册P87T13改编）已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝4．
解析：方法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4.
方法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)的图象关于点(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4.
4．若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝5．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5.
考点1 函数的对称性
【例1】　（2024·新课标Ⅰ卷T18节选）已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，求证：曲线y＝f(x)是中心对称图形．
【证明】　证法一　易知x∈(0，2)，
f(2－x)＋f(x)＝ln ＋a(2－x)＋b(1－x)3＋ln ＋ax＋b(x－1)3＝2a，
所以f(x)的图象关于点(1，a)中心对称，即曲线y＝f(x)是中心对称图形．
证法二　f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)，
f(1＋x)＋f(1－x)＝ln ＋a(1＋x)＋b(1＋x－1)3＋ln ＋a(1－x)＋b(1－x－1)3＝ln ＋a(1＋x)＋bx3＋ln ＋a(1－x)－bx3＝ln 1＋2a＝2a，因此f(x)的图象关于点(1，a)对称，所以曲线y＝f(x)是中心对称图形．
对称性的五个常用结论
(1)y＝f(x＋a)是偶函数 f(a＋x)＝f(a－x) y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)y＝f(x＋a)是奇函数 f(a＋x)＝－f(a－x) y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
(5)函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
特别地，当a＝b时，函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝0对称．
对称的充要条件
1．教材母题：（人教A版必修第一册P87T13）
我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
2．上述问题中第(2)题的结论为：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋c)为偶函数．
3．对于例1，由f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，可知y＝f(x＋1)－a＝ln ＋ax＋bx3为奇函数，故据教材结论可知，曲线y＝f(x)关于点(1，a)成中心对称．　
【典例】　（多选）已知函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，函数y＝f(x)图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋c)为偶函数，则(　ACD　)
A．函数f(x)＝的图象有对称轴
B．函数f(x)＝的图象无对称轴
C．函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是点(1，－2)
D．若函数f(x)＝x3－3x2，则f(－2 022)＋f(－2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝－8
【解析】　因为函数f(x)＝的定义域为R，而f(x＋1)＝为偶函数，所以函数f(x)＝的图象有对称轴，即直线x＝1，A正确，B错误；因为函数f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2的定义域为R，而y＝f(x＋1)＋2＝x3－3x为奇函数，所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是点(1，－2)，C正确；因为函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是点(1，－2)，所以f(x)＋f(2－x)＝－4，故f(－2 022)＋f(－2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝－8，D正确．故选ACD.
【对点训练1】　（2023·全国乙卷理T21节选）已知函数f(x)＝ln (1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称．
令g(x)＝f＝(x＋a)ln ＝(x＋a)ln ，
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)，
即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln ，
于是得
当a＝，b＝－时，g(x)＝ln 1＋，g(－1－x)＝ln ＝
ln ＝ln ＝ln ＝g(x)，
所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．
故存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－.
考点2 对称性与周期性
【例2】　（2024·江苏南通三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为偶函数，f(x＋2)－1为奇函数．若f(1)＝0，则(k)＝(　C　)
A．23　　 B．24
C．25　　 D．26
【解析】　f(x＋1)为偶函数，则f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x＋2)－1为奇函数，则f(－x＋2)－1＝－f(x＋2)＋1，即f(－x＋2)＋f(x＋2)＝2，则f(x)的图象关于点(2，1)对称，则由其关于直线x＝1对称有f(x)＝f(－x＋2)，则f(x)＋f(x＋2)＝2，则f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，作差有f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)为周期函数，且周期为4，因为f(1)＋f(3)＝2，f(1)＝0，则f(3)＝2，因为f(0)＝f(2)，f(0)＋f(2)＝2，则f(0)＝f(2)＝1，f(4)＝f(0)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，所以(k)＝24，(k)＝24＋0＋1＝25.故选C.
1．若函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝a，x＝b，则其周期T＝2|b－a|.
2．若函数y＝f(x)图象的对称中心为点(a，0)，(b，0)，则其周期T＝2|b－a|.
3．若函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝a，对称中心为点(b，0)，则其周期T＝4|b－a|.
【对点训练2】　(1)（2024·河北石家庄模拟）已知f(x)是周期为3的函数，且 x∈R都有f(3x)＋f(4－3x)＝4，则f(2 024)＝(　C　)
A．－4　　 B．－2
C．2　　　 D．4
解析：由已知f(3x)＋f(4－3x)＝4，即f(x)＋f(4－x)＝4，令x＝2，可知f(2)＋f(2)＝4，即f(2)＝2，又函数f(x)的周期为3，则f(2 024)＝f(2)＝2.故选C.
(2)（2024·山东济南二模）已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2 024)＝(　A　)
A．0　　　 B．1
C．2　　　 D．3
解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋（1＋x)）＝f(1－（1＋x)），即f(2＋x)＝f(－x)，又f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的定义域为R，所以f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)＝－f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(4＋x)，故f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 024)＝f(506×4＋0)＝f(0)＝0.故选A.
考点3 周期性、单调性与对称性
【例3】　(1)（多选）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f＝f，f(x)在
上单调递增，则(　ACD　)
A．f(0)＝0
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)的周期为2π
D．f(x)在上单调递减
【解析】　对于A，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，f(x)在上单调递增，所以f(x)在上单调递增，B错误；对于D，因为f＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，又因为f(x)在上单调递增，故f(x)在上单调递减，D正确；对于C，f＝f，则f(x)＝f(π－x)，又f(x)＝－f(－x)，所以f(π－x)＝－f(－x)，即f(π＋x)＝－f(x)，所以f(x＋2π)＝f(x)，结合f(x)的单调性可知f(x)的周期T＝2π，C正确．故选ACD.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，f(x－2)为偶函数，f(x－1)为奇函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax＋b，若f(2)＋f(3)＝，则(　A　)
A．f(x)在区间[0，1]上是增函数，且有最小值－
B．f(x)在区间[0，1]上是减函数，且有最大值
C．f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，且有最大值
D．f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，且有最小值－
【解析】　因为f(x－2)为偶函数，所以f(x－2)＝f(－x－2)①，且函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，又f(x－1)为奇函数，所以－f(x－1)＝f(－x－1)②，且函数f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称，所以有－f(x)＝f(－x－2)＝f(x－2) f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的一个周期为T＝4，令x＝0代入②得f(－1)＝0＝f(3)，即f(2)＝，令x＝3代入①得f(1)＝f(－5)＝f(3)＝0，所以解得所以f(x)＝x－(x∈[1，2])，
如图所示，根据函数的对称性与周期性可知，f(x)的图象关于直线x＝2对称，关于点(3，0)中心对称，可得f(x)在区间[－4，4]的图象，易知f(x)在区间[0，1]上是增函数，且有最小值f(0)＝－f(－2)＝－f(2)＝－，故A正确，B错误；f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，且有最大值f(－2)＝f(2)＝，最小值f(－1)＝0，故C，D均错误．故选A.
解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的取值范围或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式．
【对点训练3】　(1)已知定义在R上的函数f(x)在（－∞，2]上单调递增，若函数f(x＋2)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为(　B　)
A．(0，3)
B．(－∞，0)∪(1，3)
C．(－∞，0)∪(3，＋∞)
D．(0，1)∪(3，＋∞)
解析：由函数f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在（－∞，2]上单调递增，知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，由f(3)＝0，知f(1)＝0，作出函数f(x)的大致图象，如图．
由图可知，当x<0时，f(x)<0，则xf(x)>0；当00，则xf(x)>0；当x>3时，f(x)<0，则xf(x)<0.所以不等式xf(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，3).故选B.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数，若f(x)在(0，3)内单调递减，则下面结论正确的是(　B　)
A．f(－4.5)B．f(3.5)C．f(12.5)D．f(3.5)解析：由f(x＋6)＝f(x)，可得f(x)的一个周期为6，又y＝f(x＋3)为偶函数，f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以f(3.5)＝f(2.5)，f(－4.5)＝f(1.5)，f(12.5)＝f(0.5).又f(x)在(0，3)内单调递减，所以f(3.5)课时作业9
1．（5分）（2024·四川成都三模）函数y＝32x与y＝31-2x的图象(　D　)
A．关于直线x＝2对称
B．关于直线x＝1对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
解析：因为曲线y＝32x关于直线x＝a的对称曲线为y＝32(2a－x)，即y＝34a-2x，y＝34a-2x与y＝31-2x对比系数可知4a＝1，解得a＝，所以函数y＝32x与y＝31-2x的图象关于直线x＝对称．故选D.
2．（5分）（2024·四川南充二模）已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x－1)＋1的图象(　A　)
A．关于点(1，1)对称
B．关于点(－1，1)对称
C．关于点(－1，0)对称
D．关于点(1，0)对称
解析：函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，又f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点(0，0)对称，又y＝f(x－1)＋1的图象是由f(x)＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以函数y＝f(x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A.
3．（5分）（2024·湖南长沙二模）已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对任意x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)＝(　A　)
A．2 B．－2
C．0 D．－4
解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.故选A.
4．（5分）（2024·四川内江三模）已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且函数f(x＋1)为偶函数，f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝(　B　)
A．－1 B．0
C．1 012 D．2 024
解析：由f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的一个周期为4，由f(x＋1)为偶函数可知f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，即f(2)＝f(0)，又f(x＋2)＝－f(x)可知f(2)＝－f(0)，所以f(2)＝f(0)＝0，显然f(3)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0.故选B.
5．（5分）已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， x∈R，f＝f恒成立．当x2>x1≥1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)>0，f(0)＝－f(2)，则不等式f(x)(x2＋2x＋3)>0的解集为(　A　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，0)∪(1，2)
D．(0，1)∪(2，＋∞)
解析：因为f＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝＝1对称，所以f(0)＝f(2)，因为f(0)＝－f(2)，所以f(0)＝f(2)＝0，因为x2>x1≥1，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，f(x)(x2＋2x＋3)>0，所以f(x)>0，当x>1时，f(x)>0＝f(2)，结合单调性可知x>2，当x<1时，f(x)>0＝f(0)，结合单调性可知x<0，故f(x)(x2＋2x＋3)>0的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞).故选A.
6．（5分）定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且当x>2时，f(x)单调递增，若x1＋x2<4，(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　C　)
A．恒为正值 B．恒等于零
C．恒为负值 D．无法确定
解析：因为f(－x)＝－f(x＋4)，所以f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．又当x>2时，f(x)单调递增，所以f(x)在R上单调递增，如图，又(x1－2)(x2－2)<0，所以x1，x2位于点(2，0)的两边，不妨设x17．（6分）（多选）已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则(　AD　)
A．f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(x)的图象关于点(1，0)对称
C．f(x)的图象关于直线x＝2对称
D．f(x)的图象关于点(2，0)对称
解析：因为f(x＋2)为奇函数，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，又f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．故选AD.
8．（6分）（多选）已知函数f(x)为R上的奇函数，在（0，1]上单调递减，且满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　AB　)
A．f(2)＝0
B．函数f(x)是以2为周期的周期函数
C．函数f(x)在[5，6）上单调递增
D．函数f(x－1)为偶函数
解析：对于A，B，∵函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则－f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为2的周期函数，f(2)＝f(0)＝0，由此可知A，B正确；对于D，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，在f(x)＋f(2－x)＝0中，将x换为x＋1，得f(x＋1)＋f(1－x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(1－x)，
∴F(－x)＝－f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，∴D不正确；对于C，由函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，则函数f(x)在[5，6）上的单调性等价于函数f(x)在[－1，0）上的单调性，又奇函数f(x)在（0，1]上单调递减，∴函数f(x)在[－1，0）上单调递减，∴C不正确．故选AB.
9．（5分）定义在R上的奇函数f(x)满足 x∈R，f(x)＋f(4－x)＝0，且当0解析：因为f(x)是奇函数，且f(x)＋f(4－x)＝0，所以f(x)＝－f(4－x)＝f(x－4)，故f(x)是周期为4的周期函数．f(1)＋f(3)＝f(1)＋f(－1)＝0，所以f(3)＝－f(1)＝1，令x＝2，可得f(2)＋f(2)＝0，所以f(2)＝0，因为函数为奇函数且周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，则|f(1)|＋|f(2)|＋|f(3)|＋|f(4)|＝2|f(1)|＝2，则f(i)|＝506·f(i)|＝506×2＝1 012.
10．（5分）（2025·八省联考）已知曲线C：y＝x3－，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为2．
解析：由于(x，y)和(－x，－y)都符合y＝x3－，x≠0，所以曲线C关于原点对称，当x>0时，函数y＝x3－单调递增，由此大致画出曲线C如图所示，两条直线l1，l2均过坐标原点O，所以M，N两点关于原点对称，P，Q两点关于原点对称，根据对称性，不妨设M，N，P，Q的位置如图所示，可知|OP|＝|OQ|，|OM|＝|ON|，∠POM＝∠QON，所以△OPM≌△OQN，所以S△OQN＝S△OPM＝，而△OQM和△OQN的面积相等，所以S△OQM＝，所以S△MNQ＝2.
11．（16分）函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数y＝f(x)＝x3－6x2图象的对称中心；
(2)根据第(1)问的结论，求f(－100)＋f(－99)＋…＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(103)＋f(104)的值．
解：(1)设函数y＝f(x)＝x3－6x2图象的对称中心为P(a，b)，
由于函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
即函数g(x)＝f(x＋a)－b为奇函数，而g(x)＝(x＋a)3－6(x＋a)2－b＝x3＋(3a－6)x2＋(3a2－12a)x＋a3－6a2－b，
由于x∈R，g(－x)＝－g(x)，即－x3＋(3a－6)x2－(3a2－12a)x＋a3－6a2－b＝－x3－(3a－6)x2－(3a2－12a)x－(a3－6a2－b)，因为x∈R，故
解得
即函数y＝f(x)＝x3－6x2图象的对称中心为点(2，－16).
(2)由(1)的结论可知f(x)＋f(4－x)＝－32，则f(－100)＋f(104)＝－32，f(－99)＋f(103)＝－32，…，f(1)＋f(3)＝－32，而f(2)＝－16，故f(－100)＋f(－99)＋…＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(103)＋f(104)＝[f(－100)＋f(104)]＋[f(－99)＋f(103)]＋…＋[f(1)＋f(3)]＋f(2)＝(－32)×102＋(－16)＝－3 280.
12．（16分）已知函数f(x)＝（e＝2.718 28…是自然对数的底数）.
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)是否存在实数a使得f(x)的图象关于点(0，1)对称？若存在，请求出实数a；若不存在，请说明理由．
解：(1)ex－1≠0，x≠0，所以f(x)的定义域为{x|x≠0}，
f(x)＝＝＝a＋，
当a＝1时，f(x)＝1(x≠0)，f(x)没有单调性.
当a<1，1－a>0时，f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞).
当a>1，1－a<0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(0，＋∞).
(2)f(x)的定义域为{x|x≠0}，
假设存在实数a，使f(x)的图象关于点(0，1)对称，此时f(x)＋f(－x)＝2，
f(x)＝，f(－x)＝＝＝，
f(x)＋f(－x)＝＋＝＝＝3a－1＝2，a＝1.
故存在实数a满足题意，且a＝1.
13．（5分）（2024·陕西安康模拟）已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，f(1＋x)＝f(1－x)，函数f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，且对任意的x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，均有xf(x1)＋xf(x2)>xf(x2)＋xf(x1)，则下列关于函数y＝f(x)的说法中，正确的个数是(　C　)
①f(x＋2)＝f(x－2)；
②f③函数y＝f(x)在[2，4]上单调递增；
④不等式f(x)≥0的解集为[4k，4k＋2](k∈Z).
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由函数f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，得f(x)的图象关于点(0，0)对称，即函数f(x)是奇函数，由f(1＋x)＝f(1－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x＋4)＝f[(x＋3)＋1]＝f[1－(x＋3)]＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f[(x＋1)＋1]＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)＝f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，①正确；对任意的x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，均有xf(x1)＋xf(x2)>xf(x2)＋xf(x1)，不妨设x1>x2，则（x－x）f(x1)>（x－x）f(x2)，即f(x1)>f(x2)，因此f(x)在[0，1]上单调递增，f＝f＝f＝f，f＝f＝f>f，②正确；由函数f(x)是R上的奇函数，在[0，1]上单调递增，得函数f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，在[3，5]上单调递增，③错误；由f(2)＝f(0)＝0，f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，得当x∈[－1，3]时，f(x)≥0，则有x∈[0，2]，又函数f(x)是以4为周期的周期函数，因此不等式f(x)≥0的解集为[4k，4k＋2](k∈Z)，④正确．故选C.
14．（5分）（2024·江西南昌二模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，当0f(a)，则实数a的取值范围是(　D　)
A．，k∈Z
B．(－1＋4k，4k)，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
解析：因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；又因为f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称；由f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)知f(x)的一个周期为4.因为当0根据图象可知，若f(a＋1)>f(a)，则－＋4k15．（6分）（多选）（2024·江西南昌三模）已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若y＝|f(x)－2|的图象关于直线x＝1对称，则下列说法正确的是(　BCD　)
A．y＝|f(x)|的图象也关于直线x＝1对称
B．y＝f(x)的图象关于(1，2)中心对称
C．a＋b＋c＋d＝2
D．3a＋b＝0
解析：∵y＝|f(x)－2|的图象关于直线x＝1对称，∴|f(1－x)－2|＝|f(1＋x)－2|，
∴f(1－x)－2＝f(1＋x)－2或f(1－x)－2＝－f(1＋x)＋2.当f(1－x)－2＝f(1＋x)－2时，f(1－x)＝f(1＋x)，y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，此时，a(1＋x)3＋b(1＋x)2＋c(1＋x)＋d＝a(1－x)3＋b(1－x)2＋c(1－x)＋d，∴a[(1＋x)3－(1－x)3]＋b[(1＋x)2－(1－x)2]＋c[(1＋x)－(1－x)]＝0，当x≠0时，a[(1＋x)2＋(1＋x)(1－x)＋(1－x)2]＋b[(1＋x)＋(1－x)]＋c＝0，∴a(x2＋3)＋2b＋c＝0，∴x2＋3＝－，又∵－是一个定值，而x2＋3随x的不同而不同，∴此等式不成立，即f(1－x)－2＝f(1＋x)－2不成立，
∴f(1－x)－2＝－f(1＋x)＋2，即f(1－x)＋f(1＋x)＝4，∴y＝f(x)的图象关于(1，2)中心对称，B正确；∴f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4，f(1)＝2，即a＋b＋c＋d＝2，C正确；(0，f（0)）与(2，f（2)）关于(1，2)对称，∴f(0)＋f(2)＝4，即d＋8a＋4b＋2c＋d＝4，即4a＋2b＋c＋d＝2，∴3a＋b＝0，D正确；又a＋b＋c＋d＝2，则－2a＋c＋d＝2，即－2a＋c＝2－d，|f(0)|＝|d|，而|f(2)|＝|8a＋4b＋2c＋d|＝|－4a＋2c＋d|＝|4－d|，若A成立，则|f(0)|＝|f(2)|，得d＝2，∴－2a＋c＝0.但此时，|f(－1)|＝|－a＋b－c＋d|＝|－4a－c＋2|＝|－6a＋2|，|f(3)|＝|6a＋2|，∴由|f(－1)|＝|f(3)|可得a＝0，但这与已知矛盾，∴y＝|f(x)|的图象不可能关于直线x＝1对称，A错误．故选BCD.