第二章　2.9　函数的图象（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

2．9　函数的图象
1．会用描点法及图象的平移规律画简单的函数图象．
2．能根据函数的性质辨识函数图象，能根据实际问题辨识函数图象．
3．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题．
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先①确定函数的定义域，②化简函数解析式，③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；然后列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)平移变换
左右平移仅仅对x而言，利用“左加右减”进行操作，若x的系数不是1，需要先把系数提出来，再进行操作．
上下平移是对y而言，利用“上加下减”进行操作．
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax(a＞0，且a≠1)y＝logax(x>0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|；
②y＝f(x)y＝f(|x|).
(4)伸缩变换
①y＝f(x) y＝f(ax)；
②y＝f(x)y＝af(x)．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　×　)
(3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　×　)
(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)
2．(人教A版必修第一册P140T6改编)向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止．下列图象中可以大致刻画容器中水面的高度与时间的函数关系的是(　C　)
解析：由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条件．故选C.
3．(人教B版必修第二册P52T3改编)函数f(x)＝的图象为(　D　)
解析：函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，故A错误；当x>1时，f(x)＝＝＝，函数单调递增，故B，C错误．故选D.
4．为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　D　)
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
解析：函数y＝lg 化为y＝lg x－2，显然把函数y＝lg x的图象向下平移2个单位长度即得y＝lg x－2的图象，所以为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向下平移2个单位长度．故选D.
考点1 作函数的图象
【例1】　作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1.
【解】　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图1实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2.
(3)因为y＝且函数为偶函数，所以先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图3.
1．描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
2．图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、对称、翻折或伸缩得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【对点训练1】　作出下列函数的图象：
(1)y＝sin |x|；
(2)y＝.
解：(1)当x≥0时，y＝sin |x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin |x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图1.
(2)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图2所示．
考点2 函数图象的识别
【例2】　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　B　)
【解析】　f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x，则f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)·sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，故f(x)为偶函数，故A，C错误；f(1)＝－1＋(e1－e-1)sin 1>－1＋sin ＝－1－>－>0，故D错误，B正确．故选B.
(2)(2024·陕西西安二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　B　)
A．f(x)＝cos 2x·(ex－e－x)
B．f(x)＝sin 2x·ln
C．f(x)＝
D．f(x)＝·ln
【解析】　对于A，函数f(x)＝cos 2x·(ex－e－x)的定义域为R，而题设函数的图象在自变量为0时无意义，不符合题意，排除；对于C，当x>0时，f(x)＝>0，不符合图象，排除；对于D，当x>0时，f(x)＝·ln ＝[ln x2－ln (x2＋1)]<0，不符合图象，排除．故选B.
1．抓住函数的性质，定性分析
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
2．抓住函数的特征，定量计算
利用函数的特殊点、特殊值的计算，分析解决问题.
【对点训练2】　(1)(2024·天津和平区一模)函数f(x)＝的图象大致是(　B　)
解析：∵f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为定义在R上的奇函数，图象关于坐标原点对称，C错误；当x>0时，f(x)＝，∴f′(x)＝＝>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，A，D错误，B正确．故选B.
(2)(2024·浙江台州一模)函数y＝f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为(　A　)
A．y＝f B．y＝－f
C．y＝f(4－2x) D．y＝－f(4－2x)
解析：由题图1知，f(1)＝0，且当x>1时，f(x)>0，由题图2知，图象过点(0，0)，且当x<0时，y>0，对于C，当x＝0时，y＝f(4)>0，C不可能；对于D，当x＝0时，y＝－f(4)<0，D不可能；对于A，当x＝0时，y＝f(1)＝0，而当x<0时，1－x>1，则f>0，A可能；对于B，当x＝0时，y＝－f(1)＝0，而当x<0时，1－x>1，则－f<0，B不可能．故选A.
考点3 函数图象的应用
命题角度1　利用函数的图象解不等式
【例3】　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　C　)
A．(－，0)∪(，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)
D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)
【解析】　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象如图所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，等价于或解得x<－2，或命题角度2　利用函数的图象求参数的取值范围
【例4】　(2024·北京昌平区二模)已知函数f(x)＝若对任意x∈R都有|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(－∞，0] B．[－4，0]
C．[－3，0] D．(－∞，2]
【解析】　因为f(x)＝
令g(x)＝|f(x)|，作出g(x)的图象，如图所示，令h(x)＝ax，由图知，要使对任意x∈R都有|f(x)|≥ax，则必有a≤0，当x≤0时，y＝x2－4x，由消去y得到x2－(4＋a)x＝0，由Δ＝0，得到(4＋a)2＝0，即a＝－4，由图可知－4≤a≤0.故选B.
1．当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
2．利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较明确的问题．
【对点训练3】　(1)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　D　)
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)>0等价于2x>x＋1，在同一直角坐标系中作出y＝2x和y＝x＋1的图象如图所示．
两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，不等式2x>x＋1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.
(2)设函数f(x)的定义域是R，满足2f(x＋1)＝f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈[m，＋∞)，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　D　)
A． B．
C． D．
解析：因为函数f(x)的定义域是R，满足2f(x＋1)＝f(x)，所以f(x＋1)＝f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)＝－∈，当x∈(－1，0]时，0因为对任意x∈[m，＋∞)，都有f(x)≥－，由图可知，m≥－，因此，实数m的取值范围是.故选D.
课时作业14
1．(5分)将函数y＝log2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(　D　)
A．log2(2x＋1)－1 B．log2(2x＋1)＋1
C．log2x－1 D．log2x
解析：将函数y＝log2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，可得y＝log2(2x＋2)－1的图象，再向右平移1个单位长度，可得y＝log2[2(x－1)＋2]－1＝log2(2x)－1的图象，所以g(x)＝log2(2x)－1＝log2x.故选D.
2．(5分)(2024·辽宁大连三模)已知对数函数f(x)＝logax，函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，则a的值是(　D　)
A． B．
C． D．
解析：因为将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝loga，即g(x)＝logax－loga3，将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式y＝logax－loga3＋2，因为所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，所以－loga3＋2＝0，所以a2＝3，又a>0且a≠1，解得a＝.故选D.
3．(5分)若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝(　C　)
A．－ B．－
C．－1 D．－2
解析：由题中图象知得
∴f(x)＝
故f(－3)＝5－6＝－1.故选C.
4．(5分)(2024·湖南长沙二模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　A　)
A．f(x)＝－ B．f(x)＝－
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－
解析：由题图可知，函数图象对应的函数为偶函数，故排除C；由题图可知，函数的定义域不是实数集，故排除B；由题图可知，当x→＋∞时，y→－∞，而对于D，当x→＋∞时，y→0，故排除D.故选A.
5．(5分)已知函数f(x)＝g(x)＝－f(x)，则函数g(x)的图象是(　D　)
解析：因为g(x)＝－f(x)，所以g(x)图象与f(x)的图象关于x轴对称，由f(x)解析式，作出f(x)的图象如图．从而可得g(x)的图象为D.故选D.
6．(5分)已知函数y＝－f(x)的图象如图所示，则不等式f<0的解集为(　D　)
A．(1，4)∪(16，＋∞)
B．∪(1，＋∞)
C．(0，4)∪(16，＋∞)
D．∪
解析：由题图可知当x∈(0，2)∪(4，＋∞)时，－f(x)>0，即f(x)<0，则f<0等价于0<－log2x<2或－log2x>4，即x∈∪.故选D.
7．(5分)已知函数f(x)＝若mA．1　　　 B．
C．　　　 D．2
解析：画出f(x)的图象如图所示，令f(m)＝f(n)＝t，则08．(5分)已知函数f(x)＝则y＝f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点O对称的点共有(　C　)
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对
解析：作出函数f(x)＝的图象，如图中实线所示，则y＝f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点对称的点，即为当x<0时，f(x)＝2x2＋4x＋1的图象关于原点对称的函数图象(虚线)与y＝的图象的交点，
由图象可知，交点有2个，所以函数f(x)＝的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．故选C.
9．(10分)(多选)定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题，其中正确的是(　AD　)
A．f(0)＝1
B．f(－1)＝1
C．若x>0，则f(x)<0
D．若x<0，则f(x)>0
解析：由题设及图知f(－1)＝f(－2＋1)>f(－1＋1)＝f(0)＝1，A正确，B错误；由图象平移关系得y＝f(x)的图象是将y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位长度得到，如图，所以x>0，f(x)符号有正有负；但x<0，一定有f(x)>0，C错误，D正确．故选AD.
10．(10分)(多选)已知向量＝(ax，－1)，＝(x－ax，1－x)，则函数f(x)＝·的大致图象可能为(　ABD　)
解析：因为＝＋＝(x，－x)，所以f(x)＝·＝ax2＋x.当a＝0时，f(x)＝x，A正确；当a>0时，f(x)的零点为0和－，且－<0，B正确，C错误；当a<0时，f(x)的零点为0和－，且－>0，D正确．故选ABD.
11．(10分)(多选)关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的有(　ABD　)
A．f(x)在区间(1，2)上单调递增
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．f(x)有且仅有两个零点
解析：根据图象变换作出函数f(x)的图象(f(x)＝|ln |2－x||＝|ln |x－2||，作出y＝ln x的图象，再作出其关于y轴对称的图象，然后向右平移2个单位长度，最后把x轴下方的部分关于x轴翻折上去即可得)，如图，由图象知f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；设f(x1)＝f(x2)＝k，直线y＝k与函数f(x)的图象可能有4个交点，如图，如果最左边两个交点横坐标分别是x1，x2，则x1＋x2＝4不成立，C错误；f(x)的图象与x轴仅有两个公共点，即函数f(x)仅有两个零点，D正确．故选ABD.
12．(5分)已知偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x－1)的单调增区间是(－∞，2]．
解析：因为偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x＋1)在区间(－∞，0]上单调递增，又因为f(x－1)＝f((x－2)＋1)，则函数f(x－1)的图象是由函数f(x＋1)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以函数f(x－1)的单调增区间是(－∞，2].
13．(5分)已知函数f(x)＝，函数g(x)满足g(1－x)＋g(1＋x)＝0，若f(x)与g(x)的图象有6个交点，则所有交点横坐标之和等于6．
解析：已知函数f(x)＝，绘制其图象如图．
根据图象易知函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称；又函数g(x)满足g(1－x)＝－g(1＋x)，易知g(x)的图象也关于点(1，0)中心对称．由于f(x)与g(x)的图象均关于点(1，0)中心对称，可得两个函数图象的交点也关于点(1，0)中心对称，设其交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，根据对称性易知x1＋x6＝x2＋x5＝x3＋x4＝2，即得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝6.
14．(5分)定义一种运算min{a，b}＝设f(x)＝min{4＋2x－x2，|x－t|}(t为常数)，且x∈[－3，3]，则使函数f(x)最大值为4的t值是－2或4．
解析：若y＝4＋2x－x2在x∈[－3，3]上的最大值为4，则4＋2x－x2＝4，解得x＝2或x＝0，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据新定义，结合y＝4＋2x－x2与y＝|x－t|的图象(如图)可知，当t<1，x＝2时，|2－t|＝4，此时解得t＝－2，当t>1，x＝0时，|0－t|＝4，此时解得t＝4，故t＝－2或t＝4.
15．(5分)(2024·陕西西安一模)已知函数f(x)为偶函数，满足f(x＋2)＝－，且－2≤x≤0时，f(x)＝－2，若关于x的方程f(x)－loga(x＋1)＝0至少有两解，则a的取值范围为(　C　)
A．
B．∪[3，＋∞)
C．∪[3，＋∞)
D．
解析：由已知f(x＋2)＝－，则f(x)＝－，则f(x＋2)＝f(x－2)，可知函数f(x)为周期函数，最小正周期T＝4，又当－2≤x≤0时，f(x)＝－2，可知函数f(x)的图象如图所示，且f(x)的值域为[－1，1]，关于x的方程f(x)－loga(x＋1)＝0至少有两解，可得函数y＝f(x)与函数y＝loga(x＋1)的图象至少有两个交点，如图所示，可知当01时，loga(2＋1)≤1＝logaa，解得a≥3，即a∈[3，＋∞).综上所述a∈∪[3，＋∞).故选C.
16．(5分)若方程x|x－a|＋2k＝0在区间[0，2]上有解，－4＋4≤a<4，则实数k的取值范围为(　A　)
A． B．
C． D．
解析：因为方程x|x－a|＋2k＝0，即x|x－a|＝－2k在区间[0，2]上有解，设函数f(x)＝则函数f(x)的图象与直线y＝－2k在区间[0，2]上有交点．因为－4＋4≤a<4，所以0<－2＋2≤<2，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．当2≤a<4时，在区间[0，2]上，f(x)max＝f＝，f(x)min＝f(0)＝0，则0≤－2k≤，解得－≤k≤0.当－4＋4≤a<2时，因为f(0)＝f(a)＝0，f＝，f(2)＝4－2a，则＝4－2a，解得a＝－4±4，又－4＋4≤a<2，所以≥4－2a，则0≤－2k≤，解得－≤k≤0.综上，实数k的取值范围为.故选A.
17．(5分)(2024·河北石家庄三模)给定函数f(x)＝|x2＋x|，g(x)＝x＋，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记M(x)＝max{f(x)，g(x)}．若函数y＝M(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，则实数a的取值范围是∪(2，＋∞)．
解析：由f(x)＝|x2＋x|＝
g(x)＝x＋，得图象如图所示．
因为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，所以其图象如图，则|x2＋x|max＝(－1≤x≤0)，当且仅当x＝－时取最大值；且设函数f(x)，g(x)的图象在第一象限的交点为P，当x>0，y>0时，由
可得P(1，2)，由题意直线y＝a与函数y＝M(x)的图象有3个不同的交点，由数形结合易知02.