第二章　2.5　二次函数（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

2．5　二次函数
理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题．
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
(3)交点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
2．二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象（抛 物线）
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在 上是减函数
教材拓展
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当
时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.(　√　)
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　×　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　×　)
2．函数y＝x2－2x＋4的最小值为3．
解析：y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故当x＝1时，ymin＝3.
3．已知f(x)为二次函数，若f(x)在x＝2处取得最小值－4，且f(x)的图象经过原点，则函数解析式为f(x)＝x2－4x．
解析：由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，解得a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.
4．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围为(－∞，40]∪[160，＋∞)．
解析：依题意知，≥20或≤5，解得k≥160或k≤40.
考点1 二次函数的解析式
【例1】　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝－4x2＋4x＋7．
【解析】　方法一（利用“一般式”）　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二（利用“顶点式”）　设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为直线x＝＝，所以m＝.又函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三（利用“交点式”）　由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8.解得a＝－4或a＝0（舍）.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
【对点训练1】　已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1．
解析：由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(0)＝1，即c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1，所以f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x，从而有解得所以f(x)＝x2－x＋1.
考点2 二次函数的图象
【例2】　（多选）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(　BCD　)
A．a＋b＋c<0 B．a＋cC．abc<0 D．b2<4a(c＋4a)
【解析】　由题意得a<0，x＝－＝1，则b＝－2a>0，当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故A错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，则a＋c0，则abc<0，故C正确；设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，由图象可知|x1－x2|＝＝<4，整理可得b2<4a(c＋4a)，故D正确．故选BCD.
研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
【对点训练2】　（多选）设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　ABD　)
解析：函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－，设与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，对于A，a<0，－<0，－<0，>0，则a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意；对于B，a<0，－>0，－>0，<0，则a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意；对于C，a>0，－<0，－<0，>0，则a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意；对于D，a>0，－>0，－>0，>0，则a>0，b<0，c>0，∴abc<0，符合题意．故选ABD.
考点3 二次函数的最值
【例3】　已知函数f(x)＝x2＋4ax.
(1)若f(x)在区间[1，3]上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)求f(x)在区间[a，a＋1]上的最小值g(a).
【解】　(1)易知f(x)＝x2＋4ax的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2a，
所以若f(x)在区间[1，3]上单调递增，则需－2a≤1 a≥－，
若f(x)在区间[1，3]上单调递减，则需－2a≥3 a≤－，
综上，a的取值范围为∪.
(2)当a<－2a当－2a≤a，即a≥0时，g(a)＝f(a)＝5a2，
当－2a≥a＋1，即a≤－时，g(a)＝f(a＋1)＝5a2＋6a＋1，
综上，g(a)＝
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和抛物线的顶点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．
【对点训练3】　已知函数f(x)＝x2＋(1－2a)x＋(a∈R).
(1)若函数f(x)在[2，＋∞）上单调递增，求a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得函数f在区间[－1，1]上的最小值为－2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为二次函数的解析式为f(x)＝x2＋(1－2a)x＋(a∈R)，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝且开口向上，即f(x)的增区间为，
又函数f(x)在[2，＋∞）上单调递增，
所以[2，＋∞） ，
可得≤2，解得a≤.
所以a的取值范围是.
(2)令g(x)＝f＝＋(1－2a)＋＝x2－2ax＋a＝(x－a)2－a2＋a≥－a2＋a，
假设存在实数a，使得函数g(x)在区间[－1，1]上的最小值为－2，则－a2＋a≤－2，得a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.
当a≤－1时，g(x)在[－1，1]上递增，
则g(x)min＝g(－1)＝3a＋1，所以3a＋1＝－2，得a＝－1；
当a≥2时，g(x)在[－1，1]上递减，
则g(x)min＝g(1)＝1－a，所以1－a＝－2，得a＝3.
综上所述，存在实数a＝－1或a＝3，使得函数f在区间[－1，1]上的最小值为－2.
课时作业10
1．（5分）已知函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，则f(x)的单调增区间是(　B　)
A．(－1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：因为函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，又因为f(x)图象的对称轴为直线x＝，所以m＝0.所以f(x)＝x2＋1，所以f(x)的单调增区间是(0，＋∞).故选B.
2．（5分）函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是(　D　)
A．[0，1] B．
C．[1，2] D．
解析：f(x)＝2x2－x－1＝2－，因为－1≤x≤1，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，又f(1)＝2－1－1＝0，f(－1)＝2＋1－1＝2，故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域为.故选D.
3．（5分）二次函数y＝f(x)的图象如图所示，那么此函数为(　C　)
A．y＝x2－4
B．y＝4－x2
C．y＝(4－x2)
D．y＝(2－x2)
解析：由题中图象经过点(2，0)，(－2，0)可设其解析式为y＝a(x＋2)(x－2)，将(0，3)代入，得3＝－4a，解得a＝－，故其解析式为y＝－(x＋2)(x－2)，化简为y＝(4－x2).故选C.
4．（5分）二次函数y＝x2＋(2a－1)x－3在x∈[－1，3]上最大值为1，则实数a的值为(　D　)
A．－ B．－
C．－或－ D．－1或－
解析：由函数y＝x2＋(2a－1)x－3，得其图象开口向上，对称轴为直线x＝.当≤1时，即a≥－，x＝3时有最大值1，即9＋(2a－1)×3－3＝1，解得a＝－；当>1时，即a<－，x＝－1时有最大值1，即1＋(2a－1)×(－1)－3＝1，得a＝－1.故a＝－1或a＝－.故选D.
5．（5分）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a解析：若a0，故C错误，A正确．故选A.
6．（5分）已知函数f(x)＝x2－x＋5在[m，n]上的值域为[4m，4n]，则m＋n＝(　D　)
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：f(x)＝x2－x＋5图象的对称轴为直线x＝1，则f(1)＝×12－1＋5＝≤4m，解得m≥，则f(x)在[m，n]上单调递增，所以即所以m，n为方程x2－x＋5＝4x的两个根，即m，n为方程x2－10x＋10＝0的两个根，所以m＋n＝10.故选D.
7．（6分）（多选）关于函数y＝，下列说法正确的是(　BD　)
A．在区间(－1，＋∞)上单调递减
B．单调递增区间为[－3，－1]
C．没有最小值
D．最大值为2
解析：由4－(x＋1)2≥0，得－3≤x≤1，即函数y＝的定义域为[－3，1]，令t＝4－(x＋1)2，则t＝4－(x＋1)2的图象是开口向下，对称轴为直线x＝－1的抛物线，所以函数t＝4－(x＋1)2在[－3，－1]上单调递增，在[－1，1]上单调递减，又y＝单调递增，所以y＝在[－3，－1]上单调递增，在[－1，1]上单调递减，故B正确，A错误；由于当x＝－3时，t＝4－(－3＋1)2＝0，当x＝1时，t＝4－(1＋1)2＝0，当x＝－1时，t＝4，故0≤t≤4，所以ymax＝2，ymin＝0，故D正确，C错误．故选BD.
8．（6分）（多选）设函数f(x)的定义域为R，对于任意给定的正数p，定义函数fp(x)＝
则称fp(x)为f(x)的“p界函数”．若函数f(x)＝x2＋2x，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．f3(2)＝3
B．f3(x)的最小值为－1
C．f3(x)在[－1，1]上单调递减
D．f3(x－1)为偶函数
解析：根据题意，由x2＋2x≤3，解得－3≤x≤1，f3(x)＝所以f3(2)＝3，故A正确；当－3≤x≤1时，f3(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，且f3(x)在[－1，1]上单调递增，在[－3，－1]上单调递减，f3(1)＝3，f3(－1)＝－1，f3(－3)＝3，所以－1≤f3(x)≤3，即f3(x)的值域为[－1，3]，故B正确，C错误；因为f3(x－1)＝则f3(x－1)的图象如图所示，由图可知f3(x－1)的图象关于y轴对称，所以函数f3(x－1)为偶函数，故D正确．故选ABD.
9．（5分）已知函数f(x)＝x2－(2a－1)x，若在区间(－∞，1)内任意两个实数m，n(m≠n)，都有<1恒成立，则实数a的取值范围为[1，＋∞）．
解析：不妨设m>n，因为<1，可得f(m)－f(n)10．（5分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞），且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x)＝x2－4x＋6．
解析：依题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则x＝－＝2，所以a＝－4，所以f(x)＝x2－4x＋b＝(x－2)2＋b－4≥b－4，又f(x)的值域为[2，＋∞），所以b－4＝2，b＝6，所以函数f(x)＝x2－4x＋6.
11．（16分）已知二次函数y＝f(x)的图象过点(－1，3)，且不等式f(x)－7x<0的解集为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－mx，若g(x)在(2，4)上是单调函数，求实数m的取值范围．
解：(1)因为不等式f(x)－7x<0的解集为，所以和1为关于x的方程f(x)－7x＝0的两根，且二次函数y＝f(x)的图象开口向上，则可设f(x)－7x＝a(x－1)(a>0)，即f(x)＝a·(x－1)＋7x，由f(x)的图象过点(－1，3)，可得a－1－(－1－1)＋7×(－1)＝3，解得a＝4，
所以f(x)＝4(x－1)＋7x，
即f(x)＝4x2＋2x＋1.
(2)g(x)＝f(x)－mx＝4x2＋2x＋1－mx＝4x2＋(2－m)x＋1，其图象的对称轴为直线x＝－，因为g(x)在(2，4)上是单调函数，所以－≤2或－≥4，解得m≤18或m≥34，即实数m的取值范围为(－∞，18]∪[34，＋∞).
12．（16分）函数f(x)＝2x2－2ax＋3，其中a∈R.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)>6x－9的解集；
(2)当x∈[－1，3]时，f(x)的最小值为0，求a的值．
解：(1)当a＝2时，不等式f(x)>6x－9，即x2－5x＋6>0，解得x<2或x>3，
所以不等式f(x)>6x－9的解集为{x|x<2或x>3}．
(2)易知f(x)＝2x2－2ax＋3的对称轴为x＝，
①当≤－1时，函数f(x)在[－1，3]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝5＋2a＝0，得a＝－，符合题意；
②当－1<<3时，函数f(x)在
上单调递减，在上单调递增，
则f(x)min＝f＝3－＝0，解得a＝或a＝－（舍）；
③当≥3时，函数f(x)在[－1，3]上单调递减，则f(x)min＝f(3)＝21－6a＝0，解得a＝，不符合题意．
综上所述，a的值为－或.
13．（5分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式f(x)A．9 B．8
C．6 D．4
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)开口向上，最小值为0，∴＝0，∴b＝，则f(x)＝x2＋ax＋＝，∵f(x)14．（6分）（多选）已知函数f(x)＝(x2－x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝2对称，则(　AD　)
A．a＋b＝5
B．f(x)的最小值是－
C．f(x)图象与直线2x＋y－8＝0相切
D．f(x)图象与直线12x－y－48＝0相切
解析：由题意得f(0)＝f(1)＝0，因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)＝0，f(4)＝f(0)＝0，所以9＋3a＋b＝0，16＋4a＋b＝0，于是a＝－7，b＝12，所以a＋b＝5，故A正确；f(x)＝(x2－x)(x2－7x＋12)＝x(x－1)(x－3)(x－4)＝(x2－4x)(x2－4x＋3)，令t＝x2－4x，t≥－4，则g(t)＝t(t＋3)＝t2＋3t，t≥－4，因为g(t)＝t2＋3t的图象开口向上，对称轴是直线t＝－，所以g(t)的最小值为g＝－，故B错误；联立解得x＝4或x＝2或x＝1±，f′(x)＝(2x－4)(x2－4x＋3)＋(x2－4x)(2x－4)＝(2x－4)(2x2－8x＋3)，f′(4)＝12≠－2，f′(2)＝0≠－2，f′（1±）＝－18±10≠－2，所以f(x)的图象与直线2x＋y－8＝0不能相切，故C错误；f′(x)＝(2x－4)(2x2－8x＋3)，f′(4)＝12，f(4)＝0，所以函数f(x)的图象在x＝4处的切线方程为12x－y－48＝0，故D正确．故选AD.
15．（5分）设MI表示函数f(x)＝|x2－4x＋2|在闭区间I上的最大值．若正实数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则正实数a的取值范围是．
解析：函数f(x)的图象如图所示，f(x)图象的对称轴为直线x＝2，f(2)＝2，f(0)＝f(4)＝2；当f(x)＝0时，x＝2±，(1)当a>4时，M[0，a]＝f(a)，M[a，2a]＝f(2a)，依题意，f(a)≥2f(2a)，而函数在x≥2＋时是增函数，此时a<2a，f(a)(2)当a≤4时，M[0，a]＝2，依题意，2≥2M[a，2a]，即M[a，2a]≤1，令f(x)＝1，解得x1＝2－，x2＝1，x3＝2＋，x4＝3，则有a≥2－并且2a≤1，解得2－≤a≤；或者a≥3并且2a≤2＋，无解．综上，2－≤a≤.