第二章　2.10　函数与方程（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

2．10　函数与方程
1．理解函数零点与方程解的关系．
2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用．
3．能用二分法求方程的近似解的步骤．
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
3．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1.若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是其图象与x轴交点的横坐标，也是令函数值为0所得方程的实数根．
2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　√　)
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b) D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　)
(4)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)
2．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝的零点个数为(　B　)
A．3　　　 B．2　　　
C．7　　　 D．0
解析：由或
解得x＝－2或x＝e，故f(x)有2个零点．故选B.
3．(人教A版必修第一册P144T2改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　B　)
A.(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个实数根，且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)f(2)＜0，故f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B.
4．(苏教必修第一册P230T2改编)已知函数y＝x2＋ax＋b的零点是3和－1，则a＋b＝－5．
解析：因为函数y＝x2＋ax＋b的零点是3和－1，所以解得所以a＋b＝－5.
考点1 函数零点所在区间的判断
【例1】　(1)(多选)已知函数f(x)＝2x－x2，则下列区间含f(x)零点的是(　ABC　)
A．(－1，0) B．(1，3)
C．(3，5) D．(5，6)
【解析】　f(x)＝2x－x2，因为f(－1)＝－，f(0)＝1，所以f(x)在(－1，0)内存在零点；因为f(1)＝1，f(3)＝－1，所以f(x)在(1，3)内存在零点；因为f(3)＝－1，f(5)＝7，所以f(x)在(3，5)内存在零点；作出y＝x2与y＝2x的图象如图所示，结合y＝x2与y＝2x的图象的交点情况可知f(x)在(5，6)内没有零点．故选ABC.
(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝1的实数根在区间(k，k＋1)，k∈Z上，则k的最大值是(　C　)
A．－3　　 B．－2
C．1　　　 D．2
【解析】　当x≤－2时，f(x)＝x2－5，当f(x)＝1时，解得x＝－；当x>－2时，令f(x)＝x lg (x＋2)＝1，即lg (x＋2)＝，画出函数y＝lg (x＋2)和y＝的图象(图略)，可得当f(x)＝1时，x∈(－2，－1)或x∈(1，2).综上，k的最大值是1.故选C.
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断．
【对点训练1】　(1)根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(　C　)
x 1 2 3 4 5
ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609
x－2 －1 0 1 2 3
A．(1，2)　 B．(2，3)
C．(3，4)　 D．(4，5)
解析：设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，由表格数据得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＝1.099－1＝0.099＞0，f(4)＝1.386－2＜0，f(5)＜0，则f(3)·f(4)＜0，即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4).故选C.
(2)已知函数f(x)＝ln x＋x－，则f(x)的零点所在的区间为(　B　)
A． B．(1，2)
C．(2，e) D．(e，3)
解析：函数f(x)＝ln x＋x－的定义域为(0，＋∞)，又函数y＝ln x，y＝x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝ln x＋x－在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2＋2－1＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，所以零点所在的区间为(1，2).故选B.
考点2 函数零点个数的判断
【例2】　(1)(2024·浙江温州三模)已知函数f(x)＝则关于x的方程f(x)＝ax＋2的根的个数不可能是(　C　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】　作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．
将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数，由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点．所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有两个交点．故选C.
(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x)＝f(6－x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝|log2(x＋1)－1|，则函数F(x)＝f(x)＋lg |x|－1的零点个数是(　C　)
A．6 B．8
C．10 D．12
【解析】　由函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，因为对任意x∈R，都有f(x)＝f(6－x)，即f(－x)＝f(6－x)，所以函数f(x)的周期T＝6，当x∈[0，3]时，f(x)＝|log2(x＋1)－1|，则f(x)＝
函数F(x)＝f(x)＋lg |x|－1的零点等价于函数y＝f(x)与函数y＝1－lg |x|图象的交点，如图所示，一共有10个交点，故C正确．故选C.
函数f(x)零点个数的判断方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)借助函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数f(x)的图象在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)把函数f(x)拆分为两个较简单的函数，画这两个函数图象，看其交点的个数，交点有几个，就有几个不同的零点．
【对点训练2】　(1)函数f(x)＝－log2x的零点个数为(　B　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由f(x)＝0，得＝log2x，因此函数f(x)的零点即为函数y＝log2x与y＝的图象交点横坐标，在同一坐标系内作出函数y＝log2x与y＝的图象，如图，观察图象知，函数y＝log2x与y＝的图象有唯一交点，所以函数f(x)＝－log2x的零点个数为1.故选B.
(2)(2024·河北邢台一模)函数f(x)＝cos πx－2x＋1零点的个数为(　C　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：令f(x)＝cos πx－2x＋1＝0，可得cos πx＝2x－1，则函数f(x)＝cos πx－2x＋1零点的个数为y＝cos πx与y＝2x－1图象的交点个数，显然y＝cos πx与y＝2x－1的图象均关于对称，又当x＝2时，cos 2π>2×2－1，当x＝4时，
cos 4π<2×4－1，再结合两个函数的图象，如图，可得y＝cos πx与y＝2x－1有5个交点，故函数f(x)＝cos πx－2x＋1零点的个数为5，故C正确．故选C.
考点3 函数零点的应用
命题角度1　根据零点的个数求参数范围
【例3】　已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)＋|x－1|－a恰有两个零点，则实数a的取值范围是(　A　)
A．∪(4，＋∞)
B．
C．∪(4，＋∞)
D．∪
【解析】　g(x)＝0 f(x)＋|x－1|－a＝0 f(x)＋|x－1|＝a，令h(x)＝f(x)＋|x－1|，则h(x)＝
即h(x)＝作出h(x)的图象，如图．
y＝h(x)与y＝a的图象有两个交点时，a∈∪(4，＋∞).故选A.
命题角度2　根据零点所在的区间求参数范围
【例4】　函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　D　)
A．(－∞，－18) B．(5，＋∞)
C．(5，18) D．(－18，－5)
【解析】　若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在(2，4)上存在零点，由函数f(x)在(2，4)上的图象连续不断，且为增函数，则根据函数零点存在定理可知，只需满足f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，把函数拆分为两个函数(一般一个含参，另一个不含参)，在同一平面直角坐标系中，画出拆分出的两个函数的图象，然后数形结合求解．
【对点训练3】　(1)(2024·四川成都二模)已知函数f(x)＝若存在m使得关于x的方程f(x)＝m有两个不同的根，则t的取值范围为(　B　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由函数f(x)＝可得函数y＝f(x)在(－∞，t)，[t，＋∞)上为增函数，当xt，解得－11，所以t的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞).故选B.
(2)已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m的零点在区间(1，3]上，则m的取值范围为(　D　)
A．
B．∪(0，＋∞)
C．∪(0，＋∞)
D．
解析：由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1，3]上均为增函数，所以函数f(x)在(1，3]上为增函数，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m的零点在区间(1，3]上，则即解得－≤m<0.因此，实数m的取值范围是.故选D.
课时作业15
1．(6分)(2024·山东青岛二模)函数f(x)＝ax－a(a>0，a≠1)的零点为(　B　)
A．0 B．1
C．(1，0) D．a
解析：因为f(x)＝ax－a(a>0，a≠1)，令f(x)＝ax－a＝0，解得x＝1，即函数的零点为1.故选B.
2．(6分)函数f(x)＝2x＋x3－2的零点所在区间是(　B　)
A．(－2，－1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．[－1，0)
解析：由函数f(x)＝2x＋x3－2可知f(x)单调递增，因为f(－2)＝－8－2＝－<0，f(－1)＝－1－2＝－<0，f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以f(x)零点所在区间是(0，1).故选B.
3．(6分)设函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　D　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：当x>0时，令|log2x|－1＝0，∴x＝2或x＝，f(x)有2个零点；当x≤0时，令2x＋x＝0，即2x＝－x，结合函数y＝2x，y＝－x的图象(如图)可知二者在x≤0时有1个交点，即此时f(x)有1个零点．综上可知，f(x)的零点个数为3.故选D.
4．(6分)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(0，3) B．(1，3)
C．(1，2) D．[2，＋∞)
解析：因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内得，f(1)·f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得05．(6分)(2024·广东梅州二模)三个函数f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为(　B　)
A．aC．a解析：因为函数y＝x3，y＝ex，y＝ln x，y＝x－3都是增函数，所以函数f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3均为增函数，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以函数f(x)的零点在(1，2)上，即a∈(1，2)，因为g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3>0，所以函数g(x)的零点在(2，3)上，即b∈(2，3)，因为h(0)＝－2<0，h(1)＝e－2>0，所以函数h(x)的零点在(0，1)上，即c∈(0，1)，综上，c6．(6分)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)＋m有3个零点，则m的取值范围是(　D　)
A．(0，2) B．(－2，0)
C．(0，1) D．(－1，0)
解析：令g(x)＝f(x)＋m＝0，故f(x)＝－m，画出f(x)＝与y＝－m的图象，如图，
函数g(x)＝f(x)＋m有3个零点，即y＝f(x)与y＝－m图象有3个不同的交点，则－m∈(0，1)，解得m∈(－1，0).故选D.
7．(6分)(2024·浙江绍兴三模)已知函数f(2x＋1)为偶函数，若函数g(x)＝f(x)＋21-x＋2x-1－5的零点个数为奇数，则f(1)＝(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：因为函数f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，令h(x)＝21-x＋2x-1－5，则h(2－x)＝2x-1＋21-x－5＝h(x)，可得函数h(x)＝21-x＋2x-1－5的图象关于直线x＝1对称，所以函数g(x)＝f(x)＋21-x＋2x-1－5的图象关于直线x＝1对称，则函数g(x)的零点关于直线x＝1对称，但g(x)的零点个数为奇数，则g(1)＝f(1)＋1＋1－5＝0，所以f(1)＝3.故选C.
8．(6分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，有f(2－x)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2＋x－a，则下列说法不正确的是(　C　)
A．f(2 025)＋f(2 026)＝2
B．点(－7，0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C．当x∈[7，8]时，f(x)＝x2＋17x＋54
D．函数y＝f(x)－log6(6x＋1)恰有3个零点
解析：因为f(2－x)＝－f(x)，令x＝1，得f(1)＝0，所以f(1)＝12＋1－a＝0，解得a＝2.因为f(x)为偶函数，又f(2－x)＝－f(x)，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x＋4)＝－f(－2－x)＝－f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，对于A，f(2 025)＋f(2 026)＝f(1)＋f(2)＝f(1)－f(2－2)＝2，故A正确；对于B，因为f(x)的周期为4，f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以(－7，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；对于C，当x∈[7，8]时，x－8∈[－1，0]，8－x∈[0，1]，所以f(x)＝f(x－8)＝f(8－x)＝(8－x)2＋8－x－2＝x2－17x＋70，故C不正确；对于D，作函数y＝log6(6x＋1)和y＝f(x)的图象如图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数y＝f(x)－log6(6x＋1)有3个零点，故D正确．故选C.
9．(8分)(多选)已知函数f(x)＝ex－x－2，则下列区间中含f(x)零点的是(　AD　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：由函数f(x)＝ex－x－2，可得f(－2)＝e-2＋2－2＝e-2>0，f(－1)＝e-1＋1－2＝e-1－1<0，f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(1)＝e1－1－2＝e－3<0，f(2)＝e2－2－2＝e2－4>0，可得f(－2)f(－1)<0，f(1)f(2)<0，结合函数f(x)的单调性：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，根据函数零点存在定理可知在区间(－2，－1)和(1，2)中存在零点．故选AD.
10．(8分)(多选)(2024·甘肃定西一模)已知函数f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则(　BD　)
A．当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点
B．当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点
C．当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点
D．当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点
解析：令f(x)＝0，g(x)＝0，得|2x－1|＝a，x2－4|x|＋2＝a，利用指数函数与二次函数的性质作出y＝|2x－1|，y＝x2－4|x|＋2的大致图象，如图所示，
由图可知，当g(x)有2个零点时，a＝－2或a>2，此时f(x)无零点或只有1个零点，故A错误；当g(x)有3个零点时，a＝2，此时f(x)只有1个零点，故B正确；当f(x)有2个零点时，011．(6分)(2024·北京昌平区二模)已知p：设函数f(x)在区间(0，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线，若f(1)·f(2)>0，则f(x)在区间(1，2)内无零点．能说明p为假命题的一个函数的解析式是f(x)＝(答案不唯一)．
解析：解析式为f(x)＝，函数的定义域为R，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线，因为f(1)＝，f(2)＝，所以f(1)·f(2)>0，又f＝0，f(x)在区间(1，2)内有零点，所以p为假命题．(答案不唯一)
12．(6分)(2024·河南郑州二模)已知函数f(x)是偶函数，对任意x∈R，均有f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x，则函数g(x)＝f(x)－log5(x＋1)的零点有4个．
解析：函数f(x)是偶函数，说明函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)＝f(x＋2)说明f(x)的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝log5(x＋1)的图象，如图所示，
共有4个不同的交点，即g(x)＝f(x)－log5(x＋1)有4个零点．
13．(6分)(2024·山东泰安三模)已知函数f(x)＝若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则a的取值范围是[－1，2)．
解析：当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2；当014．(6分)(2024·四川绵阳模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝x－3，方程f(g(x))
＝－3－g(x)有两个不同的根，分别是x1，x2，则x1＋x2＝(　B　)
A．0 B．3
C．6 D．9
解析：由题意得g(x)＝x－3为R上的增函数，且g(3)＝0，当x≤3时，g(x)≤0，f(g(x))＝ex-3，当x>3时，g(x)>0，f(g(x))＝ln (x－3)，方程f(g(x))＝－3－g(x)＝－x有两个不同的根等价于函数y＝f(g(x))与y＝－x的图象有两个交点，作出函数y＝f(g(x))与y＝－x的图象如图所示，由图可知y＝ex-3与y＝ln (x－3)的图象关于直线y＝x－3对称，则A，B两点关于直线y＝x－3对称，中点C在直线y＝x－3上，由可得C.所以x1＋x2＝2×＝3.故选B.
15．(6分)(2024·广东茂名二模)若f(x)为R上的偶函数，且f(x)＝f(4－x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝3|sin πx|－f(x)在区间[－1，5]上的所有零点的和是(　A　)
A．20 B．18
C．16 D．14
解析：若f(x)为R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，又f(x)＝f(4－x)，则f(－x)＝f(4－x)，f(x)的周期T＝4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，即可画出函数f(x)的图象；函数y＝3sin πx的周期为2，最大值为3，把函数y＝3sin πx在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即可画出y＝3|sin πx|的图象，如图，y＝f(x)与y＝3|sin πx|的图象在区间[－1，5]上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线x＝2对称，所以g(x)在区间[－1，5]上的所有零点的和是20.故选A.
16．(6分)(2024·安徽合肥二模)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－f(1－a)＝0至少有两个不同的实数根，则a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，－4]∪[，＋∞)
B．[－1，1]
C．(－4，)
D．[－4，]
解析：由已知可得f(x)＝
作出函数f(x)的图象，如图所示．
由此可知函数y＝f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递减，在(1，3)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，又因为关于x的方程f(x)－f(1－a)＝0至少有两个不同的实数根，所以f(x)＝f(1－a)至少有两个不同的实数根，即y＝f(x)与y＝f(1－a)的图象至少有两个不同的交点，所以－1≤f(1－a)≤1，又因为当x≤1时，f(x)＝x2－2x，令x2－2x＝1，可得x＝1－；当x≥3时，f(x)＝4－x，令4－x＝－1，解得x＝5，又因为－1≤f(1－a)≤1，所以1－≤1－a≤5，解得－4≤a≤.故选D.