第二章　2.8　对数与对数函数（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

2．8　对数与对数函数
1．理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点．
3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1).
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
3．换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
4．对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
5．对数函数的图象及性质
a的范围 01
图象
性 质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
6.指数函数与对数函数的关系
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称．
教材拓展
1．换底公式及其推论
(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1).
(2)logambn＝logab(a，b均大于0.a≠1，m≠0).
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0).
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0由此我们可得到此规律：底数不同的对数函数图象在第一象限内与直线y＝1相交，交点从左到右对应的底数逐渐增大．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　×　)
(2)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　√　)
(3)当x>1时，若logax>logbx，则a(4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合．(　√　)
2．(人教A版必修第一册P141T13(1)改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　A　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．c＞b＞a
解析：方法一　如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c.故选A.
方法二　易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2，所以＜＜，即log0.46＜log0.36＜log0.26，即a＞b＞c.故选A.
3．若函数y＝loga(x－2)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为(3，4)．
解析：当x＝3时，y＝loga1＋4＝4，∴函数y＝loga(x－2)＋4的图象恒过点A(3，4).
4．(人教B版必修第二册P28练习A T5改编)已知函数f(x)＝2＋log3x的定义域为[1，9]，则函数f(x)的值域是[2，4]．
解析：∵1≤x≤9，∴log31≤log3x≤log39，即0≤log3x≤2，即2≤f(x)≤4，则函数f(x)的值域为[2，4].
5．计算：e2ln 3－log49·log278＋lg 4＋lg 25＝10．
解析：原式＝eln 9－log23·log32＋lg 100＝9－1＋2＝10.
考点1 对数的运算
【例1】　计算下列各式的值：
(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)2(lg )2＋lg ×lg 5＋.
【解】　(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
(2)原式＝lg ×(2lg ＋lg 5)＋＝lg ×(lg 2＋lg 5)＋1－lg ＝lg ＋1－lg ＝1.
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式再进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【对点训练1】　(1)计算：log100－log54＋log29×log38－10lg 3＝5．
解析：由题意可得原式＝log5102－log522＋log232×log323－3＝×log510－2log52＋2log23×3log32－3＝2(1＋log52)－2log52＋6××－3＝2＋6－3＝5.
(2)已知log73＝a，7b＝2，用a，b的代数式表示log614＝．
解析：由7b＝2可得b＝log72，所以log614＝＝＝.
考点2 对数函数的图象及应用
【例2】　(1)(2024·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　D　)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【解析】　当x＝0时，y＝loga＝－1，则当0则当a>1时，如图2，函数图象过第一、三、四象限．
　　
所以函数y＝loga的图象一定经过第三、四象限．故选D.
(2)已知函数f(x)＝有且只有4个零点x1，x2，x3，x4(x1【解析】　设g(x)＝
则f(x)＝g(x)－k，作出g(x)的图象及直线y＝k如图，g(0)＝1，g(－1)＝2，函数f(x)有4个零点，等价于方程g(x)＝k有4个不相等的实数根，所以数形结合可知，g(0)≤k对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【对点训练2】　(1)函数f(x)＝－loga(x－b)及g(x)＝bx＋a，则y＝f(x)及y＝g(x)的图象可能为(　B　)
解析：令t＝，当00，单调递减，因为函数y＝logat单调递减，所以f(x)＝loga单调递增且定义域为(b，＋∞)，此时直线g(x)＝bx＋a在y轴上的截距在(0，1)上，排除C.当a>1时，t＝>0，单调递减，因为函数y＝logat单调递增，所以f(x)＝loga单调递减且定义域为(b，＋∞)，此时直线g(x)＝bx＋a在y轴上的截距在(1，＋∞)上，排除D.在A，B中，由y＝g(x)的图象知b<0，则f(x)＝－loga(x－b)＝0时，x＝1＋b<1，排除A.故选B.
(2)(2024·云南曲靖一模)在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝，y＝x，y＝的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若点A，B的纵坐标都为2，则点D的坐标是．
解析：由题意知，点A，B的纵坐标都为2，则B点的横坐标为8，即C点的横坐标为8，所以A点的横坐标为＝，C点的纵坐标为＝，由四边形ABCD为矩形知D点的坐标是.
考点3 对数函数的性质及应用
命题角度1　比较对数式的大小
【例3】　(2024·天津北辰区三模)已知a＝0.53.1，b＝log0.90.3，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　D　)
A.cC．b【解析】　因为y＝0.5x在R上单调递减，所以0.53.1<0.51＝，即a<.因为y＝log0.9x在(0，＋∞)上单调递减，所以log0.90.3>log0.90.9＝1，即b>1.c＝log＝log32，因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以＝log3命题角度2　解对数不等式
【例4】　若log2(2－x)>log0.5，则实数x的取值范围是．
【解析】　因为log2(2－x)>log0.5，所以不等式化为log2(2－x)>log2(3x－2)，又y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以log2(2－x)>log2(3x－2)
解得命题角度3　对数函数性质的综合应用
【例5】　已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(1－x)(a>0，且a≠1).
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间．
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间上取得最大值2？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解】　(1)由题意可得解得－2当a＝2时，f(x)＝log2(x＋2)＋log2(1－x)＝log2(－x2－x＋2)，
令t＝－x2－x＋2，则y＝log2t，易知函数y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增．
函数t＝－x2－x＋2图象的对称轴为直线x＝－，当x∈(－2，1)时，函数t＝－x2－x＋2在上单调递增，在上单调递减．由复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)存在实数a，使得函数f(x)在区间上取得最大值2.
f(x)＝loga(x＋2)＋loga(1－x)＝loga(－x2－x＋2)(a>0，且a≠1).
令y＝－x2－x＋2＝－＋，
由－1≤x≤，得≤y≤，
则y＝－＋的值域为.
当0当a>1时，y＝logax在上单调递增，
所以函数f(x)在区间上的最大值为loga，则loga＝2 a2＝ a＝>1，满足题意．
综上所述，a的值为或.
1．比较对数式大小的常见类型及解题方法
2．求解对数不等式的两种类型及方法
(1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数，再借助y＝logax的单调性求解．
3．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
【对点训练3】　(1)(2024·湖北武汉二模)已知函数f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　C　)
A．(1，＋∞) B．[ln 2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：因为f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，所以a>1，且a－2>0，所以a>2.故选C.
(2)函数f(x)＝(log2x＋log24)(log2x＋log22)的定义域为x∈.
①设t＝log2x，求t的取值范围；
②求函数f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．
解：①因为t＝log2x在上单调递增，所以t＝log2x∈＝[－2，2]，所以t的取值范围为[－2，2].
②f(x)＝(log2x＋2)(log2x＋1)＝(log2x)2＋3log2x＋2，
令t＝log2x，t∈[－2，2]，
则函数变形为y＝t2＋3t＋2＝－，
当t＝－时，ymin＝－，此时log2x＝－，解得x＝2－＝，
当t＝2时，ymax＝12，此时log2x＝2，解得x＝4.
所以f(x)的最大值为12，此时x的值为4，f(x)的最小值为－，此时x的值为.
课时作业13
1．(5分)(2024·河北邯郸三模)函数f(x)＝log0.2(1－x2)的递增区间为(　C　)
A．(－1，0] B．(－1，1)
C．[0，1) D．[0，＋∞)
解析：由函数f(x)＝log0.2(1－x2)，则函数f(x)的递增区间满足解得0≤x<1，所以函数f(x)的递增区间为[0，1).故选C.
2．(5分)(2024·广东佛山模拟)已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则logabm＝(　D　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
解析：由题意知，m>0，a>0，b>0，因为logam＝2，logbm＝3，所以由换底公式可得logma＝，logmb＝，又因为logma＋logmb＝logmab(ab≠1)，所以logmab＝＋＝，所以由换底公式可得logabm＝.故选D.
3．(5分)当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是(　A　)
解析：当a>1时，函数y＝a－x＝与y＝logax分别在各自的定义域内单调递减、单调递增，故可排除B，C，D，且函数y＝a－x＝与y＝logax图象分别过定点(0，1)，(1，0)，经检验，A符合题意．故选A.
4．(5分)(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　B　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：因为y＝4.2x在R上递增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0a>c.故选B.
5．(5分)(2024·江西九江二模)若函数f(x)＝ln (ax＋1)在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(－∞，0) B．
C． D．[－1，0)
解析：函数f(x)＝ln (ax＋1)在(1，2)上单调递减，由函数y＝ln x在定义域内单调递增，所以函数g(x)＝ax＋1在(1，2)上单调递减且恒大于0，则有解得－≤a<0.故选C.
6．(5分)(2024·江西南昌三模)若＝log2a，＝b2，c＝2－c，则正数a，b，c大小关系是(　B　)
A．cC．a解析：由＝log2a，得a为y＝与y＝log2x图象交点的横坐标，由＝b2，得b为y＝与y＝x2图象交点的横坐标，由c＝2－c，即c＝，得c为y＝与y＝x图象交点的横坐标，作出y＝，y＝log2x，y＝x2，y＝x的图象如图所示，
由图可知，c7．(6分)(多选)已知函数f(x)＝ln (x2＋x＋m)(m∈R)，则(　AC　)
A．当m>时，f(x)的定义域为R
B．f(x)一定存在最小值
C．f(x)的图象关于直线x＝－对称
D．当m≥1时，f(x)的值域为R
解析：对于A，若m>，则Δ＝1－4m<0，则二次函数y＝x2＋x＋m的图象恒在x轴的上方，即x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，若m＝0，则f(x)＝ln (x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C，由于函数y＝ln 为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f(x)＝ln ＝ln (x2＋x＋m)的图象，此时对称轴为直线x＝－，故C正确；对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝＋m－≥，故f(x)的值域不是R，故D错误．故选AC.
8．(6分)(多选)已知函数f(x)＝ln (＋x)＋2x3，g(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)在(－∞，0]上单调递增，则下列判断正确的是(　AD　)
A．f(x)·|g(x)|是奇函数
B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(g(2 025))D．g(f(2 025))>g(f(2 026))
解析：易知＋x>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，令t＝＋x，因为y＝ln t单调递增，t＝＋x在[0，＋∞)上单调递增，所以y＝ln (＋x)在[0，＋∞)上单调递增，又y＝x3在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为f(－x)＋f(x)＝ln (－x)－2x3＋ln (＋x)＋2x3＝0，所以f(x)为奇函数，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．因为g(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递减．对于A，因为f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函数，A正确；对于B，因为|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，B错误；对于C，因为g(2 025)>g(2 026)，所以f(g(2 025))>f(g(2 026))，C错误；对于D，因为0＝f(0)g(f(2 026))，D正确．故选AD.
9．(5分)(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝64．
解析：由－＝－log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0 log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64.
10．(5分)(2024·湖北武汉二模)已知函数f(x)＝log2(4x＋2x+1＋1)－x，若f(2a－1)解析：由题意可得f(x)＝log2＝log2(2x＋2－x＋2)，定义域为R，f(－x)＝log2(2－x＋2x＋2)＝f(x)，即f(x)为偶函数，在(0，＋∞)上，令t＝2x＋2－x＋2，且x1>x2>0，则t1－t2＝2x1＋2－x1－2x2－2－x2＝(2x1－2x2)，由2x1>2x2，1－>0，故t1>t2，即函数t＝2x＋2－x＋2在(0，＋∞)上递增，而y＝log2t在定义域上递增，故f(x)在(0，＋∞)上递增，所以f(2a－1)11．(16分)已知函数f(x)＝log4·.
(1)解关于x的不等式f(x)>3；
(2)若存在x∈[2，4]，使得不等式f(2x)－a·log2x＋1≥0成立，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝log2·2log2＝(log2x－2)(log2x－4)＝(log2x)2－6log2x＋8，
设log2x＝t(t∈R)，则不等式可化为t2－6t＋8>3，即t2－6t＋5>0，
解得t<1或t>5，即log2x<1或log2x>5，解得032.
所以不等式的解集为{x|032}．
(2)因为f(2x)－a·log2x＋1≥0，所以(log2x－1)·(log2x－3)－alog2x＋1≥0，
设log2x＝t，则t∈[1，2]，
原问题化为存在t∈[1，2]，t2－4t＋4－at≥0，即a≤t＋－4在t∈[1，2]上有解．
因为y＝t＋－4在[1，2]上单调递减，所以＝1，所以a≤1.
12．(17分)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋4)(a>0且a≠1).
(1)当x∈(0，2)时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)当x∈(0，2)时，函数f(x)恒有意义，
所以x2－ax＋4>0在(0，2)上恒成立，即a令g(x)＝x＋，x∈(0，2)，则g′(x)＝1－＝＝<0，
所以g(x)＝x＋在(0，2)上单调递减，所以g(x)>g(2)＝4，所以a≤4.
又a>0且a≠1，所以a的取值范围为(0，1)∪(1，4].
(2)不存在．函数f(x)在区间[1，2]上有意义，则x2－ax＋4>0在[1，2]上恒成立．
由(1)同理可知，a∈(0，1)∪(1，4)，
又函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
当a∈(0，1)时，y＝logax为减函数，
则y＝x2－ax＋4>0且在[1，2]上单调递增，
所以即
故不存在这样的实数a；
当a∈(1，4)时，y＝logax为增函数，
则y＝x2－ax＋4>0且在[1，2]上单调递减，
所以即
故不存在这样的实数a.
综上，不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，且最大值为1.
13．(5分)(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　B　)
A.log2<
B．log2>
C．log2D．log2>x1＋x2
解析：不妨设x1＝2，即>2>0，根据函数y＝log2x是增函数，所以log2>log22＝，故B正确，A错误；对于C，例如x1＝－1，x2＝－2，则y1＝，y2＝，可得log2＝log2＝log23－3∈(－2，－1)，即log2>－3＝x1＋x2，故C错误；对于D，例如x1＝0，x2＝1，则y1＝1，y2＝2，可得log2＝log2∈(0，1)，即log2<1＝x1＋x2，故D错误．故选B.
14．(5分)(2024·山东青岛二模)已知正数a，b，c满足aea＝b ln b＝ec ln c＝1，则a，b，c的大小关系为(　D　)
A．cC．a解析：由aea＝b ln b＝ec ln c＝1，得ea－＝ln b－＝ln c－＝0，令函数f(x)＝ex－，x>0，显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f＝e－2<0，f(1)＝e－1>0，f(a)＝0，则0，而g＝ln －ln －＝ln －>ln e－＝0，h(c)＝0，则115．(5分)(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝e．
解析：由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2+ln 4＝a3ln 2＝8，也即(aln 2)3＝23.
∵a>0且a≠1，∴aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e.