第二章　2.7　指数与指数函数（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

2．7　指数与指数函数
1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．
2．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象经过的特殊点．
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝
2．有理数指数幂
概念 正分数指数幂：a＝ a>0，m，n∈N*，n>1
负分数指数幂：a－＝＝
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意 义
运算 性质 ar·as＝ar＋s a>0，b>0，r，s∈Q
(ar)s＝ars
(ab)r＝arbr
3.指数函数的概念、图象与性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)图象与性质
项目 y＝ax(a>0，且a≠1)
图象 01
图象特征 在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升
性 质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
单调性 递减 递增
函数变 化规律 当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；当x>0时，00时，y>1
教材拓展
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数①y＝mx，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数m，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞m＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝2x-1是指数函数．(　×　)
(2)函数y＝ (a>1)的值域是(0，＋∞).(　×　)
(3)2-3＞2-4.(　√　)
(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　×　)
2．(人教A版必修第一册P119T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　C　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C.
3．(人教A版必修第一册P120T10改编)函数f(x)＝的单调递减区间为[1，＋∞)．
解析：复合函数f(x)＝可以分为外部函数y＝0.7u与内部函数u＝x2－2x，因为外部函数y＝0.7u在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求f(x)的减区间，等价于求内部函数u＝x2－2x的增区间，易知u＝x2－2x的增区间为[1，＋∞)，故f(x)的减区间为[1，＋∞).
4．已知a>0，b>0，则·÷＝1．
解析：·÷＝··a÷b＝a－＋·b－＝a0·b0＝1.
考点1 指数幂的运算
【例1】　计算：
(1) ÷(a>0)；
(2) －－π0；
(3) (a>0，b>0).
【解】　(1)原式＝÷＝(a3) ÷(a2) ＝a÷a＝1.
(2)原式＝－－1＝－－1＝－－1＝0.
(3)原式＝＝·＝a-1＝.
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
【对点训练1】　(1)已知a＋a-1＝7，则a－＝(　B　)
A． B．±
C．3 D．±3
解析：由＝a＋a-1－2＝5，可得a－a－＝±.故选B.
(2)计算：(－64)＋[(－3)4]－(－1)0＋＝(　C　)
A．－ B．－
C．－ D．
解析：(－64)＋[(－3)4]－(－1)0＋＝(－43)＋(34)－1＋＝－4＋3－1＋＝－.故选C.
考点2 指数函数的图象及应用
【例2】　(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c与指数函数y＝的图象可能是(　A　)
【解析】　因为y＝为指数函数，所以>0，且≠1，所以－<0，因为二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝－，所以B，D错误，由指数函数的图象可知0<<1，所以－<－<0，所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误．故选A.
(2)若关于x的不等式4ax-1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为．
【解析】　不等式4ax-1<3x－4等价于ax-11时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；
当0　　
如图2所示，则f(2)≤g(2)，即a2-1≤×2－1，a≤，故a的取值范围是.
1．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．注意，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
【对点训练2】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　D　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0解析：由图象可知，函数f(x)为减函数，从而有0方法一　由f(x)＝ax－b的图象，得其与y轴交点的纵坐标y∈(0，1)，令x＝0，得y＝a－b，则0方法二　函数f(x)的图象可看作是由y＝ax(00，即b<0.故选D.
(2)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0，1)时，可能等于(　C　)
A．－1或－2 B．－1或－3
C．－2或－3 D．0
解析： 表示点M(x1，y1)与点A(1，－1)确定的直线的斜率k，又M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点，如图，当M接近B(1，e)时，k→－∞，当M为(0，1)时，k＝＝－2，则k∈(－∞，－2]，只有C满足．故选C.
考点3 指数函数的性质及应用
命题角度1　比较指数式大小
【例3】　(2024·四川成都模拟)设a＝0.50.4，b＝0.41.1，c＝1.10.5，则(　D　)
A．aC．a【解析】　因为指数函数y＝0.5x是单调减函数，所以0.51.1<0.50.4<0.50＝1，又幂函数y＝x1.1在(0，＋∞)上是单调增函数，所以1＝11.1>0.51.1>0.41.1，又因为指数函数y＝1.1x是单调增函数，所以1.10.5>1.10＝1，综上可得b命题角度2　解指数方程或不等式
【例4】　(1)不等式≤的解集为{x|－1≤x≤3}．
【解析】　不等式≤即2x2－4x－1≤22-2x，因为函数y＝2x为单调递增函数，所以x2－4x－1≤2－2x，所以x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，所以不等式≤
的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．
【解析】　由10x－6x－3x≥1，两边同除以10x，可得＋＋≤1，令f(x)＝＋＋，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞).
命题角度3　指数函数性质的综合应用
【例5】　已知函数f(x)＝＋a.
(1)若f(x)是奇函数，求a的值；
(2)若f(x)≥0在x∈[－1，1]上恒成立，求a的取值范围．
【解】　(1)因为f(x)＝＋a的定义域为R且是奇函数，所以f(0)＝0，即＋a＝0，解得a＝－，
此时f(x)＝－＝－，
则f(－x)＝－＝－＝－f(x)，符合题意．
(2)因为f(x)≥0在x∈[－1，1]上恒成立，所以f(x)min≥0.
令t＝2x，因为x∈[－1，1]，所以t∈，
所以y＝＋a＝＋1＋a，t∈，
因为y＝＋1＋a在上单调递增，
所以ymin＝＋1＋a＝a＋，即f(x)min＝a＋，故a＋≥0，解得a≥－，
所以a的取值范围是.
1．比较指数式的大小的方法
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．
(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小．
2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，一般要借助“同增异减”这一性质分析判断．
易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．
【对点训练3】　(1)(多选)已知函数f(x)＝，则(　ABD　)
A.函数f(x)的定义域为R
B．函数f(x)的值域为(0，2]
C．函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递增
D．f()>f(4)
解析：令u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞).对于A，f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，因为y＝，u∈[－1，＋∞)的值域为(0，2]，所以函数f(x)的值域为(0，2]，故B正确；对于C，因为u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝在[－1，＋∞)上单调递减，所以根据复合函数的单调性，得函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，故C不正确；对于D，由于函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，则f()>f(4)，故D正确．故选ABD.
(2)已知函数f(x)＝4x－m·2x+1－8.
①若m＝1，求不等式f(x)<0的解集；
②若 x∈[0，2]，f(x)≥－12恒成立，求实数m的取值范围．
解：①当m＝1时，可得f(x)＝4x－2x+1－8，即4x－2x+1－8<0，即(2x)2－2×2x－8<0，整理得(2x－4)(2x＋2)<0，
因为2x＋2>0，所以2x－4<0，解得x<2，所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，2).
②令t＝2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]，可得4x－m·2x+1－8＝t2－2mt－8，
由f(x)≥－12，可得t2－2mt－8≥－12，
因为 x∈[0，2]，f(x)≥－12恒成立，即t2－2mt＋4≥0对任意t∈[1，4]恒成立，即m≤对任意t∈[1，4]恒成立，
又因为＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即t＝2时取等号，
所以m≤2，
即实数m的取值范围为(－∞，2].
课时作业12
1．(5分)如果函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab＝(　D　)
A．　　　 B．1　　　
C．9　　　 D．8
解析：根据题意可得2a＝1 a＝，－(b＋3)＝0 b＝－3，则ab＝＝8.故选D.
2．(5分)若x＋x-1＝3，则＝(　A　)
A． B．
C． D．
解析：将x＋x-1＝3两边平方，得x2＋x-2＋2＝9，即x2＋x-2＝7，所以＝
＝＝.故选A.
3．(5分)函数f(x)＝图象的大致形状是(　A　)
解析：由题意f(x)＝＝所以当x<0时，f(x)＝－单调递增，且f(x)<0，当x>0时，f(x)＝单调递减，且f(x)>0，且当x从左边趋于0时，f(x)＝－趋于－1，当x从右边趋于0时，f(x)＝趋于1.故选A.
4．(5分)已知a＝1.3，b＝1.6，c＝1.6，则(　B　)
A．bC．a解析：因为y＝x在(0，＋∞)上为增函数，1.3<1.6，所以a5．(5分)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，必成立的是(　D　)
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b<0，c>0
C．2－a<2c
D．ac<0
解析：由于函数f(x)＝|2x－1|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上为增函数，由于af(c)>f(b)，因此a<0，c>0，b无法确定正负，如图，
故ac<0，故A，B错误，D正确；由于a<0，则－a>0，故f(－a)－f(a)＝2－a－1－(1－2a)＝2－a＋2a－2≥2－2＝0，当且仅当a＝0时等号成立，又因为a不等于0，则等号无法取到，因此f(－a)>f(a)，又f(a)>f(c)，所以f(－a)>f(c)，由于－a>0，c>0，f(x)＝|2x－1|在(0，＋∞)上为增函数，因此－a>c，故2－a>2c，故C错误．故选D.
6．(5分)已知f(x)＝x3＋πx－＋e，若f(a)＋f(b)<2e，则(　A　)
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C．a－b<0 D．a－b>e
解析：设g(x)＝x3＋πx－，x∈R，因为y＝在R上单调递减，所以y＝－在R上单调递增，又y＝x3，y＝πx在R上单调递增，所以g(x)在R上单调递增，因为g(－x)＝(－x)3＋π－x－＝－x3＋－πx＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，因为f(a)＝g(a)＋e，f(b)＝g(b)＋e，所以f(a)＋f(b)＝g(a)＋g(b)＋2e<2e，所以g(a)<－g(b)＝g(－b)，又因为g(x)在R上单调递增，所以a<－b，即a＋b<0.故选A.
7．(6分)(多选)已知a>0，b>0，则下列各式正确的是(　ABD　)
A．＝π－3
B．＝1
C．a－＝
D．4ba－÷＝－6b
解析：由π－3>0，得＝π－3，A正确；＝＝·＝a0b0＝1，B正确；a－＝，C错误；4ba－÷＝·＝－6a0b1＝－6b，D正确．故选ABD.
8．(6分)(多选)(2024·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．函数f(x)单调递增
B．函数f(x)的值域为(0，2)
C．函数f(x)的图象关于(0，1)对称
D．函数f(x)的图象关于(1，1)对称
解析：f(x)＝＝＝2－，令t＝2x-1＋1，则函数y＝2－，t>1，又t＝2x-1＋1在R上单调递增，y＝2－在(1，＋∞)上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；因为2x-1＋1>1，所以0<<2，则0<2－<2，所以函数f(x)的值域为(0，2)，故B正确；f(2－x)＝＝＝，f(2－x)＋f(x)＝2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，故C错误，D正确．故选ABD.
9．(5分) <的解集为(1，3)．
解析：由<得x2－4x<－3，解得110．(5分)设f(x)＝2x-1－2－x-1，当x∈R时，f(x2＋2mx)＋f(2)＞0恒成立，则实数m的取值范围是(－，)．
解析：由函数f(x)＝2x-1－2－x-1＝(2x－2－x)＝，根据指数函数的图象与性质，可得函数f(x)是R上的增函数．又f(－x)＝2－x-1－2x-1＝－(2x-1－2－x-1)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．因为f(x2＋2mx)＋f(2)＞0，即f(x2＋2mx)＞－f(2)＝f(－2)，所以x2＋2mx＞－2，即x2＋2mx＋2＞0在x∈R上恒成立，则Δ＝(2m)2－4×2＜0，即4m2＜8，解得－＜m＜，所以实数m的取值范围是(－，).
11．(16分)已知f(x)＝(a2－2a－2)·ax＋b－8(a>0且a≠1)是指数函数．
(1)求a，b；
(2)求关于x的不等式f(log0.5(x－a)＋b－2a)>3的解集；
(3)求函数F(x)＝f(2x)－4f(x)－2在区间[0，3)上的值域．
解：(1)由指数函数定义，得
a>0且a≠1，
解得则f(x)＝3x，故a＝3，b＝8.
(2)不等式f(log0.5(x－a)＋b－2a)>3，即f(log0.5(x－3)＋2)>f(1)，
而函数f(x)＝3x在R上递增，因此log0.5(x－3)＋2>1，
即log0.5(x－3)>－1＝log0.50.5-1＝log0.52，则0所以原不等式的解集为(3，5).
(3)F(x)＝f(2x)－4f(x)－2＝32x－4·3x－2＝(3x)2－4·3x－2，
x∈[0，3)，令3x＝t，y＝F(x)，则t∈[1，27)，所以y＝t2－4t－2，t∈[1，27)，
由二次函数的性质可知，y＝t2－4t－2在[1，2)上单调递减，在(2，27)上单调递增，所以ymin＝－6，
当t＝27时，y＝619，当t＝1时，y＝－5，619>－5，故函数F(x)在区间[0，3)上的值域为[－6，619).
12．(17分)已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a的值；
(2)求解不等式f(x)≥4；
(3)当x∈(1，3)时，f(tx2)＋f(x－1)>0恒成立，求实数t的取值范围．
解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为函数是奇函数，
f(－x)＝＝，
所以f(－x)＝－f(x)，
即＝，则a＝2.
(2)f(x)＝≥4，即≥2，
整理得1<2x≤3，则0(3)f(x)＝＝2＋，所以f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．
由f(tx2)＋f(x－1)>0可得f(tx2)>－f(x－1)＝f(1－x)，
当t<0时，tx2<0，又x∈(1，3)，1－x<0，所以tx2<1－x，所以t<－＝－，所以t<－.
由f(x)＝2＋可知当x>0时，2x－1>0，所以f(x)>2；当x<0时，－1<2x－1<0，所以f(x)<－2.
当t>0时，tx2>0，则f(tx2)>2，而x∈(1，3)，1－x<0，则f(1－x)<－2，满足题意．
函数的定义域D＝{x|x≠0}，则t＝0时，tx2＝0 D，不满足题意，舍去．
综上，t的取值范围为∪(0，＋∞).
13．(5分)(2024·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝则f(x)图象上关于原点对称的点有(　C　)
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：如图，作出f(x)的图象(实线)，再作出和函数y＝，x≥0的图象关于原点对称的图象(虚线).因为和函数y＝，x≥0的图象关于原点对称的图象与y＝－|x2＋2x|，x<0的图象有三个交点，故f(x)图象上关于原点对称的点有3对．故选C.
14．(5分)(2024·河北保定三模)已知f(x)＝(a>1)的值域为D，
D ，则a的取值范围是(　D　)
A． B．
C． D．
解析：①若11时，f(x)＝x＋－1≥2－1，当且仅当x＝>1时，等号成立，又函数f(x)的值域D满足D ，则解得≤a<2；
②若a>2，当x≤1时，f(x)＝(a－1)x－在(－∞，1]上单调递增，此时f(x)∈，当x>1时，f(x)＝x＋－1≥2－1，当且仅当x＝>1时，等号成立，又函数f(x)的值域D满足D ，不合题意；③当a＝2时，f(x)＝
若x>1，有x＋－1≥2－1>(当且仅当x＝时取等号)符合题意．综上所述，≤a≤2.故选D.
15．(5分)(2024·北京西城区三模)已知函数f(x)＝2x，若 x1，x2∈R，且x1A．f(x1)B．f<
C．f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)
D．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)
解析：由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增，又x10，2x2>0，所以＝≥＝2＝f，又x1f，故B正确；f(x1x2)＝2x1x2，f(x1)＋f(x2)＝2x1＋2x2， x1，x2∈R，x1