第二章　2.11　函数模型及其应用（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

2．11　函数模型及其应用
1．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．
2．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等不同函数类型增长的含义．
1．六种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型 函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数型 函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂型函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
“对勾”函 数模型 y＝x＋(a为常数，a>0)
2.三种函数模型性质比较
项目 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 随n值变 化而不同
图象的变化 随x值增大，图象与y轴行 随x值增大，图象与x轴行 随n值变化而不同
教材拓展
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2．充分理解题意并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　×　)
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　)
(3)不存在x0，使ax0(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．(　√　)
2．(人教A版必修第一册P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻已经卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　D　)
A．40万元 B．60万元
C．80万元 D．120万元
解析：当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).故选D.
3．(人教A版必修第一册P119T5改编)有一组实验数据如下表：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是(　D　)
A．y＝2x+1－1 B．y＝x3
C．y＝2log2x D．y＝x2－1
解析：将各点(x，y)分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.故选D.
4．(人教B版必修第二册P43例2改编)从盛满10 L纯硫酸的容器里倒出1 L，然后用水填满，这样继续下去，第三次填满后的硫酸浓度为(　D　)
A．70.4% B．67.2%
C．81% D．72.9%
解析：每次填满后，硫酸浓度都是原来的，所以第三次填满后的硫酸浓度为×100%＝72.9%.故选D.
考点1 利用函数图象刻画变化过程
【例1】　(2024·内蒙古赤峰一模)在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(　D　)
【解析】　对于A，点P在第一条边上时，y＝x，但点P在第二条边上运动时，y是随x的增大先减小(减到最小时y即为三角形的第二条边上的高的长度)，再增大，对比图象可知，A错误；对于B，y与x的函数图象一定不是对称的，B错误；对于C，一开始y与x的关系不是线性的，C错误；对于D，因为函数图象左右对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为a，点P在第一条边上时(即0≤x≤a时)，y＝x，点P在第二条边上运动时(即a≤x≤2a时)，y＝，依然单调递增，点P在第三条边上运动时(即2a≤x≤3a时)，y＝，单调递减，点P在第四条边上运动时(即3a≤x≤4a时)，y＝4a－x，单调递减，且已知y关于x的函数图象关于直线x＝2a＝(其中l＝4a)对称，D正确．故选D.
判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
【对点训练1】　如图是一个无水游泳池，ABCD A′B′C′D′是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的(单位时间内注入的水量不变)，水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间t变化的图象可能是(　A　)
解析：由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，当水面经过D点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，故符合条件的函数图象为A中的图象．故选A.
考点2 已知函数模型解决实际问题
【例2】　(1)记水的质量为d＝，并且d越大，水质量越好．若S不变，且d1＝2.1，d2＝2.2，则n1与n2的关系为(　C　)
A．n1B．n1>n2
C．若S<1，则n11，则n1>n2
D．若S<1，则n1>n2；若S>1，则n1【解析】　由题意可得解得若S>1，则>，可得e>e，即n1>n2；若S＝1，则＝＝0，可得n1＝n2＝1；若S<1，则<，可得e(2)(2024·广东茂名一模)Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有代谢预测、肿瘤生长预测、有限区域内生物种群数量预测、工业产品的市场预测等，其公式为f(x)＝ (其中k>0，b>0，a为参数).某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a＝e(e为自然数对数的底数).若x＝1表示该新产品今年的年产量，估计明年(x＝2)的产量将是今年的e倍，那么b的值为(　A　)
A． B．
C．－1 D．＋1
【解析】　由a＝e，得到f(x)＝k·，∴当x＝1时，f(1)＝k·；当x＝2时，f(2)＝k .依题意，明年(x＝2)的产量将是今年的e倍，得＝＝e，∴－＝1，即b2＋b－1＝0，解得b＝.∵b>0，∴b＝.故选A.
求解已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数的值．
【对点训练2】　(1)(2024·四川德阳三模)如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在7 ℃的保鲜时间为288小时，在21 ℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过(　A　)
A．14 ℃ B．15 ℃
C．13 ℃ D．16 ℃
解析：依题意，得则e14a＝，即e7a＝，显然a<0，设物流过程中果蔬的储藏温度为t ℃，于是eat＋b≥96＝3·e21a＋b＝e-7a·e21a＋b＝e14a＋b，解得at＋b≥14a＋b，因此t≤14，所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14 ℃.故选A.
(2)(2024·湖南长沙三模)地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯·里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M＝lg A－lg A0，其中M表示某地地震的里氏震级，A表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，A0表示这次地震中的标准地震振幅．假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5 000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为(参考数据：lg 2≈0.3)(　B　)
A．6.3级 B．6.4级
C．7.4级 D．7.6级
解析：由题意，某地地震波的最大振幅为5 000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，可得M＝lg 5 000－lg 0.002＝lg －lg ＝4－lg 2－(lg 2－3)＝7－2lg 2≈6.4.故选B.
考点3 构建函数模型解决实际问题
【例3】　双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x(单位：千辆)获利W(x)(单位：万元)，W(x)＝该公司预计全年其他成本总投入为(20x＋10)万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记全年利润为f(x)(单位：万元).
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)当年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．
【解】　(1)由已知得f(x)＝W(x)－(20x＋10)，
又W(x)＝
∴f(x)＝
(2)当0当2∵360<380，∴f(x)的最大值为380，
故当年产量为5千辆时，该企业利润最大，最大利润是380万元．
应用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的答案．
【对点训练3】　(1)(2024·湖南益阳三模)二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%.刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m∈N)万元，则m＝(　C　)
A．13　　 B．14
C．15　　 D．16
解析：依题意，m(1－20%)(1－10%)4≤8，解得m≤＝，又m∈N，则m最大为15.故选C.
(2)某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是(　C　)
A．2千克/小时 B．3千克/小时
C．4千克/小时 D．6千克/小时
解析：设生产100千克该产品获得的利润为f(x)元，则f(x)＝·100＝10 000＝10 000，1≤x≤10，令t＝，≤t≤1，则g(t)＝10 000(－2t2＋t＋3)＝－20 000，故当t＝时，g(t)的值最大，此时x＝4.故选C.
课时作业16
1．(5分)(2024·山东泰安模拟)青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1，V2，则的值所在区间是(　D　)
A．(1.5，2) B．(2，2.5)
C．(2.5，3) D．(3，3.5)
解析：依题意，得两式相减得0.5＝lg V2－lg V1＝lg ，解得＝100.5＝∈(3，3.5).故选D.
2．(5分)某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R与可见叶片数x进行分析研究，其关系可以用函数R＝15eax(a为常数)表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5.5≈1.7)(　C　)
A．15　　 B．16
C．17　　 D．18
解析：由题意知30＝15e7a，∴e7a＝2，则等式两边同时取自然对数得7a＝ln 2≈0.7，∴a≈0.1，∴R＝15e0.1x.∵82.5＝15e0.1x，∴e0.1x＝5.5，∴0.1x＝ln 5.5≈1.7，∴x≈17.故选C.
3．(5分)(2024·四川凉山州三模)工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量y(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)的关系为y＝y0e－at(y0，a均为正的常数).已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么污染物过滤掉50%还需要经过(最终结果精确到1 h，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　D　)
A．43 h B．38 h
C．33 h D．28 h
解析：令t＝0，得y＝y0，又前5小时过滤掉了10%污染物，∴(1－10%)y0＝y0e-5a，则a＝－＝，∴当污染物过滤掉50%时，(1－50%)y0＝y0e－at，则t＝＝＝＝＝≈33(h)，∴污染物过滤掉50%还需要经过33－5＝28(h).故选D.
4．(5分)(2024·北京朝阳区二模)假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式f＝ρCSv2，其中ρ是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P＝fv.当ρ，S不变，v比原来提高10%时，下列说法正确的是(　C　)
A．若C不变，则P比原来提高不超过30%
B．若C不变，则P比原来提高超过40%
C．为使P不变，则C比原来降低不超过30%
D．为使P不变，则C比原来降低超过40%
解析：由题意，f＝ρCSv2，P＝fv，所以P＝ρCSv3，C＝，对于A，当ρ，S，C不变，v比原来提高10%时，则P1＝ρCS(1＋10%)3v3＝ρCS·(1.1)3v3＝1.331·ρCSv3，所以P比原来提高超过30%，故A错误；对于B，由A的分析知，P1＝1.331·ρCSv3，所以P比原来提高不超过40%，故B错误；对于C，当ρ，S，P不变，v比原来提高10%时，C1＝＝≈0.75·，所以C比原来降低不超过30%，故C正确；对于D，由C的分析知，C比原来降低不超过30%，故D错误．故选C.
5．(5分)(2024·北京丰台区一模)按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，…来标记纸张的幅面规格，具体规格标准：
①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为1∶；
②将Ai(i＝0，1，…，9)纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为A(i＋1)规格纸张(如图).
某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张．共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为(　C　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：依题意1张A0规格纸张可以裁剪出2张A1，或4张A2或16张A4，设一张A0规格纸张的面积为x，则一张A1规格纸张的面积为x，一张A2规格纸张的面积为x，一张A4规格纸张的面积为x，依题意总共需要的纸张的面积为40×x＋10×x＋5×x＝7x＋x，所以至少需要提供8张A0规格纸张，其中将3张A0裁出5张A1和2张A2；将2张A0裁出8张A2；将剩下的3张A0裁出3×16＝48(张)A4，即共可以裁出5张A1、10张A2、48张A4.故选C.
6．(5分)(2024·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　C　)
A．10 000 B．10 480
C．10 816 D．10 818
解析：设矩形场地的长为x米，则宽为米，W＝(x＋4)＝4x＋＋10 016≥2＋10 016＝10 816，当且仅当4x＝，即x＝100时，等号成立．所以平整这块场地所需的最少费用为1×10 816＝10 816(元).故选C.
7．(6分)(多选)周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y(单位：米)与乙骑行的时间x(单位：分钟)之间的关系如图所示，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．乙的速度为300米/分钟
B．25分钟后甲的速度为400米/分钟
C．乙比甲晚14分钟到达B地
D．A，B两地之间的路程为29 400米
解析：因为乙比甲早出发5分钟，由题图知乙的速度为＝300(米/分钟)，故A正确；设题甲的原速度为V，由图可知25×300－(25－5)V＝2 500，解得V＝250米/分钟，所以25分钟后甲的速度为250×＝400(米/分钟)，故B正确；根据题图当x＝86时，甲到达B地，此时乙距离B地还有250×20＋400×(86－25)－300×86＝3 600(米)，所以还需要＝12(分钟)，所以乙比甲晚12分钟到达B地，故C不正确；利用甲行驶的路程计算可得，A，B两地之间的路程为250×20＋400×(86－25)＝29 400(米)，故D正确．故选ABD.
8．(6分)(多选)(2024·河南郑州一模)溶液酸碱度是通过pH来计量的．pH的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH＝7(例如：纯净水)时，溶液呈中性．我国规定饮用水的pH值在6.5～8.5之间，则下列选项正确的是(参考数据：lg 2≈0.3)(　ABC　)
A．若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升
B．若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则胃酸的pH约为1.6
C．若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的pH是8.6
D．若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则该种水适合饮用
解析：对于A，若苏打水的pH是8，即pH＝－lg [H＋]＝8，所以[H＋]＝10-8，即苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升，所以A正确；对于B，若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则pH＝－lg (2.5×10-2)＝－lg 2.5－lg 10-2＝2－(lg 10－lg 4)＝1＋2lg 2≈1.6，所以B正确；对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的氢离子浓度是10-1.6·10-7＝10-8.6，因此pH＝－lg 10-8.6＝8.6，即海水的pH是8.6，所以C正确；对于D，若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则pH＝－lg (4×10-7)＝－lg 4－lg 10-7＝7－2lg 2≈6.4，而6.4不在6.5～8.5范围内，即可得该种水不适合饮用，所以D错误．故选ABC.
9．(5分)(2024·广东广州模拟)“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10-18秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示．《庄子·天下》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过31天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离．(参考数据：光速为3×108米/秒，lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)
解析：依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为2×10-18×3×108＝6×10-10(米)，经过n天后，剩余的长度f(n)＝米，由f(n)<6×10-10，得<6×10-10，两边同时取对数，得n>log(6×10-10)＝＝＝≈≈30.73，而n∈N*，则n＝31，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离．
10．(5分)某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是30元/千克，产品的日销售量P(单位：千克)与售价x(单位：元/千克)满足关系式P(x)＝要使农户获得日利润最大，则该产品售价为42元/千克．
解析：由题意可知农户的日利润W＝(x－30)·P(x)＝
由二次函数的单调性可知：若30≤x<50，则当x＝42时，Wmax＝432；若50≤x≤56，则当x＝50时，Wmax＝240<432.故x＝42时，日利润取得最大值432元．
11．(15分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出A万元，则超出部分按2log2(A＋5)进行奖励，记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解：(1)根据题意可知，当0≤x≤20时，y＝0.1x；
当x>20时，y＝0.1×20＋2log2(x－20＋5)＝2＋2log2(x－15).
所以可得奖金y关于销售利润x的关系式为y＝
(2)易知当0≤x≤20时，奖金不可能为10万元，所以令2＋2log2(x－15)＝10，即log2(x－15)＝4，解得x＝31.
即业务员老江的销售利润是31万元．
12．(16分)某旅游开发公司计划2025年开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年有x万游客，则需另投入成本P(x)万元，且P(x)＝该游玩项目的每张门票售价为50元，政府为鼓励企业更好发展，每年给该旅游开发公司财政补贴10x万元．
(1)求2025年该旅游公司开发的游玩项目的利润L(x)(单位：万元)关于人数x(单位：万人)的函数关系式；(利润＝收入－成本)
(2)当2025年的游客为多少时，该游玩项目所获利润最大？最大利润是多少？
解：(1)依题意得L(x)＝50x＋10x－P(x)－500＝60x－P(x)－500，
又P(x)＝
所以当0－2x2＋36x－120，
当x≥10时，L(x)＝60x－P(x)－500＝60x－500－＝－＋360，所以
L(x)＝
(2)当0所以当x＝9时，L(x)max＝42；
当x≥10时，L(x)＝－＋360≤－2＋360＝120，
当且仅当3x＝，即x＝40时，L(x)max＝120.
因为120>42，所以当x＝40时，L(x)取得最大值120，即当2025年的游客为40万人时，该游玩项目所获利润最大，最大利润是120万元．
13．(5分)在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位：mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位：h)近似满足关系式V(t)＝
其中W为饮酒者的体重(单位：kg)，m为酒精摄入量(单位：mL).根据上述关系式，已知某驾驶员体重75 kg，他快速饮用了含150 mL酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.1，ln 5≈1.61)(　B　)
A．12小时后 B．24小时后
C．26小时后 D．28小时后
解析：当0≤t<1时，V(t)＝×(－t2＋2t＋1)＝－[(t－1)2－2]，所以V(t)≥V(0)＝＝100>20，不能合法驾驶车辆，当t≥1时，令V(t)＝×＝200×<20，即<，所以t－1>≈23，所以t>24.故选B.
14．(6分)(多选)(2024·湖南长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年．样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301)(　CD　)
A．t＝12.43log2
B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16
解析：由题意得N＝N0·，故有＝，左右同时取对数得log2＝－，故得t＝－12.43log2，故A错误；当t＝24.86时，N＝N0·＝2-2·N0＝N0，故B错误；而当t＝62.15时，N＝N0·＝2-5·N0＝N0，得到经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意得0.4N0＝N0·，化简得x＝－12.43log2＝－12.43log2＝－12.43(log22－log25)＝－12.43(1－log25)＝－12.43＝－12.43，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43≈16.44>16，故D正确．故选CD.
15．(6分)(多选)(2024·安徽蚌埠模拟)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　BC　)
A．t2＝20 B．28≤t1≤30
C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6
解析：由题意可知，θ＝10＋(θ1－10)e－0.05t，当θ＝30时，30＝10＋(θ1－10)e－0.05t1，即e－0.05t1＝，－0.05t1＝ln ，则t1＝20ln ，t1随θ1的增大而增大，当θ1＝90时，t1＝20ln ＝20ln 4＝40ln 2≈28，当θ1＝100时，t1＝20ln ＝20ln ＝20(2ln 3－ln 2)≈30，则28≤t1≤30，故B正确；当θ1＝70时，t2＝20ln ＝20ln 3≈22，故A错误；当θ1＝50时，t3＝20ln ＝20ln 2≈14，此时满足t1≥2t3，t1－t2≥6，故C正确，D错误．故选BC.